2013年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题福建卷高中数学练习试题

-1-2013年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）数学试题（文史类）第I卷（选择题共60分）一．选择题1．复数iz21（i为虚数单位）在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．设点),(yxP，则“2x且1y”是“点P在直线01:yxl上”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．若集合}4,3,1{},3,2,1{BA，则BA的子集个数为（）A．2B．3C．4D．164．双曲线122yx的顶点到其渐近线的距离等于（）A．21B．22C．1D．25．函数)1ln()(2xxf的图象大致是（）A．B．C．D．6．若变量yx,满足约束条件012yxyx，则yxz2的最大值和最小值分别为（）A．4和3B．4和2C．3和2D．2和07．若122yx，则yx的取值范围是（）A．]2,0[B．]0,2[C．),2[D．]2,(8．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，如果输入某个正整数n后，输出的)20,10(S，那么n的值为（）A．3B．4C．5D．6-2-9．将函数)22)(2sin()(xxf的图象向右平移)0(个单位长度后得到函数)(xg的图象，若)(),(xgxf的图象都经过点)23,0(P，则的值可以是（）A．35B．65C．2D．610．在四边形ABCD中，)2,4(),2,1(BDAC，则该四边形的面积为（）A．5B．52C．5D．1011．已知x与y之间的几组数据如下表：假设根据上表数据所得线性回归直线方程为axbyˆˆˆ．若某同学根据上表中前两组数据)0,1(和)2,2(求得的直线方程为axby，则以下结论正确的是（）A．aabbˆ,ˆB．aabbˆ,ˆC．aabbˆ,ˆD．aabbˆ,ˆ12．设函数)(xf的定义域为R，)0(00xx是)(xf的极大值点，以下结论一定正确的是（）A．)()(,0xfxfRxB．0x是)(xf的极小值点C．0x是)(xf的极小值点D．0x是)(xf的极小值点二．填空题13．已知函数20,tan0,2)(3xxxxxf，则))4((ff14．利用计算机产生1~0之间的均匀随机数a，则事件“013a”发生的概率为x123456y021334-3-15．椭圆)0(1:2222babyax的左、右焦点分别为21,FF，焦距为c2．若直线)(3cxy与椭圆的一个交点M满足12212FMFFMF，则该椭圆的离心率等于16．设TS,是R的两个非空子集，如果存在一个从S到T的函数)(xfy满足；（i）}|)({SxxfT；（ii）对任意Sxx21,，当21xx时，恒有)()(21xfxf．那么称这两个集合“保序同构”．现给出以下3对集合：①*,NBNA；②}108|{},31|{xxBxxA；③RBxxA},10|{．其中，“保序同构”的集合对的序号是（写出所有“保序同构”的集合对的序号）三．解答题17．（本小题满分12分）已知等差数列{}na的公差1d，前n项和为nS．（1）若131,,aa成等比数列，求1a；（2）若519Saa，求1a的取值范围．18．（本小题满分12分）如图，在四棱锥PABCD中，PDABCD面，//ABDC，ABAD，5BC，3DC，4AD，60PAD．（1）当正视图方向与向量AD的方向相同时，画出四棱锥PABCD的正视图.（要求标出尺寸，并画出演算过程）；（2）若M为PA的中点，求证：//DMPBC面；（3）求三棱锥DPBC的体积．19．（本小题满分12分）某工厂有25周岁以上（含25周岁）工人300名，25周岁以下工人200名．为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关．现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25周岁以上（含25周岁）”和“25周岁以下”分为两组，在将两组工人的日平均生产件数分成5组：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100)-4-分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．（1）从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人，求至少抽到一名“25周岁以下组”工人的频率．（2）规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，请你根据已知条件完成22的列联表，并判断是否有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”？附表：20．（本小题满分12分）如图，在抛物线2:4Eyx的焦点为F，准线l与x轴的交点为A．点C在抛物线E上，以C为圆心OC为半径作圆，设圆C与准线l的交于不同的两点,MN．（1）若点C的纵坐标为2，求MN；（2）若2AFAMAN，求圆C的半径．21（本小题满分12分）如图，在等腰直角三角形OPQ中，90OPQ，22OP，点M在线段PQ上．（1）若3OM，求PM的长；（2）若点N在线段MQ上，且30MON，问：当POM取何值时，OMN的面积最小？并求出面积的最小-5-值．22（本小题满分14分）已知函数()1xafxxe（aR，e为自然对数的底数）．（1）若曲线()yfx在点(1,(1))f处的切线平行于x轴，求a的值；（2）求函数()fx的极值；（3）当1a的值时，若直线:1lykx与曲线()yfx没有公共点，求k的最大值．参考答案一、选择题1．C2．A3．C4．B5．A6．B7．D8．B9．B10．C11．C12．D13．2．14．3115．1316．①②③17．解：（1）因为数列{}na的公差1d，且131,,aa成等比数列，所以2111(2)aa，即21120aa，解得11a或12a．-6-（2）因为数列{}na的公差1d，且519Saa，所以21115108aaa；即2113100aa，解得152a18．解法一：（Ⅰ）在梯形ABCD中，过点C作CEAB，垂足为E，由已知得，四边形ADCE为矩形，3AECD在RtBEC中，由5BC，4CE,依勾股定理得：3BE，从而6AB又由PD平面ABCD得，PDAD从而在RtPDA中，由4AD，60PAD,得43PD正视图如右图所示：（Ⅱ）取PB中点N，连结MN，CN在PAB中，M是PA中点，∴MNAB，132MNAB，又CDAB,3CD∴MNCD，MNCD∴四边形MNCD为平行四边形，∴DMCN又DM平面PBC，CN平面PBC∴DM平面PBC（Ⅲ）13DPBCPDBCDBCVVSPD又6PBCs，43PD，所以83DPBCV解法二：（Ⅰ）同解法一（Ⅱ）取AB的中点E，连结ME,DE在梯形ABCD中，BECD，且BECD∴四边形BCDE为平行四边形∴DEBC，又DE平面PBC，BC平面PBC∴DE平面PBC，又在PAB中，MEPBME平面PBC,PB平面PBC∴ME平面PBC.又DEMEE,∴平面DME平面PBC，又DM平面DME∴DM平面PBC（Ⅲ）同解法一19．解：（Ⅰ）由已知得，样本中有25周岁以上组工人60名，25周岁以下组工人40名所以，样本中日平均生产件数不足60件的工人中，25周岁以上组工人有600.053（人），记为1A，2A，3A；25周岁以下组工人有400.052（人），记为1B，2B从中随机抽取2名工人，所有可能的结果共有10种，他们是：12(,)AA，13(,)AA，23(,)AA，11(,)AB，12(,)AB，21(,)AB，22(,)AB，31(,)AB，32(,)AB，12(,)BB-7-其中，至少有名“25周岁以下组”工人的可能结果共有7种，它们是：11(,)AB，12(,)AB，21(,)AB，22(,)AB，31(,)AB，32(,)AB，12(,)BB.故所求的概率：710P（Ⅱ）由频率分布直方图可知，在抽取的100名工人中，“25周岁以上组”中的生产能手600.2515（人），“25周岁以下组”中的生产能手400.37515（人），据此可得22列联表如下：生产能手非生产能手合计25周岁以上组15456025周岁以下组152540合计3070100所以得：222()100(15251545)251.79()()()()6040307014nadbcKabcdacbd因为1.792.706，所以没有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”20．解：（Ⅰ）抛物线24yx的准线l的方程为1x，由点C的纵坐标为2，得点C的坐标为(1,2)所以点C到准线l的距离2d，又||5CO．所以22||2||2542MNCOd.（Ⅱ）设200(,)4yCy，则圆C的方程为242220000()()416yyxyyy，即22200202yxxyyy.由1x，得22002102yyyy设1(1,)My，2(1,)Ny，则：222000201244(1)240212yyyyyy由2||||||AFAMAN，得12||4yy所以20142y，解得06y，此时0所以圆心C的坐标为3(,6)2或3(,6)2从而233||4CO，33||2CO，即圆C的半径为33221．解：（Ⅰ）在OMP中，45OPM，5OM，22OP，由余弦定理得，2222cos45OMOPMPOPMP，-8-得2430MPMP，解得1MP或3MP．（Ⅱ）设POM，060，在OMP中，由正弦定理，得sinsinOMOPOPMOMP，所以sin45sin45OPOM，同理sin45sin75OPON故1sin2OMNSOMONMON221sin454sin45sin75OP1sin45sin4530131sin45sin45cos45222131sin45sin45cos45221311cos902sin902441331sin2cos2444131sin23042因为060，30230150，所以当30时，sin230的最大值为1，此时OMN的面积取到最小值．即230POM时，OMN的面积的最小值为843．22．解：（Ⅰ）由1xafxxe，得1xafxe．-9-又曲线yfx在点1,1f处的切线平行于x轴，得10f，即10ae，解得ae．（Ⅱ）1xafxe，①当0a时，0fx，fx为,上的增函数，所以函数fx无极值．②当0a时，令0fx，得xea，lnxa．,lnxa，0fx；ln,xa，0fx．所以fx在,lna上单调递减，在ln,a上单调递增，故fx在lnxa处取得极小值，且极小值为lnlnfaa，无极大值．综上，当0a时，函数fx无极小值；当0a，fx在lnxa处取得极小值lna，无极大值．（Ⅲ）当1a时，11xfxxe令111xgxfxkxkxe，则直线l：1ykx与曲线yfx没有公共点，等价于方程0gx