2013年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题北京卷高中数学练习试题

12013北京高考理科数学试题第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题。每小题5分，共40分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。1.已知集合A={－1，0，1}，B={x|－1≤x＜1}，则A∩B=()A.{0}B.{－1，0}C.{0，1}D.{－1,0,1}2.在复平面内，复数(2－i)2对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.“φ=π”是“曲线y=sin(2x＋φ)过坐标原点的”A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.执行如图所示的程序框图，输出的S值为A.1B.23C.1321D.6109875.函数f(x)的图象向右平移1个单位长度，所得图象与y=ex关于y轴对称，则f(x)=A.1exB.1exC.1exD.1ex6.若双曲线22221xyab的离心率为3，则其渐近线方程为A.y=±2xB.y=2xC.12yxD.22yx7.直线l过抛物线C:x2=4y的焦点且与y轴垂直，则l与C所围成的图形的面积等于A.43B.2C.83D.1623开始是否0,1iS2121SSS1ii2i≥输出S结束28.设关于x,y的不等式组210,0,0xyxmym表示的平面区域内存在点P(x0，y0)，满足x0－2y0=2，求得m的取值范围是A.4,3B.1,3C.2,3D.5,3第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6题，每小题5分，共30分.9.在极坐标系中，点(2，6)到直线ρsinθ=2的距离等于.10.若等比数列{an}满足a2＋a4=20，a3＋a5=40，则公比q=；前n项和Sn=.11.如图，AB为圆O的直径，PA为圆O的切线，PB与圆O相交于D.若PA=3，916PDDB：：，则PD=；AB=.12.将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是.13.向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示.若c=λa＋μb(λ，μ∈R)，则=.14.如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在线段D1E上，点P到直线CC1的距离的最小值为.1D1BPD1CCEBA1Abca3三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程15.(本小题共13分)在△ABC中，a=3，b=26，∠B=2∠A.(I)求cosA的值；(II)求c的值.16.(本小题共13分)下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天.（Ⅰ）求此人到达当日空气重度污染的概率;（Ⅱ）设X是此人停留期间空气质量优良的天数，求X的分布列与数学期望;（Ⅲ）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明）17.(本小题共14分)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形，平面ABC⊥平面AA1C1C，AB=3，BC=5.（Ⅰ）求证：AA1⊥平面ABC；（Ⅱ）求二面角A1－BC1－B1的余弦值；（Ⅲ）证明：在线段BC1存在点D，使得AD⊥A1B，并求1BDBC的值.418.(本小题共13分)设L为曲线C：lnxyx在点(1，0)处的切线.(I)求L的方程；(II)证明：除切点(1，0)之外，曲线C在直线L的下方.19.(本小题共14分)已知A、B、C是椭圆W：2214xy上的三个点，O是坐标原点.(I)当点B是W的右顶点，且四边形OABC为菱形时，求此菱形的面积;(II)当点B不是W的顶点时，判断四边形OABC是否可能为菱形，并说明理由.20.(本小题共13分)已知{an}是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n项的最大值记为An，第n项之后各项1na，2na,…的最小值记为Bn，dn=An－Bn。(I)若{an}为2，1，4，3，2，1，4，3，…，是一个周期为4的数列(即对任意n∈N*，4nnaa)，写出d1，d2，d3，d4的值；(II)设d为非负整数，证明：dn=－d(n=1,2,3…)的充分必要条件为{an}为公差为d的等差数列；(III)证明：若a1=2，dn=1(n=1,2,3，…)，则{an}的项只能是1或者2，且有无穷多项为1.参考答案一、选择题：1.B2.D3.A4.C5.D6.B7.C58.C二、填空题：9.110.2，122n11.95；412.9613.414.255三.解答题：15.解：（I）因为a=3，b=26，∠B=2∠A.所以在△ABC中，由正弦定理得326sinsin2AA.所以2sincos26sin3AAA.故6cos3A.(II)由（I）知6cos3A，所以23sin1cos3AA.又因为∠B=2∠A,所以21cos2cos13BA.所以222sin1cos3BB.在△ABC中，53sinsin()sincoscossin9CABABAB.所以sin5sinaCcA.16.解：设iA表示事件“此人于3月i日到达该市”（i=1,2，…，13）.根据题意,1()13iPA,且()ijAAij.（I）设B为事件“此人到达当日空气重度污染”，则58BAA,所以58582()()()()13PBPAAPAPA.(II)由题意可知，X的所有可能取值为0,1,2，且P(X=1)=P(A3∪A6∪A7∪A11)=P(A3)+P(A6)+P(A7)+P(A11)=413,P(X=2)=P(A1∪A2∪A12∪A13)=P(A1)+P(A2)+P(A12)+P(A13)=413,6P(X=0)=1－P(X=1)－P(X=2)=513,所以X的分布列为：012544131313XP故X的期望5441201213131313EX.(III)从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大.17.解：（I）因为AA1C1C为正方形，所以AA1⊥AC.因为平面ABC⊥平面AA1C1C,且AA1垂直于这两个平面的交线AC,所以AA1⊥平面ABC.(II)由（I）知AA1⊥AC，AA1⊥AB.由题知AB=3，BC=5，AC=4，所以AB⊥AC.如图，以A为原点建立空间直角坐标系A－xyz,则B(0，3，0),A1(0，0，4),B1(0，3，4),C1(4，0，4)，设平面A1BC1的法向量为,,)xyzn=(，则11100ABACnn,即34040yzx，令3z，则0x，4y，所以(0,4,3)n=.同理可得，平面BB1C1的法向量为(3,4,0)m=,所以16cos25nmn,m|n||m|.由题知二面角A1－BC1－B1为锐角，所以二面角A1－BC1－B1的余弦值为1625.(III)设D(,,)xyz是直线BC1上一点，且1BDBC.所以(,3,)(4,3,4)xyz.解得4x，33y，4z.所以(4,33,4)AD.由1·0ADAB，即9250.解得925.因为9[0,1]25，所以在线段BC1上存在点D，使得AD⊥A1B.此时，1925BDBC.18.解:（I）设ln()xfxx，则21ln()xfxx.所以(1)1f.所以L的方程为1yx.(II)令()1()gxxfx，则除切点之外，曲线C在直线l的下方等价于7()0gx(0,1)xx.()gx满足(1)0g，且221ln()1()xxgxfxx.当01x时，210x，ln0x，所以()0gx，故()gx单调递减；当1x时，210x，ln0x，所以()0gx，故()gx单调递增.所以，()(1)0gxg（0,1xx）.所以除切点之外，曲线C在直线L的下方.又解：()0gx即ln10xxx变形为2ln0xxx，记2()lnhxxxx，则2121(21)(1)()21xxxxhxxxxx，所以当01x时，()0hx，()hx在（0,1）上单调递减；当1x时，()0hx，()hx在（1，+∞）上单调递增。所以()(1)0hxh.）19.解：（I）椭圆W：2214xy的右顶点B的坐标为（2,0）.因为四边形OABC为菱形，所以AC与OB相互垂直平分.所以可设A（1，m），代入椭圆方程得2114m，即32m.所以菱形OABC的面积是11||||22||322OBACm.(II)假设四边形OABC为菱形.因为点B不是W的顶点，且直线AC不过原点，所以可设AC的方程为(0,0)ykxmkm.由2244xyykxm消去y并整理得222(14)8440kxkmxm.设A1,1()xy,C2,2()xy，则1224214xxkmk，121222214yyxxmkmk.所以AC的中点为M（2414kmk，214mk）.因为M为AC和OB的交点，所以直线OB的斜率为14k.因为1()14kk，所以AC与OB不垂直.所以OABC不是菱形，与假设矛盾.所以当点B不是W的顶点时，四边形OABC不可能是菱形.820.（I）12341,3.dddd(II)(充分性)因为na是公差为d的等差数列，且0d，所以12.naaa因此nnAa，1nnBa,1(1,2,3,)nnndaadn.(必要性)因为0(1,2,3,)nddn，所以nnnnABdB.又因为nnaA，1nnaB,所以1nnaa.于是nnAa，1nnBa.因此1nnnnnaaBAdd，即na是公差为d的等差数列.(III)因为112,1ad，所以112Aa，1111BAd.故对任意11,1nnaB.假设(2)nan中存在大于2的项.设m为满足2na的最小正整数，则2m，并且对任意1,2kkma，.又因为12a，所以12mA，且2mmAa.于是211mmmBAd，1min,2mmmBaB.故111220mmmdAB,与11md矛盾.所以对于任意1n，有2na，即非负整数列na的各项只能为1或2.因此对任意1n，12naa，所以2nA.故211nnnBAd.因此对于任意正整数n，存在m满足mn，且1ma，即数列na有无穷多项为1.