2014北京海淀区高三期末数学理试题答案

海淀区高三年级第一学期期末练习数学（理）参考答案及评分标准2014．1阅卷须知:1.评分参考中所注分数,表示考生正确做到此步应得的累加分数。2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）题号12345678答案DDABACBD二、填空题（本大题共6小题,每小题5分,有两空的小题，第一空3分，第二空2分，共30分）三、解答题(本大题共6小题,共80分)15．（本小题共13分）解：（Ⅰ）由sincos0xx得ππ,4xkkZ.因为,cos2()2sinsincosxfxxxx22cossin2sinsincosxxxxx-----------------------------------2分cossinxxπ2sin()4x，-------------------------------------4分因为在ABC中，3cos05A，所以ππ2A，-------------------------------------5分所以24sin1cos5AA,9．210．4511.(0,1)；412．2313．214．43；①②③------------------------------------7分所以431()sincos555fAAA.-----------------------------------8分（Ⅱ）由（Ⅰ）可得π()2sin()4fxx,所以()fx的最小正周期2πT.-----------------------------------10分因为函数sinyx的对称轴为ππ+,2xkkZ,-----------------------------------11分又由πππ+,42xkkZ,得ππ+,4xkkZ,所以()fx的对称轴的方程为ππ+,4xkkZ.----------------------------------13分16．（本小题共13分）解：（Ⅰ）由上图可得0.010.190.290.451a,所以0.06a.--------------------------------3分（Ⅱ）由图可得队员甲击中目标靶的环数不低于8环的概率为0.450.290.010.75----------------------------------4分由题意可知随机变量X的取值为：0,1,2,3.----------------------------------5分事件“Xk”的含义是在3次射击中，恰有k次击中目标靶的环数不低于8环.3333()1(0,1,2,3)44kkkPXkCk----------------------------------8分即X的分布列为X0123P16496427642764所以X的期望是1927279()0123646464644EX.------------------------10分（Ⅲ）甲队员的射击成绩更稳定.---------------------------------13分17．（本小题共14分）解：（Ⅰ）因为底面ABCD是菱形，ACBDO,所以O为,ACBD中点.-------------------------------------1分又因为,PAPCPBPD,所以,POACPOBD,---------------------------------------3分所以PO底面ABCD.----------------------------------------4分（Ⅱ）由底面ABCD是菱形可得ACBD,又由（Ⅰ）可知,POACPOBD.如图，以O为原点建立空间直角坐标系Oxyz.由PAC是边长为2的等边三角形，6PBPD，可得3,3POOBOD.所以(1,0,0),(1,0,0),(0,3,0),(0,0,3)ACBP.---------------------------------------5分所以(1,0,3)CP,(1,0,3)AP.由已知可得133(,0,)444OFOAAP-----------------------------------------6分设平面BDF的法向量为(,,)xyzn，则0,0,OBOFnn即30,330.44yxz令1x，则3z，所以(1,0,3)n.----------------------------------------8分PAFBCDOxyz因为1cos2||||CPCPCPnnn，----------------------------------------9分所以直线CP与平面BDF所成角的正弦值为12，所以直线CP与平面BDF所成角的大小为30.-----------------------------------------10分（Ⅲ）设BMBP(01)，则(1,3(1),3)CMCBBMCBBP.---------------------------------11分若使CM∥平面BDF，需且仅需0CMn且CM平面BDF，---------------------12分解得1[0,1]3,----------------------------------------13分所以在线段PB上存在一点M，使得CM∥平面BDF.此时BMBP=13.-----------------------------------14分18.（本小题共13分）解：（Ⅰ）2e(2)(2)'()(e)exxxaxaxfx，xR.------------------------------------------2分当1a时，()fx,'()fx的情况如下表：x(,2)2(2,)'()fx0()fx↘极小值↗所以，当1a时，函数()fx的极小值为2e.-----------------------------------------6分（Ⅱ）(2)'()'()exaxFxfx.①当0a时，(),'()FxFx的情况如下表：--------------------------------7分因为(1)10F,------------------------------8分若使函数()Fx没有零点，需且仅需2(2)10eaF，解得2ea,-------------------9分所以此时2e0a；-----------------------------------------------10分②当0a时，(),'()FxFx的情况如下表：--------11分因为(2)(1)0FF,且10110101110e10e10(1)0eeaaaFa,---------------------------12分所以此时函数()Fx总存在零点.--------------------------------------------13分综上所述，所求实数a的取值范围是2e0a.19.（本小题共14分）解：（Ⅰ）由题意得1c,---------------------------------------1分由12ca可得2a,------------------------------------------2分x(,2)2(2,)'()fx0()fx↘极小值↗x(,2)2(2,)'()fx0()fx↗极大值↘所以2223bac,-------------------------------------------3分所以椭圆的方程为22143xy.---------------------------------------------4分（Ⅱ）由题意可得点3(2,0),(1,)2AM,------------------------------------------6分所以由题意可设直线1:2lyxn,1n.------------------------------------------7分设1122(,),(,)BxyCxy，由221,4312xyyxn得2230xnxn.由题意可得2224(3)1230nnn,即(2,2)n且1n.-------------------------8分21212,3xxnxxn.-------------------------------------9分因为1212332211MBMCyykkxx-----------------------------------10分121212121212131311222211111(1)(2)1()1xnxnnnxxxxnxxxxxx2(1)(2)102nnnn，---------------------------------13分所以直线,MBMC关于直线m对称.---------------------------------14分20.（本小题共13分）解：（Ⅰ）①②③都是等比源函数.-----------------------------------3分（Ⅱ）函数()21xfx不是等比源函数.------------------------------------4分证明如下：假设存在正整数,,mnk且mnk，使得(),(),()fmfnfk成等比数列，2(21)(21)(21)nmk，整理得2122222nnmkmk，-------------------------5分等式两边同除以2,m得2122221nmnmkkm.因为1,2nmkm，所以等式左边为偶数，等式右边为奇数，所以等式2122221nmnmkkm不可能成立，所以假设不成立，说明函数()21xfx不是等比源函数.-----------------------------8分（Ⅲ）法1：因为*,bnN，都有(1)()gngnd，所以*,dbN，数列{()}gn都是以(1)g为首项公差为d的等差数列.*,dbN，2(1),(1)(1),(1)(1)ggdgd成等比数列，因为(1)(1)(1)((1)11)[(1)1]gdggdgg，2(1)(1)(1)(2(1)(1)11)[2(1)(1)1]gdgggddgggd，所以(1),[(1)1],[2(1)(1)1]ggggggd*{()|}gnnN，所以*,dbN，函数()gxdxb都是等比源函数.-------------------------------------------13分（Ⅲ）法2：因为*,bnN，都有(1)()gngnd，所以*,dbN，数列{()}gn都是以(1)g为首项公差为d的等差数列.由2()(1)()gmggk，（其中1mk）可得2[(1)(1)](1)[(1)(1)]gmdggkd，整理得(1)[2(1)(1)](1)(1)mgmdgk，令(1)1mg，则(1)[2(1)(1)](1)(1)gggdgk，所以2(1)(1)1kggd，所以*,dbN，数列{()}gn中总存在三项(1),[(1)1],[2(1)(1)1]ggggggd成等比数列.所以*,dbN，函数()gxdxb都是等比源函数.----------