2014届高三理科数学一轮复习试题选编14数列的综合问题教师版高中数学练习试题

第1页，共53页2014届高三理科数学一轮复习试题选编14：数列的综合问题一、选择题1．（2013北京海淀二模数学理科试题及答案）若数列{}na满足:存在正整数T,对于任意正整数n都有nTnaa成立,则称数列{}na为周期数列,周期为T.已知数列{}na满足1(0)amm,11,1=1,01.nnnnnaaaaa，则下列结论中错误．．的是（）A．若34a,则m可以取3个不同的值B．若2m,则数列{}na是周期为3的数列C．T*N且2T,存在1m,{}na是周期为T的数列D．Qm且2m,数列{}na是周期数列【答案】D．2．（2013北京昌平二模数学理科试题及答案）设等比数列}{na的公比为q,其前n项的积为nT,并且满足条件11a,9910010aa,99100101aa.给出下列结论:①01q;②9910110aa;③100T的值是nT中最大的;④使1nT成立的最大自然数n等于198.其中正确的结论是（）A．①③B．①④C．②③D．②④【答案】B．二、填空题3．（2013届北京市延庆县一模数学理）以下是面点师一个工作环节的数学模型：如图，在数轴上截取与闭区间]4,0[对应的线段，对折后（坐标4所对应的点与原点重合）再均匀地拉成4个单位长度的线段，这一过程称为一次操作（例如在第一次操作完成后，原来的坐标1、3变成2，原来的坐标2变成4，等等）.那么原闭区间]4,0[上（除两个端点外）的点，在第n次操作完成后)1(n，恰好被拉到与4重合的点所对应的坐标为)(nf，则)3(f；)(nf.【答案】27,25,23,21；22nj（这里j为]2,1[n中的所有奇数）4．（北京市丰台区2013届高三上学期期末考试数学理试题）右表给出一个“三角形数阵”.已知每一列数成等差数列，从第三行起，每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，记第i行第j列的数为ija024（14题图）第2页，共53页（*,,Njiji），则53a等于，______(3)mnam.【答案】5,1612nm解：由题意可知第一列首项为14，公差111244d，第二列的首项为14，公差311848d，所以511154444a，521153488a，所以第5行的公比为525112aqa，所以53525158216aaq。由题意知111(1)444mmam，211(2)488mmam，所以第m行的公比为2112mmaqa，所以11111(),3.422nnmnmnmmaaqm5．（北京市石景山区2013届高三一模数学理试题）对于各数互不相等的整数数组(i1,i2,i3,,in)(n是不小于3的正整数),若对任意的p,q∈{1,2,3,,n},当pq时有ipiq,则称ip,iq是该数组的一个“逆序”.一个数组中所有“逆序”的个数称为该数组的“逆序数”,如数组(2,3,1)的逆序数等于2.则数组(5,2,4,3,1)的逆序数等于___________;若数组(i1,i2,i3,,in)的逆序数为n,则数组(in,in-l,i1)的逆序数为___________.【答案】232nn6．（2013北京朝阳二模数学理科试题）数列{21}n的前n项1,3,7,,21n组成集合{1,3,7,,21}()nnAnN,从集合nA中任取k(1,2,3,,)kn个数,其所有可能的k个数的乘积的和为kT(若只取一个数,规定乘积为此数本身),记12nnSTTT.例如当1n时,1{1}A,11T,11S;当2n时,2{1,3}A,113T,213T,213137S.则当3n时,3S______;试写出nS______.【答案】63,(1)221nn7．（2013届北京西城区一模理科）记实数12,,,nxxx中的最大数为12max{,,,}nxxx，最小数为12min{,,,}nxxx.设△ABC的三边边长分别为,,abc，且abc，定义△ABC的倾斜度为第3页，共53页max{,,}min{,abcatbcab,}bcca．（ⅰ）若△ABC为等腰三角形，则t______；（ⅱ）设1a，则t的取值范围是______．【答案】1，15[1,)2．8．（北京市海淀区北师特学校2013届高三第四次月考理科数学）对任意xR，函数()fx满足21(1)()[()]2fxfxfx，设)()]([2nfnfan，数列}{na的前15项的和为3116，则(15)f．【答案】34【解析】因为21(1)()[()]2fxfxfx，所以21(1)()[()]02fxfxfx，，即1(1)2fx。两边平方得221[(1)]()[()]2fxfxfx，即221[(1)](1)()[()]4fxfxfxfx，即221[(1)](1)[()]()4fxfxfxfx，即114nnaa，即数列{}na的任意两项之和为14，所以15151317()416Sa，即15316a。所以2153[(15)](15)16aff，解得3(15)4f或1(15)4f（舍去）。9．（北京市东城区2013届高三上学期期末考试数学理科试题）定义映射:fAB，其中{(,),}AmnmnR，BR，已知对所有的有序正整数对(,)mn满足下述条件:①(,1)1fm；②若nm，(,)0fmn；③(1,)[(,)(,1)]fmnnfmnfmn，则(2,2)f，(,2)fn．【答案】222n解：根据定义得(2,2)(11,2)2[(1,2)(1,1)]2(1,1)212fffff。3(3,2)(21,2)2[(2,2)(2,1)]2(21)622ffff，4(4,2)(31,2)2[(3,2)(3,1)]2(61)1422ffff，第4页，共53页5(5,2)(41,2)2[(4,2)(4,1)]2(141)3022ffff，所以根据归纳推理可知(,2)22nfn。10．（2013北京东城高三二模数学理科）在数列{}na中,若对任意的*nN,都有211nnnnaataa(t为常数),则称数列{}na为比等差数列,t称为比公差.现给出以下命题:①等比数列一定是比等差数列,等差数列不一定是比等差数列;②若数列{}na满足122nnan,则数列{}na是比等差数列,且比公差12t;③若数列{}nc满足11c,21c,12nnnccc(3n),则该数列不是比等差数列;④若{}na是等差数列,{}nb是等比数列,则数列{}nnab是比等差数列.其中所有真命题的序号是___.【答案】①③11．（北京市朝阳区2013届高三上学期期末考试数学理试题）将整数1,2,3,,25填入如图所示的5行5列的表格中，使每一行的数字从左到右都成递增数列，则第三列各数之和的最小值为，最大值为.【答案】45；85解：因为第3列前面有两列，共有10个数分别小于第3列的数，因此：最小为：3+6+9+12+15=45.因为第3列后面有两列，共有10个数分别大于第3列的数，因此：最大为：23+20+17+14+11=85.12．（2013北京房山二模数学理科试题及答案）在数列{}na中,如果对任意的*nN,都有211nnnnaaaa(为常数),则称数列{}na为比等差数列,称为比公差.现给出以下命题:①若数列{}nF满足1212(3)nnnFFFFFn=1,=1,,则该数列不是比等差数列;②若数列{}na满足123nna,则数列{}na是比等差数列,且比公差0;③等比数列一定是比等差数列,等差数列一定不是比等差数列;④若{}na是等差数列,{}nb是等比数列,则数列{}nnab是比等差数列.其中所有真命题的序号是____.【答案】①②三、解答题13．（北京市海淀区2013届高三上学期期中练习数学（理）试题）已知数集第5页，共53页12{,,Aaa,}na12(1aa,2)nan具有性质P:对任意的(2)kkn,,(1)ijijn,使得kijaaa成立.(Ⅰ)分别判断数集{1,3,4}与{1,2,3,6}是否具有性质P,并说明理由;(Ⅱ)求证:122naaa1(2)nan;(Ⅲ)若72na,求数集A中所有元素的和的最小值.【答案】解:(Ⅰ)因为311,所以{1,3,4}不具有性质P.因为2=12,3=1+2,6=33,所以{1,2,3,6}具有性质P(Ⅱ)因为集合12={,,,}nAaaa具有性质P:即对任意的(2),kkn,(1)ijijn,使得=+kijaaa成立,又因为121,2naaan,所以,ikjkaaaa所以11,ikjkaaaa,所以1=+2kijkaaaa即12nnaa,122332212,2,...,2,2nnnnaaaaaaaa将上述不等式相加得21121+++2(+++)nnnaaaaaa所以1212+++nnaaaa(Ⅲ)最小值为147.首先注意到1=1a,根据性质P,得到21=2=2aa所以易知数集A的元素都是整数.构造={1,2,3,6,9,18,36,72}A或者={1,2,4,5,9,18,36,72}A,这两个集合具有性质P,此时元素和为147.下面,我们证明147是最小的和假设数集1212={,,,}(,2)nnAaaaaaan,满足=1147niiSa最小(存在性显然,因为满足=1147niia的数集A只有有限个).第6页，共53页第一步:首先说明集合1212={,,,}(,2)nnAaaaaaan中至少有8个元素:由(Ⅱ)可知21322,2.......aaaa又1=1a,所以2345672,4,8,16,32,6472aaaaaa,所以8n第二步:证明12336,18,9nnnaaa:若36A,设=36ta,因为723636na,为了使得=1niiSa最小,在集合A中一定不含有元素ka,使得3672ka,从而136na;假设36A,根据性质P,对72na,有,ijaa,使得72nijaaa显然ijaa,所以144nijaaa而此时集合A中至少还有5个不同于,,nijaaa的元素,从而1()5149nijSaaaa,矛盾,所以36A,进而=36ta,且136na;同理可证:2318,9nnaa(同理可以证明:若18A,则218na假设18A.因为136,na根据性质P,有,ijaa,使得136nijaaa显然ijaa,所以1144nnijaaaa,而此时集合A中至少还有4个不同于1,,,nnijaaaa的元素从而114148nnijSaaaaa,矛盾,所以18A,且218na同理可以证明:若9A,则39na假设9A第7页，共53页因为218,na根据性质P,有,ijaa,使得218nijaaa显然ijaa,所以12144nnnijaaaaa而此时集合A中至少还有3个不同于12,,,,nnnijaaaaa的元素从而1213147nnnijSaaaaaa,矛盾,所以9A,且39na)至此,我们得到了12336,18,9nnnaaa.根据性质P,有,ijaa,使得9ijaa我们需要考虑如下几种情形:①8,1ijaa