2014年天津高考数学理试题答案历年数学高考试题

海量资源尽在星星文库：年天津高考数学理参考答案及解析一、选择题题号12345678答案ABBDADCC（1）i是虚数单位，复数734ii+=+（）（A）1i-（B）1i-+（C）17312525i+（D）172577i-+解：A()()()()73472525134343425iiiiiiii+-+-===-++-.（2）设变量x，y满足约束条件0,20,12,yxyyx则目标函数2zxy的最小值为（）（A）2（B）3（C）4（D）5解：B作出可行域，如图结合图象可知，当目标函数通过点()1,1时，z取得最小值3.（3）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，输出的S的值为（）（A）15（B）105（C）245（D）945解：B1i=时，3T=，3S=；2i=时，5T=，15S=；3i=时，7T=，105S=，4i=输出105S=.（4）函数()()212log4fxx=-的单调递增区间是（）（A）()0,+¥（B）(),0-¥（C）()2,+¥（D）(),2-?解：D240x-，解得2x-或2x.由复合函数的单调性知()fx的单调递增区间为(),2-?.海量资源尽在星星文库：（5）已知双曲线22221xyab-=()0,0ab的一条渐近线平行于直线l：210yx=+，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为（）（A）221520xy-=（B）221205xy-=（C）2233125100xy-=（D）2233110025xy-=解：A依题意得22225baccabìï=ïïï=íïïï=+ïî，所以25a=，220b=，双曲线的方程为221520xy-=.（6）如图，ABCD是圆的内接三角形，BACÐ的平分线交圆于点D，交BC于点E，过点B的圆的切线与AD的延长线交于点F.在上述条件下，给出下列四个结论：①BD平分CBFÐ；②2FBFDFA=?；③AECEBEDE??；④AFBDABBF??.则所有正确结论的序号是（）（A）①②（B）③④（C）①②③（D）①②④解：D由弦切角定理得FBDEACBAE???，又BFDAFB??，所以BFDD∽AFBD，所以BFBDAFAB=，即AFBDABBF??，排除A、C.又FBDEACDBC???，排除B.（7）设,abRÎ，则|“ab”是“aabb”的（）（A）充要不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充要也不必要条件解：C设()fxxx=，则()220,0,xxxxfxìï³-=íïïïî，所以()fx是R上的增函数，“ab”是“aabb”的充要条件.（8）已知菱形ABCD的边长为2，120BAD?，点,EF分别在边,BCDC上，海量资源尽在星星文库：=，DFDCm=.若1AEAF?，23CECF?-，则lm+=（）（A）12（B）23（C）56（D）712解：C因为120BAD?，所以cos1202ABADABAD?鬃=-.因为BEBCl=，所以AEABADl=+，AFABADm=+.因为1AEAF?，所以()()1ABADABADlm+?=，即3222lmlm+-=①同理可得23lmlm--=-②，①+②得56lm+=.第Ⅱ卷注意事项：1．用黑色墨水钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。2．本卷共12小题，共110分。二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.）（9）某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查.已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取_______名学生.解：60应从一年级抽取4604556300?+++名.（10）已知一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为_______3m.解：203p该几何体的体积为212042233ppp?鬃=3m.（11）设{}na是首项为1a，公差为-1的等差数列，nS为其前n项和.若124,,SSS成等比数列，则1a的值为__________.解：12-依题意得2214SSS=，所以()()21112146aaa-=-，解得112a=-.（12）在ABCD中，内角,,ABC所对的边分别是,,abc.已知14bca-=，244242俯视图侧视图正视图海量资源尽在星星文库：=，则cosA的值为_______.解：14-因为2sin3sinBC=，所以23bc=，解得32cb=，2ac=.所以2221cos24bcaAbc+-==-.（13）在以O为极点的极坐标系中，圆4sinrq=和直线sinarq=相交于,AB两点.若AOBD是等边三角形，则a的值为___________.解：3圆的方程为()2224xy+-=，直线为ya=.因为AOBD是等边三角形，所以其中一个交点坐标为,3aa骣÷ç÷ç÷÷ç桫，代入圆的方程可得3a=.（14）已知函数()23fxxx=+，xRÎ.若方程()10fxax--=恰有4个互异的实数根，则实数a的取值范围为__________.解：01a或9a显然0a.（ⅰ）当()1yax=--与23yxx=--相切时，1a=，此时()10fxax--=恰有3个互异的实数根.（ⅱ）当直线()1yax=-与函数23yxx=+相切时，9a=，此时()10fxax--=恰有2个互异的实数根.结合图象可知01a或9a.解2：显然1a¹，所以231xxax+=-.令1tx=-，则45att=++.因为(][),,444tt???++，所以(][)45,19,tt?ゥ+++.xy31Oxy13OtyO91海量资源尽在星星文库：三、解答题（本题共6道大题，满分80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）（15）（本小题满分13分）已知函数23cossin3cos34fxxxx，xR.（Ⅰ）求fx的最小正周期；（Ⅱ）求fx在闭区间,44上的最大值和最小值.（15）本小题主要考查两角和与差的正弦公式、二倍角公式与余弦公式，三角函数的最小正周期、单调性等基础知识.考查基本运算能力.满分13分.（Ⅰ）解：由已知，有()2133cossincos3cos224fxxxxx骣÷ç÷=诅+-+÷ç÷÷ç桫2133sincoscos224xxx=?+()133sin21cos2444xx=-++13sin2cos244xx=-1sin223xp骣÷ç=-÷ç÷ç桫.所以，()fx的最小正周期22Tpp==.（Ⅱ）解：因为()fx在区间,412pp轾犏--犏臌上是减函数，在区间,124pp轾犏-犏臌上是增函数.144fp骣÷ç-=-÷ç÷ç桫，1122fp骣÷ç-=-÷ç÷ç桫，144fp骣÷ç=÷ç÷ç桫.所以，函数()fx在闭区间,44pp轾犏-犏臌上的最大值为14，最小值为12-.海量资源尽在星星文库：（16）（本小题满分13分）某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学.在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院.现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能性相同）.（Ⅰ）求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；（Ⅱ）设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列和数学期望.（16）本小题主要考查古典概型及其概率计算公式，互斥事件、离散型随机变量的分布列与数学期望等基础知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.满分13分.（Ⅰ）解：设“选出的3名同学来自互不相同的学院”为事件A，则()120337373104960CCCCPAC??==.所以，选出的3名同学来自互不相同学院的概率为4960.所以，()fx的最小正周期22Tpp==.（Ⅱ）解：随机变量X的所有可能值为0，1，2，3.()346310kkCCPxkC-×==()0,1,2,3k=.所以，随机变量X的分布列是X0123P1612310130随机变量X的数学期望()1131612362103050EX??=+??.（17）（本小题满分13分）如图，在四棱锥PABCD-中，PA^底面ABCD，ADAB^，//ABDC，2ADDCAP===，1AB=，点E为棱PC的中点.（Ⅰ）证明BEDC^；（Ⅱ）求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；海量资源尽在星星文库：（Ⅲ）若F为棱PC上一点，满足BFAC^，求二面角FABP--的余弦值.（17）本小题主要考查空间两条直线的位置关系，二面角、直线与平面所成的角，直线与平面垂直等基础知识.考查用空间向量解决立体几何问题的方法.考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力.满分13分.（方法一）依题意，以点A为原点建立空间直角坐标系（如图），可得()1,0,0B，()2,2,0C，()0,2,0D，()0,0,2P.由E为棱PC的中点，得()1,1,1E.（Ⅰ）证明：向量()0,1,1BE=，()2,0,0DC=，故0BEDC?.所以，BEDC^.（Ⅱ）解：向量()1,2,0BD=-，()1,0,2PB=-.设(),,nxyz=为平面PBD的法向量，则0,0,nBDnPBìï?ïíï?ïî即20,20.xyxzì-+=ïïíï-=ïî不妨令1y=，可得()2,1,1n=为平面PBD的一个法向量.于是有23cos,362nBEnBEnBE×=´==×.所以，直线BE与平面PBD所成角的正弦值为33.（Ⅲ）解：向量()1,2,0BC=，()2,2,2CP=--，()2,2,0AC=，()1,0,0AB=.由点F在棱PC上，设CFCPl=，01l＃.故()12,22,2BFBCCFBCCPllll=+=+=--.由BFAC^，得0BFAC?，因此，()()2122220ll-+-=，解得34l=.即113,,222BF骣÷ç=-÷ç÷ç桫.zyxPEDCBA海量资源尽在星星文库：设()1,,nxyz=为平面FAB的法向量，则110,0,nABnBFìï?ïíï?ïî即0,1130.222xxyzì=ïïïíï-++=ïïî不妨令1z=，可得()10,3,1n=-为平面FAB的一个法向量.取平面ABP的法向量()20,1,0n=，则1212113310cos,10101nnnnnn×´-===-×.易知，二面角FABP--是锐角，所以其余弦值为31010.（方法二）（Ⅰ）证明：如图，取PD中点M，连接EM，AM.由于,EM分别为,PCPD的中点，故//EMDC，且12EMDC=，又由已知，可得//EMAB且EMAB=，故四边形ABEM为平行四边形，所以//BEAM.因为PA^底面ABCD，故PACD^，而CDDA^，从而CD^平面PAD，因为AMÌ平面PAD，于是CDAM^，又//BEAM，所以BECD^.（Ⅱ）解：连接BM，由（Ⅰ）有CD^平面PAD，得CDPD^，而//EMCD，故PDEM^.又因为ADAP=，M为PD的中点，故PDAM^，可得PDBE^，所以PD^平面BEM，故平面BEM^平面PBD.所以直线BE在平面PBD内的射影为直线BM，而BEEM^，可得EBMÐ为锐角，故EBMÐ为直线BE与平面PBD所成的角.依题意，有22PD=，而M为PD中点，可得2AM=，进而2BE=.故在直角三角形BEM中，tan12EMABEBMBEBE?==，因此3in3sEMB?.所以，直线BE与平面PBD所成角的正弦值为33.（Ⅲ）解：如图，在PACD中，过点F作//FHPA交AC海量资源尽在星星文库：^底面ABCD，故FH