2017年天津市南开中学高考数学模拟试卷文科解析版5月份

2017年天津市南开中学高考数学模拟试卷（文科）（5月份）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．i是虚数单位，则=（）A．﹣+iB．﹣iC．+iD．+i2．方程ex=2﹣x的根位于（）A．（﹣1，0）B．（0，1）C．（1，2）D．（2，3）3．下列说法正确的是（）A．命题“∃x0∈R，2＞1”的否定是“∀x∈R，2x≤1”B．命题“若x=y，则x2=y2”的否命题是“若x=y，则x2≠y2”C．p：∀x∈R，x2+1≥1，q：在△ABC中，若sinA=，则A=，则p∧q为真命题D．若平面α⊥平面β，直线a⊂α，直线b⊂β，则a⊥b4．阅读如图的框图，则输出的S=（）A．30B．29C．55D．545．如图是函数y=Asin（ωx+φ）（x∈R）在区间[﹣，]上的图象，为了得到这个函数的图象．只需将y=cosx（x∈R）的图象上的所有点（）A．向左平移个单位长度，再把所有点的横坐标扩大到原来的2倍B．向左平移个单位长度．再把所有点的横坐标扩大到原来的2倍C．把所有点的横坐标缩短到原来的，再向左平移个单位长度D．把所有点的横坐标缩短到原来的，再向左平移个单位长度6．若实数a，b，c满足2a=，log2b=，lnc=，则（）A．a＜c＜bB．a＜b＜cC．b＜c＜aD．c＜b＜a7．抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，l为C的准线，P∈C．且|PF|=6，过P作l的垂线，垂足为M，若△FMP为正三角形，则p=（）A．2B．3C．4D．58．函数f（x）=，若f（x）=kx有三个不同的根，则实数k的取值范围是（）A．（0，）∪（2﹣2，]B．[0，）∪（2﹣2，]C．[0，]∪（2﹣2，]D．（0，]∪（2﹣2，]二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9．某单位生产甲，乙，丙三种不同型号的产品，甲乙丙三种产品数量之比为3：4：5，现用分层抽样的方法抽出一个容量为96的样本，则乙种型号的产品数量为．10．设集合P={x∈N|x≤8}，Q={x∈R||x﹣1|≤2}，则P∩Q=．11．一个几何体的三视图如图，则该几何体的体积为．12．圆x2﹣2ax+y2=4﹣a2在y轴上的截距为2，则实数a=．13．已知x＞0，y＞0，且+=2，则x+y的最小值是．14．平行四边形ABCD中，|AB|=2，|BC|=，∠DAB=60°，=，=，则•=．三、解答题（共6小题，满分80分）15．（13分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知cosA=﹣，b=2，a=3．（1）求sinB的值；（2）求sin（2B﹣）的值．16．（13分）某公司计划在甲、乙两个仓储基地储存总量不超过300吨的一种紧缺原材料，总费用不超过9万元，此种原材料在甲、乙两个仓储基地的储存费用分别为500元/吨和200元/吨，假定甲、乙两个仓储基地储存的此种原材料每吨能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元．问该公司如何分配在甲、乙两个仓储基地的储存量，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？17．（13分）在棱长为2的正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是BC，BB1的中点．（1）求证：A1B∥AC1D（2）求证：CE⊥面AC1D（3）求二面角C﹣AC1﹣D的正弦值．[来源:学科网]18．（13分）在公比为m的等比数列{an}中，a3=2，a1+a2+a3=6．（1）求m．（2）求{nan}的前n项和Tn．19．（14分）椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，各个顶点围成的菱形面积为2．（1）求C的方程；（2）过右顶点A的直线l交椭圆C于A，B两点．①若|AB|=，求l的方程；②点P（0，y0）在线段AB的垂直平分线上，且=3，求y0．20．（14分）f（x）=ax2+3x﹣（a+3）lnx（a＞﹣）（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程，（2）讨论f（x）的单调性，（3）∀a∈[1，2]，∀x∈[1，3]，f（x）≥ta2恒成立，求实数t的取值范围．2017年天津市南开中学高考数学模拟试卷（文科）（5月份）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．i是虚数单位，则=（）A．﹣+iB．﹣iC．+iD．+i【解答】解：=，故选：C．2．方程ex=2﹣x的根位于（）A．（﹣1，0）B．（0，1）C．（1，2）D．（2，3）【解答】解：设f（x）=ex+x﹣2，则f（0）=1﹣2=﹣1＜0，f（1）=e+1﹣2=e﹣1＞0，所以根据零点存在性定理，在区间（0，1）上函数f（x）存在一个零点，即程ex=2﹣x的根位于（0，1）．故选B．3．下列说法正确的是（）A．命题“∃x0∈R，2＞1”的否定是“∀x∈R，2x≤1”B．命题“若x=y，则x2=y2”的否命题是“若x=y，则x2≠y2”C．p：∀x∈R，x2+1≥1，q：在△ABC中，若sinA=，则A=，则p∧q为真命题D．若平面α⊥平面β，直线a⊂α，直线b⊂β，则a⊥b【解答】解：对于A，命题“∃x0∈R，2＞1”的否定是“∀x∈R，2x≤1”，A正确；对于B，命题“若x=y，则x2=y2”的否命题是“若x≠y，则x2≠y2”，则B不正确；对于C，p：∀x∈R，x2+1≥1，成立，p真；q：在△ABC中，若sinA=，则A=或，q假，则p∧q为假命题，则C不正确；对于D，若平面α⊥平面β，直线a⊂α，直线b⊂β，则a，b平行、相交或异面，则D不正确．故选：A．4．阅读如图的框图，则输出的S=（）A．30B．29C．55D．54【解答】解：模拟程序的运行，可得S=0，i=1执行循环体，i=2，S=4不满足条件i＞4，执行循环体，i=3，S=4+9=13不满足条件i＞4，执行循环体，i=4，S=13+16=29不满足条件i＞4，执行循环体，i=5，S=29+25=54此时，满足条件i＞4，退出循环，输出S的值为54．故选：D．5．如图是函数y=Asin（ωx+φ）（x∈R）在区间[﹣，]上的图象，为了得到这个函数的图象．只需将y=cosx（x∈R）的图象上的所有点（）A．向左平移个单位长度，再把所有点的横坐标扩大到原来的2倍B．向左平移个单位长度．再把所有点的横坐标扩大到原来的2倍C．把所有点的横坐标缩短到原来的，再向左平移个单位长度D．把所有点的横坐标缩短到原来的，再向左平移个单位长度【解答】解：根据函数y=Asin（ωx+φ）（x∈R）在区间[﹣，]上的图象可得A=1，T==+=π，∴ω=2；再根据五点法组图可得2×（﹣）+φ=0，∴φ=，∴函数的解析式为y=sin（2x+），可化为y=sin（2x++）=cos（2x+）=cos2（x+）；把y=cosx（x∈R）的图象向左平移个单位，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，或把所有点的横坐标缩短到原来的，再向左平移个单位长度，可得y=sin（2x+）的图象．故选：C．6．若实数a，b，c满足2a=，log2b=，lnc=，则（）A．a＜c＜bB．a＜b＜cC．b＜c＜aD．c＜b＜a【解答】解：∵2a=，∴log2=a，即log2a=﹣a，作出y=log2x，y=﹣x，y=lnx和y=的函数图象，如图所示：由图象可知∴0＜a＜1，c＞b＞1．∴a＜b＜c．故选：B．7．抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，l为C的准线，P∈C．且|PF|=6，过P作l的垂线，垂足为M，若△FMP为正三角形，则p=（）A．2B．3C．4D．5【解答】解：设准线l与y轴相交于N，由|PF|=6，△FMP为正三角形，则丨MF丨=6，∠PMF=由PM⊥l，∠FMN=，∴丨FN丨=3，即p=丨FN丨=3，∴p=3，故选：B．8．函数f（x）=，若f（x）=kx有三个不同的根，则实数k的取值范围是（）A．（0，）∪（2﹣2，]B．[0，）∪（2﹣2，]C．[0，]∪（2﹣2，]D．（0，]∪（2﹣2，]【解答】解：作出f（x）与y=kx的函数图象如图所示：若直线y=kx过（4，1），则k=，若直线y=kx过（2，3），则k=，若直线y=kx与y=x2﹣2x+3相切，设切点坐标为（x0，y0），则，解得x0=，y0=6﹣2，k=2﹣2，∴当0≤k＜或2＜k≤时，直线y=kx与f（x）的图象有3个交点，故选B．二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9．某单位生产甲，乙，丙三种不同型号的产品，甲乙丙三种产品数量之比为3：4：5，现用分层抽样的方法抽出一个容量为96的样本，则乙种型号的产品数量为32．【解答】解：根据分层抽样原理，当样本容量为96时，抽取乙种型号的产品数量为96×=32．故选：32．10．设集合P={x∈N|x≤8}，Q={x∈R||x﹣1|≤2}，则P∩Q={0，1，2，3}．【解答】解：集合P={x∈N|x≤8}={0，1，2，3，4，5，6，7，8}，Q={x∈R||x﹣1|≤2}={x∈R|﹣2≤x﹣1≤2}={x∈R|﹣1≤x≤3}，则P∩Q={0，1，2，3}．[来源:学科网]故答案为：{0，1，2，3}．11．一个几何体的三视图如图，则该几何体的体积为．【解答】解：由已知中的三视图可得该几何体是一个又正视图为底面的四棱锥由于底面为边长为2的正方形，故S=2×2=4而棱锥的高h=2故V=×S×h=×4×2=故答案为：12．圆x2﹣2ax+y2=4﹣a2在y轴上的截距为2，则实数a=．【解答】解：∵圆x2﹣2ax+y2=4﹣a2在y轴上的截距为2，令x=0，得y=，∴2=2，解得a=．故答案为：．13．已知x＞0，y＞0，且+=2，则x+y的最小值是．【解答】解：∵x＞0，y＞0，且+=2，则x+y=（3x+y）+（x+2y）=[（3x+y）+（2x+4y）]=≥=，当且仅当y=2x=时取等号．[来源:学科网]故答案为：．14．平行四边形ABCD中，|AB|=2，|BC|=，∠DAB=60°，=，=，则•=2+．【解答】解：=4，=2，=2×=，=+（）=+，=，∴=（+）•（）=++=++=2+．故答案为：2+．[来源:学科网]三、解答题（共6小题，满分80分）15．（13分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知cosA=﹣，b=2，a=3．（1）求sinB的值；（2）求sin（2B﹣）的值．【解答】解：（1）cosA=﹣，＜A＜π，则sinA==，由正弦定理=，则sinB=，∴sinB的值；（2）由0＜B＜，则cosB==，则sin2B=2sinBcosB=，cos2B=2cos2B﹣1=，sin（2B﹣）=sin2Bcos﹣cos2Bsin，=×﹣×，=，sin（2B﹣）的值．16．（13分）某公司计划在甲、乙两个仓储基地储存总量不超过300吨的一种紧缺原材料，总费用不超过9万元，此种原材料在甲、乙两个仓储基地的储存费用分别为500元/吨和200元/吨，假定甲、乙两个仓储基地储存的此种原材料每吨能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元．问该公司如何分配在甲、乙两个仓储基地的储存量，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？【解答】解：设公司在甲、乙两个仓储基地储存的原材料分别为x吨和y吨，总收益为z元，由题意得即目标函数为z=3000x+2000y．…（3分）作出二元一次不等式组所表示的平面区域．如图所示…（6分）（注：图象没画或不正确扣3分）作直线l：3000x+2000y=0，即3x+2y=0．平移直线l，从图中可知，当直线l过M点时，目标函数取得最大值．…（8分）联立解得x=100，y=200．∴点M的坐标为（100，200）．∴zmax=3000x+2000y=700000（元）=70（万元）…（11分）答：该公司在甲、乙两个仓储基地储存的原材料分别为100吨和200吨，才能使公司的收益最大，最大收益是70万元．…（12分）17．（13分）在棱长为2的正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是BC，BB1的中点．（1）求证：A1B∥AC1D（2）求证：CE⊥面AC1D（3）求二面角C﹣AC1﹣D的正弦值．【解答】解：（1