2020届江苏省南京市秦淮区高三数学一模试题

海量资源尽在星星文库：届高三第一次模拟考试适应性测试数学试题一、填空题1．设全集U＝{1，2，3，4，5}，若集合A＝{3，4，5}，则∁UA＝．2．已知复数𝑧=21+𝑖+2𝑖（i是虚数单位），则z的共轭复数为．3．函数f（x）=1√𝑥−1的定义域为．4．根据如图所示的伪代码可知，输出的结果为．5．某班要选一名学生做代表，每个学生当选是等可能的，若“选出代表是男生”的概率是“选出代表是女生”的概率的13，则这个班的女生人数占全班人数的百分比是．6．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(𝑎＞0，𝑏＞0)的两条渐近线的方程为y＝±x，则该双曲线的离心率为．7．已知某正四棱锥的底面边长和侧棱长均为2cm，则该棱锥的体积为cm3．8．函数𝑓(𝑥)={𝑥2−3𝑥+2，𝑥≤012𝑥，𝑥＞0，则f（f（0））＝．9．在平面直角坐标系xOy中，圆C的半径为√13，圆心在y轴上，且圆C与直线2x+3y﹣10＝0相切于点P（2，2），则圆C的标准方程是．[来源:Zxxk.Com]10．设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，𝐴𝐷=12𝐴𝐵，𝐵𝐸=23𝐵𝐶，若𝐷𝐸→=𝜆1𝐶𝐵→+𝜆2𝐶𝐴→（λ1，λ2为实数），则λ1+λ2＝．海量资源尽在星星文库：．已知e为自然对数的底数．若不等式（ex﹣1﹣1）（x﹣a）≥0恒成立，则实数a的值是．12．在等差数列{an}中，已知公差d≠0，a22＝a1a4，若𝑎1，𝑎3，𝑎𝑘1，𝑎𝑘2，⋯，𝑎𝑘𝑛，…成等比数列，则kn＝．13．在平面直角坐标系xOy中，直线l是曲线M：y＝sinx（x∈[0，π]）在点A处的一条切线，且l∥OP，其中P为曲线M的最高点，l与x轴交于点B，过A作x轴的垂线，垂足为C，则𝐵𝐴→⋅𝐵𝐶→=．14．在锐角三角形ABC中，已知4sin2A+sin2B＝4sin2C，则1𝑡𝑎𝑛𝐴+1𝑡𝑎𝑛𝐵+1𝑡𝑎𝑛𝐶的最小值为．二、解答题15．如图，在△ABC中，已知B=𝜋4，AB＝3，AD为边BC上的中线，设∠BAD＝α，若cosα=2√55．（1）求AD的长；（2）求sinC的值．16．在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，PD⊥平面ABCD，BD＝CD，E，F分别为BC，PD的中点．（1）求证：EF∥平面PAB；（2）求证：平面PBC⊥平面EFD．17．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆𝐶：𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(𝑎＞𝑏＞0)的离心率为12，右海量资源尽在星星文库：．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设过F的直线l与椭圆C相交于P，Q两点．已知l被圆O：x2+y2＝a2截得的弦长为√14，求△OPQ的面积．18．如图，OM，ON是某景区的两条道路（宽度忽略不计），其中OM为东西走向，Q为景区内一景点，A为道路OM上一游客休息区．已知tan∠MON＝﹣3，OA＝6（百米），Q到到直线OM，ON的距离分别为3（百米），6√105（百米）．现新修一条自A经过Q的直线型观光车轨道AB（点B在ON上），并在B处修建一游客休息区．（1）求轨道AB的长；（2）已知在景点Q的正北方6百米的P处有一大型音乐喷泉，喷泉表演一次的时长为9分钟．表演时，喷泉喷洒区域是以P为圆心，r为半径的圆心区域，且t分钟时，𝑟=2√𝑎𝑡（百米）（0≤t≤9，0＜a＜1）．当喷泉表演开始时，一观光车S（大小忽略不计）正从休息区B沿轨道BA以√2（百米/分钟）的速度开往休息区A．试判断观光车在行驶途中是否会被喷泉喷洒到？并说明理由．19．在数列{an}中，a1＝3，且对任意的正整数n，都有an+1＝λan+2×3n，其中常数λ＞0．（1）设bn=𝑎𝑛3𝑛，𝑛∈𝑁∗．当λ＝3时，求数列{bn}的通项公式；（2）若λ≠1且λ≠3，设cn＝an+2𝜆−3×3𝑛，𝑛∈𝑁∗，证明：数列{cn}的等比数列；[来源:Z|xx|k.Com]（3）当λ＝4时，对任意的n∈N*，都有an≥M，求实数M的最大值．海量资源尽在星星文库：．已知函数g（x）＝ex﹣ax2﹣ax，h（x）＝ex﹣2x﹣lnx．其中e为自然对数的底数．（1）若f（x）＝h（x）﹣g（x）．①讨论f（x）的单调性；②若函数f（x）有两个不同的零点，求实数a的取值范围．（2）已知a＞0，函数g（x）恰有两个不同的极值点x1，x2，证明：𝑥1+𝑥2＜𝑙𝑛(4𝑎2)．