上海交大附中2013届高三5月月考数学理试题

上海交通大学附属中学2012-2013学年度第二学期高三数学月考试卷(理)（说明：本试卷满分150分，考试时间120分钟。本套试卷另附答题纸，每道题的解答必须写在答题纸的相应位置，本卷上任何解答都不作评分依据．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．。）一、填空题（本大题满分56分，每题4分，填错或不填在正确的位置一律得零分）1．已知复数z满足izi)1(，则z=2．已知集合lg(1),213SxyxTxx,则ST=_________.3．在等差数列na中，已知137a，2915a，则通项公式na=_____________.4．若P是圆012422yxyx上的动点，则P到直线02434yx的最小距离是_____________.5．某区有200名学生参加数学竞赛，随机抽取10名学生成绩如下：则总体标准差的点估计值是.（精确到0.01）6．函数3sinsin()yxx的最大值是______________.7．二项式9)1(xx展开式中的常数项为.8．已知曲线12CC，的极坐标方程分别为π4cos002，≥≤，cos3，则曲线1C与2C交点的一个极坐标为．9．若12332lim21112nnnnnaa，则a。10．已知)(xf是最小正周期为2的函数，当(1,1]x时，2()1fxx,若在区间(3,5]上axxf)(有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是___________11．某校学生在上学路上要经过2个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是13，遇到红灯时停留的时间都是2分钟．则该校某个学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间的均值等于分钟．12．设直线m与平面相交但不．垂直，则下列所有正确的命题序号是．①在平面内有且只有一条直线与直线m垂直；成绩人数401150602213708090②过直线m有且只有一个平面与平面垂直；③与直线m平行的直线不．可能与平面垂直；④与直线m垂直的直线不．可能与平面平行；⑤与直线m平行的平面不．可能与平面垂直．13．已知定义域为R的偶函数)(xf，对于任意Rx，满足)2()2(xfxf。且当20x时xxf)(。令)()(1xgxg，))(()(1xggxgnn，其中*Nn，函数201()4212xxgxxx。则方程(())2014nxgfx的解得个数为______________（结果用n表示）14．函数11yx的图像与函数2sinyx（[2,4],xkkkZ）的图像所有交点的横坐标之和等于2012，则满足条件的整数k的值是______________二、选择题（本大题满分20分）15．如果命题“曲线C上的点的坐标都是方程(,)0fxy的解”是正确的，则下列命题中正确的是………………（）（A）曲线C是方程(,)0fxy的曲线；（B）方程(,)0fxy的每一组解对应的点都在曲线C上；（C）不满足方程(,)0fxy的点(,)xy不在曲线C上；（D）方程(,)0fxy是曲线C的方程.16、若框图所给的程序运行的结果为90S，那么判断框中应填入的关于k的判断条件错误．．的是……………………………………………………（）（A）8k（B）8k（C）9k（D）9k17．将若干水倒入底面半径为cm2的圆柱器皿中（底面水平放置），量得水面的高度为cm6．若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒置的圆锥形器皿中，则水面的高度是（）A．cm36B．cm6C．cm1823D．cm123318．设}{na是公比为q的等比数列，首项6411a，对于Nn，nnab21log，当且仅当4n时，数列nb的前n项和取得最大值，则q的取值范围为…………（）A．)32,3(B．)4,3(C．)4,22(D．)23,22(第16题图三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸规定的方框内写出必要的步骤.19、（本题共2小题，其中第1小题6分，第2小题6分，满分12分）如图所示，在三棱锥ABCP中，PD平面ABC，且垂足D在棱AC上，6ABBC，1AD，3CD，3PD。（1）证明PBC为直角三角形；（2）求点A到平面PBC的距离。20、（本题共2小题，其中第1小题7分，第2小题7分，满分14分）在ABC中，角,,ABC的对边分别为,,abc,且3cos4B。（1）求2sin2cos2ACB的值；（2）若3b，求ABC面积的最大值。21、（本题共2小题，其中第1小题6分，第2小题8分，满分14分）已知函数22()32log,()logfxxgxx.（1）当1,4x时，求函数()()1()hxfxgx的值域；（2）如果对任意的12,2nnx，nN，不等式2()()()fxfxkgx恒成立，求实数k的取值范围.22、（本题共3小题，其中第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分，满分16分）已知椭圆2214yx的左，右两个顶点分别为A、B，曲线C是以A、B两点为顶点，BPACD焦距为25的双曲线。设点P在第一象限且在曲线C上，直线AP与椭圆相交于另一点T。（1）求曲线C的方程；（2）设P、T两点的横坐标分别为1x、2x，求证12xx为一定值；（3）设TAB与POB（其中O为坐标原点）的面积分别为1S与2S，且15PAPB，求2212SS的取值范围。23、（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）已知数列na的各项都是正数，且满足：11a,11(4)2nnnaaa,*nN(1)求证2na,*nN；(2)判断数列na的单调性；(2)求数列na的通项公式na。参考答案：一、填空题1．22；2.}11|{xx；3.2n-1；4.5；5．17.64；6．43；7.84；8．(23,)6；9．21；10．15150a；11．34；12.②③；13.20142n；14．1002或1003。14、函数11yx图象的对称中心是（1,0），这也是函数2sinyx（[2,4],xkkkZ）的对称中心，其对称两个交点的横坐标之和为2，于是共有2012个交点。注意到在[0,2]内有4个交点，其余周期内均2个交点，又kZ，而周期为2，于是1002k或1003。二、15．C；16．D；17．B；18．C。三、19、（本题共2小题，其中第1小题6分，第2小题6分，满分12分）解：（1）以点E为坐标原点，以EB，EC所在的直线分别为x轴，y轴建立如图的空间直角坐标系Exyz--------------------------------------1’则2,0,0B，0,2,0C，0,1,3P----2’于是2,1,3BP，2,2,0BC因为2,1,32,2,00BPBCBPBC，BPBC-------------5’PBC为直角三角形------------------6’（2）由（1）可得，0,2,0A于是0,1,3AP，---------------------7’2,1,3PB，0,3,3PC设平面PBC的法向量为,,nxyz则0,0.nPBnPC即230,330.xyzyz取1y，则3z，2x平面PBC的一个法向量为2,1,3n-------------------------------------------10’点A到平面PBC的距离为426||3||6APnn------------------------------12’解二：（1）联BD直接计算，求出26cos,33ABD，于是26BP，可验证：222BPBCPC，于是PBC是直角三角形；（2）利用体积ABPCPABCVV可得。20、（本题共2小题，其中第1小题6分，第2小题6分，满分12分）解：（I）因为3cos4B，所以7sin4B.-------------------------1’又22πsin2cos2sincoscos22ACBBBBBPACDExyz12sincos(1cos)2BBB=73244+18=1378.----------------------6’（II）由已知得2223cos24acbBac，------------------------7’又因为3b，所以22332acac.------------------------8’又因为223322acacac，所以6ac，当且仅当6ac时，ac取得最大值.-------------------11’此时11737sin62244ABCSacB.所以ABC的面积的最大值为374.-------------------------12’21、（本题共2小题，其中第1小题6分，第2小题8分，满分14分）解：（1）2222()(42log)log2(log1)2hxxxx…………………2分因为1,4x，所以2log0,2x，…………………4分故函数()hx的值域为0,2…………………6分（2）由2()()()fxfxkgx得222(34log)(3log)logxxkx令2logtx，因为12,2nnx，所以2log,1txnn所以(34)(3)ttkt对一切的,1tnn恒成立…………………8分①当0n时，若0t时，kR；…………………9分当0,1t时，(34)(3)ttkt恒成立，即9415ktt函数9415tt在0,1t单调递减，于是1t时取最小值2，此时2x，于是,2k；…………………10分○2当1n时，此时[1,2]t时，(34)(3)ttkt恒成立，即9415ktt因为9412tt，当且仅当94tt，即32t时取等号，所以9415tt的最小值为3，,3k；…………………12分○3当2n时，此时[,1]tnn时，(34)(3)ttkt恒成立，即9415ktt函数9415tt在[,1]tnn单调递增，于是tn时取最小值9415nn，此时2nx，于是9,415knn。……………………………………………14分22、（本题共3小题，其中第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分，满分16分）解：（1）依题意可得1,0A，1,0B-------------------------------------------------------1’双曲线的焦距为25，5c，222514bca------------3’双曲线C的方程为2214yx-----------------------------------------------------4’（2）证明：设点11,Pxy、22,Txy（0ix，1,2i），直线AP的斜率为k（0k），则直线AP的方程为1ykx------------------------------------------------5’联立方程组22114ykxyx整理，得22224240kxkxk---6’解得1x或2244kxk22244kxk---------------------------------------7’同理方程组22114ykxyx