上海徐汇中学2012届高三第一学期期中数学试题和答案

徐汇中学2012届第一学期高三数学期中考试试卷2011、11一、填空题（每题4分，共64分）1、已知全集U={0，2，4，6，8，10}，集合A={2，4，6}，B＝{10}，则UA∪B为{0，1，8，10}2、函数216yxx的定义域是（-3，2）3、已知集合P＝{x|x2≤1}，M＝{a}．若P∪M＝P，则a的取值范围是[－1,1]4、对于函数Rxxfy，)(，“|)(|xfy的图像关于y轴对称”是“()yfx是奇函数”的必要非充分条件5、下列四个不等式：①a0b；②ba0；③b0a；④0ba，其中能使1a＜1b成立的充分条件有1，2，4（填序号）6、若函数))(12()(axxxxf为奇函数，则a=127、若不等式43xxa在R上的解集非空，则实数a的取值范围是1a8、等差数列{an}中，Sn是其前n项和，a1＝－11，S1010－S88＝2，则S11＝-119、若不等式)0(axax的解集为}|{nxmx，且anm2||，则a的取值集合为{2}10、已知集合A＝{x||x＋3|＋|x－4|≤9，x∈R}，B＝{xx＝4t＋1t－6，t∈(0，＋∞)，x∈R}，则集合A∩B={x|－2≤x≤5}11、《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为___6766_________升12、已知函数()yfx的定义域为R，当0x时，()1fx，且对任意的,xyR，等式()()()fxfyfxy成立．若数列{}na满足,1(0)af11()(2)nnfafa)(Nn则2011a的值为402113、已知点O(0,0)、Q0(0,1)和点R0(3,1)，记Q0R0的中点为P1，取Q0P1和P1R0中的一条，记其端点为Q1、R1，使之满足11||2||20OQOR，记Q1R1的中点为P2，取Q1P2和P2R1中的一条，记其端点为Q2、R2，使之满足22||2||20OQOR.依次下去，得到12,,,,nPPP，则0lim||nnQP314、若X是一个集合，τ是一个以X的某些子集为元素的集合，且满足：①X属于τ，属于τ；②τ中任意多个元素的并集属于τ；③τ中任意多个元素的交集属于τ.则称τ是集合X上的一个拓扑．已知集合X＝{a，b，c}，对于下面给出的四个集合τ：①τ＝{，{a},{c},{a,b,c}}；②τ＝{，{b},{c},{b,c},{a,b,c}}；③τ＝{，{a},{a,b},{a,c}}；④τ＝{，{a,c},{b,c},{c},{a,b,c}}．其中是集合X上的拓扑的集合τ的序号是_______2，4_____________二、选择题（每题5分，共20分）15、设等差数列}{na的前n项和为1413121184,20,8,aaaaSSSn则若（A）A．18B．17C．16D．1516、设2()|2|fxx，若0ab，且()()fafb，则ab的取值范围是（A）A．(0,2)B．(0,2]C．(0,4]D．(0,2)17、已知函数()fx是(,)上的偶函数，若对于0x，都有(2()fxfx），且当[0,2)x时，2()log(1fxx），则(2010)(2011)ff的值为(C)A．2B．1C．1D．218、函数()Mfx的定义域为R，且定义如下：1,()()0,()MxMfxxM（其中M是实数集R的非空真子集），在实数集R上有两个非空真子集A、B满足AB，则函数()1()()()1ABABfxFxfxfx的值域为（B）A．0B．1C．0,1D．三、解答题（要有必要的解题步骤，共74分）19、已知0a且1a，关于x的不等式1xa的解集是0xx，解关于x的不等式1log()0axx解：关于x的不等式1xa的解集是0xx，所以1a，故1011115log()012xxaxxxxx或1512x原不等式的解集是1515(1,)(1,)22。20、已知集合22Axx12,Bxxax60,Cxx2x150（1）若ABB，求a的取值范围（2）若ABBC，求a的取值范围解：)5,3(),3,1(CA(1)由BBA知BA,令6)(2axxxf，则0)3(0)1(ff得-52a（2）假设存在a的值使ABBC，由ABBCB知BA，又BABBC知BC,ABC.由（1）知若AB,则a1-5-，当BC时，0242a，B0)5(0)3(ff得1a519故存在a1-519-，满足条件21、已知函数)3(),1(),0()(log)(2ffftxxf，且成等差数列，点P是函数()yfx图像上任意一点，点P关于原点的对称点Q的轨迹是函数()ygx的图像（1）解关于x的不等式2()()0fxgx（2）当0,1)x时，总有2()()fxgxm恒成立，求m的取值范围解：由)3(),1(),0(fff成等差数列，得)3(loglog)1(log2222ttt，即1),0)(3()1(2ttttt，)1(log)(2xxf由题意知：P、Q关于原点对称，设),(yxQ函数)(xgy图像上任一点，则),(yxP是)1(log)(2xxf)上的点，所以)1(log2xy，于是)1(log)(2xxg(1)2()()0fxgx101)1(01012xxxxx此不等式的解集是10xx(2)),1(log)1(log2)()(222xxxgxfy当0,1)x时mxgxf)()(2恒成立，即在当0,1)x时mxx2log1)1(log222恒成立，即xxm1)1(22,设2(1)4()(1)4,0110,11xxxxxxx上单增在)1,0[)(xy0min()1,1,0mxaam22、某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备M，M的价值在使用过程中逐年减少，从第2年到第6年，每年初M的价值比上年初减少10万元；从第7年开始，每年初M的价值为上年初的75%(1)求第n年初M的价值an的表达式(2)设An＝a1＋a2＋…＋ann，若An大于80万元，则M继续使用，否则须在第n年初对M更新．问：该企业必须在第几年的年初对设备M更新？请说明理由【解答】(1)当n≤6时，数列{an}是首项为120，公差为－10的等差数列．an＝120－10(n－1)＝130－10n；当n≥6时，数列{an}是以a6为首项，公比为34的等比数列，又a6＝70，所以an＝70×34n－6.因此，第n年初，M的价值an的表达式为an＝130－10n，n≤6，70×34n－6，n≥7.(2)设Sn表示数列{an}的前n项和，由等差及等比数列的求和公式得当1≤n≤6时，Sn＝120n－5n(n－1)，An＝120－5(n－1)＝125－5n；当n≥7时，由于S6＝570，故Sn＝S6＋(a7＋a8＋…＋an)＝570＋70×34×4×1－34n－6＝780－210×34n－6，An＝780－210×34n－6n，因为{an}是递减数列，所以{An}是递减数列．又A8＝780－210×3428＝82476480，A9＝780－210×3439＝76799680，所以须在第9年初对M更新．23、（1）等比数列na中，对任意2n，Nn时都有nnnaaa,,11成等差，求公比q的值（2）设nS是等比数列na的前n项和，当693,,SSS成等差时，是否有582,,aaa一定也成等差数列？说明理由（3）设等比数列na的公比为q，前n项和为nS，是否存在正整数k，使mkmkmSSS,,成等差且nknknaaa,,也成等差，若存在，求出k与q满足的关系；若不存在，请说明理由解：（1）当2n，Nn时有112nnnaaa221qq解得1q或21q……………………………………5分（2）当1q时nS1na，显然1116,9,3aaa不是等差数列，所以1q，qqaSnn1)1(1由693,,SSS成等差得qqaqqaqqa1)1(21)1(1)1(9161312123963qqqq或13q（不合题意）所以213q；所以85262322632221aaaqaqaaqq即一定有582,,aaa成等差数列。…………………………………11分（3）假设存在正整数k，使mkmkmSSS,,成等差且nknknaaa,,也成等差。当1q时nS1na，显然111,)(,)(maakmakm不是等差数列，所以1q，qqaSnn1)1(1……………………………13分由mkmkmSSS,,成等差得qqaqqaqqakmmkm1)1(21)1(1)1(111kkkmmkmqqqqq221221kq或1kq…………16分当k为偶数时，1q，则有mkmkmSSS且nknknaaa；当k为奇数时，21kq；knnknkknkknknkkaaaqaqaaqq222122，综上所述，存在正整数k（nkmk,）满足题设，当k为偶数时，1q；当k为奇数时，21kq。………………………18分