上海进才中学2012学年高一第二学期期中考试数学试题

上海市进才中学期中考试试卷上海市进才中学2012学年第二学期期中考试（时间90分钟，满分100分）高一年级数学试卷2013年4月命题教师卢明审题教师张乐瑛一、填空题（每题3分，满分36分，请将正确答案直接填写在相应空格上）1．若2013o，则与具有相同终边的最小正角为。2.已知扇形的圆心角为32，半径为5，则扇形的面积为。3．已知角的终边经过点4,3P，则cos。4.函数2sin1(02)yxx的定义域为。5．若22tan，则4tan。6．若)23,(，化简：22cot1sintan1cos。7.已知2tan，则sin(7)5cos(2)33sin()sin()2。8.在ABC中,1tantanBA,则这个三角形的形状是。9．在ABC中,已知6,2,60abAo，则这样的三角形的有_______个。10．在(0,2)内，使cossintanxxx的成立的x的取值范围是。11．凸函数的性质定理为：如果函数)(xf在区间D上是凸函数，则对D内的任意nxxx,,,21，有nxfxfxfn)()()(2112()nxxxfnL.函数xxfsin)(在区间),0(上是凸函数，则在ABC中，sinsinsinABC的最大值为。12．方程0cos2xx的解可视为函数xycos的图像与函数2xy的图像的交点的横坐标，方程012sin102xxx的实数解的个数为。二、选择题（每小题4分，满分16分，每小题只有一个正确答案，请将正确答案的代号填写在题后括号内）13．“23”是“tan3”成立的()（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）非充分非必要条件。14．函数xycos的单调递减区间是()（A）Zkkk]12,2[（B）Zkkk]2,12[（C）Zkkk]1,[（D）Zkkk],1[学校班级姓名准考证号密封线内不要答题15．下列函数中，周期为的偶函数是()（A）xytan（B）1cos22xy（C）xycos2（D）2)sin(cosxxy16．设函数sinyx的定义域为],[ba，值域为11,2，则以下结论中错误的是（）（A）ab的最小值为23（B）ab的最大值为43（C）a不可能等于26k，kZ（D）b不可能等于26k，kZ三、解答题（共5小题，满分48分，解答要有详细的论证过程与运算步骤）17．（本题满分6分）三角比内容丰富，公式很多。若仔细观察、大胆猜想、科学求证，你也能发现其中的一些奥秘。请你完成以下问题：（1）计算：cos2cos88_______sin47sin133，cos5cos85______sin50sin130。（直接写答案,别忘记把计算器设置成“角度”呦！）（2）根据（1）的计算结果，请你猜出一个一般性的结论：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．（用数学式子加以表达，并证明你的结论，写出推理过程．）18.（本题满分10分）定义：bxayyxba。已知31cos)sin(sin)cos(。（1）求2cos的值；（2）求)24tan(的值。19.（本题满分10分）请研究与函数xxftan)(相关的下列问题，在表中填写结论.问题结论（不需要过程）分数求(2)3fx的定义域求函数(2)3fx的周期写出(2)3fx的单调区间（指明是增还是减）写出)2(xf在区间]4,4[范围内的值域写出)2(xf图像的所有对称中心20．（本题满分10分）已知扇形OAB的半径为3，圆心角60AOB，过弧AB上的动点P作平行于BO的直线交AO于点Q，设AOP。（1）求POQ的面积S关于的函数解析式)(fS；（2）为何值时，)(fS有最大值？并求出该最大值。QBOAP21．（本题满分12分）函数的性质通常指函数的定义域、值域、周期性、单调性、奇偶性、对称性等，请选择适当的探究顺序，研究函数()1sin1sinfxxx的性质，并在此基础上填写下表，作出()fx在区间[,2]上的图像。解：性质理由结论得分定义域值域奇偶性周期性单调性对称性作图上海市进才中学期中考试试卷上海市进才中学2012学年第二学期期中考试（时间90分钟，满分100分）高一年级数学试卷2013年4月命题教师卢明审题教师张乐瑛一、填空题（每题3分，满分36分，请将正确答案直接填写在相应空格上）1．若2013o，则与具有相同终边的最小正角为213o。2.已知扇形的圆心角为32，半径为5，则扇形的面积为253。3．已知角的终边经过点4,3P，则cos454.函数2sin1(02)yxx的定义域为5[,]66。5．若22tan，则4tan71。6．若)23,(，化简：22cot1sintan1cos1。7.已知2tan，则sin(7)5cos(2)33sin()sin()235。8.在ABC中,1tantanBA,则这个三角形的形状是钝角三角形。9．在ABC中,已知6,2,60abAo，则这样的三角形的有____1___个。10．在(0,2)内，使cossintanxxx的成立的x的取值范围是3(,2)2。11．凸函数的性质定理为：如果函数)(xf在区间D上是凸函数，则对D内的任意nxxx,,,21，有nxfxfxfn)()()(2112()nxxxfnL.函数xxfsin)(在区间),0(上是凸函数，则在ABC中，sinsinsinABC的最大值为332。12．方程0cos2xx的解可视为函数xycos的图像与函数2xy的图像的交点的横坐标，方程012sin102xxx的实数解的个数为12。二、选择题（每小题4分，满分16分，每小题只有一个正确答案，请将正确答案的代号填写在题后括号内）13．“23”是“tan3”成立的(B)（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）非充分非必要条件。14．函数xycos的单调递减区间是(A)（A）Zkkk]12,2[（B）Zkkk]2,12[（C）Zkkk]1,[（D）Zkkk],1[学校班级姓名准考证号密封线内不要答题15．下列函数中，周期为的偶函数是(B)（A）xytan（B）1cos22xy（C）xycos2（D）2)sin(cosxxy16．设函数sinyx的定义域为],[ba，值域为11,2，则以下结论中错误的是（D）（A）ab的最小值为23（B）ab的最大值为43（C）a不可能等于26k，kZ（D）b不可能等于26k，kZ三、解答题（共5小题，满分48分，解答要有详细的论证过程与运算步骤）17．（本题满分6分）三角比内容丰富，公式很多。若仔细观察、大胆猜想、科学求证，你也能发现其中的一些奥秘。请你完成以下问题：（1）计算：.______130sin85cos50sin5cos_______;133sin88cos47sin2cos（直接写答案,别忘记把计算器设置成“角度”呦！）（2）根据（1）的计算结果，请你猜出一个一般性的结论：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．（用数学式子加以表达，并证明你的结论，写出推理过程．）解：（1）2;2（2）猜想：cos()cos22.3sin()sin()44xxxx其中,4xkkz证明：33()(),sin()sin()4444xxxxQ，又cos()sin2xx，所以等式左边=2sin()cossin42sin()sin()44xxxxx18.（本题满分10分）定义：bxayyxba。已知31cos)sin(sin)cos(。（1）求2cos的值；（2）求)24tan(的值。解：（1）cos()sin1cos()cossin()cos3……2分，27cos22cos19……4分（2）由1cos3知，22sin3，又sin()cos2tan()421sin1cos()2……6分当22sin3时，1tan()32242322，当22sin3时，1tan()32242322。……10分19.（本题满分10分）请研究与函数xxftan)(相关的下列问题，在表中填写结论.解：问题结论求(2)3fx的定义域5{|,}212kxxRx()kZ求函数(2)3fx的周期周期依次为2写出(2)3fx的单调区间（指明是增还是减）增区间5(,)212212kk()kZ写出()2fx在区间[,]44范围内的值域(,1][1,)U写出(2)fx图像的所有对称中心(,0)4k()kZ20．（本题满分10分）已知扇形OAB的半径为3，圆心角60AOB，过弧AB上的动点P作平行于BO的直线交AO于点Q，设AOP。（1）求POQ的面积S关于的函数解析式)(fS；（2）为何值时，)(fS有最大值？并求出该最大值。20．（1）在POQ中，由正弦定理得：OQPOPOPQOQsinsin，即120sin3)60(sinOQ，∴)60(sin32OQ。)600(,)60(sinsin33sin21POQOQOPS。（2）]60cos)602(cos[233)60(sinsin33S]21)602(cos[233，故当1)602(cos，即30时，433maxS。QBOAP21．（本题满分12分）函数的性质通常指函数的定义域、值域、周期性、单调性、奇偶性、对称性等，请选择适当的探究顺序，研究函数()1sin1sinfxxx的性质，并在此基础上填写下表，作出()fx在区间[,2]上的图像。解：性质理由结论得分定义域1sin1x定义域R1分值域222|cos|[2,4]yx值域[2,2]2分奇偶性()()fxfx偶函数1分周期性()()fxfx周期T2分单调性2cos[0,]22()2sin[,]22xxfxxx在[,]2kk上递减，在[,]2kk上递减()kZ2分对称性()()fxfx，()()22fxfx，……关于直线2kx对称()kZ2分作图2分