人教a版数学选修11作业333函数的最大小值与导数含答案

3.3.3函数的最大(小)值与导数课时目标1.能够区分极值与最值两个不同的概念.2.会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)．1．最大值：如果在函数定义域I内存在x0，使得对任意的x∈I，总有______________，则称f(x0)为函数在______________的最大值．2．一般地，如果在区间[a，b]上的函数y＝f(x)的图象是一条______________的曲线，那么f(x)必有最大值和最小值．此性质包括两个条件：(1)给定函数的区间是____________；(2)函数图象在区间上的每一点必须______________．函数的最值是比较整个__________的函数值得出的，函数的极值是比较______________的函数值得到的．3．一般地，求f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：(1)求f(x)在(a，b)内的________；(2)将f(x)的各极值与________________________比较，其中________的一个是最大值，________的一个是最小值．一、选择题1．下列结论正确的是()A．若f(x)在[a，b]上有极大值，则极大值一定是[a，b]上的最大值B．若f(x)在[a，b]上有极小值，则极小值一定是[a，b]上的最小值C．若f(x)在[a，b]上有极大值，则极小值一定是x＝a和x＝b时取得D．若f(x)在[a，b]上连续，则f(x)在[a，b]上存在最大值和最小值2．函数f(x)＝x2－4x＋1在[1,5]上的最大值和最小值是()A．f(1)，f(3)B．f(3)，f(5)C．f(1)，f(5)D．f(5)，f(2)3．函数y＝xex在[0,2]上的最大值是()A．当x＝1时，y＝1eB．当x＝2时，y＝2e2C．当x＝0时，y＝0D．当x＝12，y＝12e4．函数y＝x＋1－x在(0,1)上的最大值为()A.2B．1C．0D．不存在5．已知函数f(x)＝ax3＋c，且f′(1)＝6，函数在[1,2]上的最大值为20，则c的值为()A．1B．4C．－1D．06．已知函数y＝－x2－2x＋3在[a,2]上的最大值为154，则a等于()A．－32B.12C．－12D．－12或－32题号123456答案二、填空题7．函数f(x)＝lnx－x在(0，e]上的最大值为________．8．函数f(x)＝12ex(sinx＋cosx)在区间0，π2上的值域为__________________．9．若函数f(x)＝x3－3x－a在区间[0,3]上的最大值、最小值分别为M、N，则M－N的值为________．三、解答题10．求下列各函数的最值．(1)f(x)＝12x＋sinx，x∈[0,2π]；(2)f(x)＝x3－3x2＋6x－2，x∈[－1,1]．11．已知f(x)＝x3－x2－x＋3，x∈[－1,2]，f(x)－m0恒成立，求实数m的取值范围．能力提升12．设函数f(x)＝12x2ex.(1)求f(x)的单调区间；(2)若当x∈[－2,2]时，不等式f(x)m恒成立，求实数m的取值范围．13．若f(x)＝ax3－6ax2＋b，x∈[－1,2]的最大值为3，最小值是－29，求a、b的值．1．求闭区间上函数的最值也可直接求出端点函数值和导数为零时x对应的函数值，通过比较大小确定函数的最值．2．在求解与最值有关的函数综合问题时，要发挥导数的解题功能，同时也要注意对字母的分类讨论；而有关恒成立问题，一般是转化为求函数的最值问题．3．3.3函数的最大(小)值与导数答案知识梳理1．f(x)≤f(x0)定义域上2．连续不断(1)闭区间(2)连续不间断定义域极值点附近3．(1)极值(2)端点处的函数值f(a)，f(b)最大最小作业设计1．D[函数f(x)在[a，b]上的极值不一定是最值，最值也不一定是极值，极值一定不会在端点处取得，而在[a，b]上一定存在最大值和最小值．]2．D[f′(x)＝2x－4，令f′(x)＝0，得x＝2.∵f(1)＝－2，f(2)＝－3，f(5)＝6.∴最大值为f(5)，最小值为f(2)．]3．A[y′＝ex－x·exex2＝1－xex，令y′＝0得x＝1.∵x＝0时，y＝0，x＝1时，y＝1e，x＝2时，y＝2e2，∴最大值为1e(x＝1时取得)．]4．A[y′＝12x－121－x.由y′＝0，得x＝12.又0x12时，y′0，12x1时，y′0，所以ymax＝12＋1－12＝2.]5．B[∵f′(x)＝3ax2，∴f′(1)＝3a＝6，∴a＝2.当x∈[1,2]时，f′(x)＝6x20，即f(x)在[1,2]上是增函数，∴f(x)max＝f(2)＝2×23＋c＝20，∴c＝4.]6．C[y′＝－2x－2，令y′＝0，得x＝－1.当a≤－1时，最大值为f(－1)＝4，不合题意．当－1a2时，f(x)在[a,2]上单调递减，最大值为f(a)＝－a2－2a＋3＝154，解得a＝－12或a＝－32(舍去)．]7．－1解析f′(x)＝1x－1＝1－xx，令f′(x)0得0x1，令f′(x)0得x0或x1，∴f(x)在(0,1]上是增函数，在(1，e]上是减函数．∴当x＝1时，f(x)有最大值f(1)＝－1.8.12，12eπ2解析∵x∈0，π2，∴f′(x)＝excosx≥0，∴f(0)≤f(x)≤fπ2.即12≤f(x)≤12eπ2.9．20解析f′(x)＝3x2－3，令f′(x)＝0，得x＝1，(x＝－1舍去)．∵f(0)＝－a，f(1)＝－2－a，f(3)＝18－a.∴M＝18－a，N＝－2－a.∴M－N＝20.10．解(1)f′(x)＝12＋cosx.令f′(x)＝0，又∵0≤x≤2π，∴x＝2π3或x＝4π3.∴f2π3＝π3＋32，f4π3＝2π3－32，又∵f(0)＝0，f(2π)＝π.∴当x＝0时，f(x)有最小值f(0)＝0，当x＝2π时，f(x)有最大值f(2π)＝π.(2)f′(x)＝3x2－6x＋6＝3(x2－2x＋2)＝3(x－1)2＋3，∵f′(x)在[－1,1]内恒大于0，∴f(x)在[－1,1]上为增函数．故x＝－1时，f(x)最小值＝－12；x＝1时，f(x)最大值＝2.即f(x)在[－1,1]上的最小值为－12，最大值为2.11．解由f(x)－m0，即mf(x)恒成立，知mf(x)max，f′(x)＝3x2－2x－1，令f′(x)＝0，解得x＝－13或x＝1.因为f(－13)＝8627，f(1)＝2，f(－1)＝2，f(2)＝5.所以f(x)的最大值为5，故m的取值范围为(5，＋∞)．12．解(1)f′(x)＝xex＋12x2ex＝ex2x(x＋2)．由ex2x(x＋2)0，解得x0或x－2，∴(－∞，－2)，(0，＋∞)为f(x)的增区间，由ex2x(x＋2)0，得－2x0，∴(－2,0)为f(x)的减区间．∴f(x)的单调增区间为(－∞，－2)，(0，＋∞)；单调减区间为(－2,0)．(2)令f′(x)＝0，得x＝0或x＝－2，∵f(－2)＝2e2，f(2)＝2e2，f(0)＝0，∴f(x)∈[0,2e2]，又∵f(x)m恒成立，∴m0.故m的取值范围为(－∞，0)．13．解∵f(x)＝ax3－6ax2＋b，∴f′(x)＝3ax2－12ax.令f′(x)＝0，解得x＝0或4.∵4[－1,2]，故舍去，∴f(x)取最大值，最小值的点在x＝－1、0、2上取得，f(－1)＝－7a＋b，f(0)＝b，f(2)＝－16a＋b.当a0时，最大值为b＝3，最小值为－16a＋b＝－29，解得a＝2，b＝3，当a0时，最大值为－16a＋b＝3，b＝－29，解得a＝－2b＝－29，综上所述：a＝2b＝3或a＝－2b＝－29.