人教a版数学选修11作业34生活中的优化问题举例含答案

§3.4生活中的优化问题举例课时目标通过用料最省、利润最大、效率最高等优化问题，使学生体会导数在解决实际问题中的作用，会利用导数解决简单的实际生活中的优化问题．1．生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为____________，通过前面的学习，我们知道________是求函数最大(小)值的有力工具，运用________，可以解决一些生活中的______________．2．解决实际应用问题时，要把问题中所涉及的几个变量转化成函数关系，这需通过分析、联想、抽象和转化完成．函数的最值要由极值和端点的函数值确定，当定义域是开区间，而且其上有惟一的极值，则它就是函数的最值．3．解决优化问题的基本思路是：用函数表示的数学问题→用函数表示的数学问题↓优化问题的答案←用导数解决数学问题上述解决优化问题的过程是一个典型的__________过程．一、选择题1．某箱子的容积与底面边长x的关系为V(x)＝x260－x2(0x60)，则当箱子的容积最大时，箱子底面边长为()A．30B．40C．50D．其他2．已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－13x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为()A．13万件B．11万件C．9万件D．7万件3．某工厂要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，当砌壁所用的材料最省时堆料场的长和宽分别为()A．32米，16米B．30米，15米C．40米，20米D．36米，18米4．若底面为等边三角形的直棱柱的体积为V，则其表面积最小时，底面边长为()A．3VB．32VC．34VD．23V5．要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20cm，要使其体积最大，则高为()A．33cmB．1033cmC．1633cmD．2033cm6．某公司生产某种产品，固定成本为20000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总收益r与年产量x的关系是r＝400x－12x20≤x≤40080000x400，则总利润最大时，年产量是()A．100B．150C．200D．300题号123456答案二、填空题7．某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与到车站的距离成正比，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元．那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________千米处．8．如图所示，一窗户的上部是半圆，下部是矩形，如果窗户面积一定，窗户周长最小时，x与h的比为________．9．做一个无盖的圆柱形水桶，若需使其体积是27π，且用料最省，则圆柱的底面半径为________．三、解答题10．某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩．经测算，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2＋x)x万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其它因素．记余下工程的费用为y万元．(1)试写出y关于x的函数关系式；(2)当m＝640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？11．某商品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件．如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值x(单位：元，0≤x≤30)的平方成正比，已知商品单价降低2元时，一星期多卖出24件．(1)将一个星期的商品销售利润表示成x的函数；(2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？能力提升12．某单位用2160万元购得一块空地，计划在该块地上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x(x≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x(单位：元)．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝购地总费用建筑总面积)13．已知某商品生产成本C与产量q的函数关系式为C＝100＋4q，价格p与产量q的函数关系式为p＝25－18q，求产量q为何值时，利润L最大．利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤．(1)分析实际问题中各变量之间的关系，建立实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系y＝f(x)；(2)求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0；(3)比较函数在区间端点和f′(x)＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值；(4)写出答案．§3.4生活中的优化问题举例答案知识梳理1．优化问题导数导数优化问题作业设计1．B[V′(x)＝60x－32x2＝0，x＝0或x＝40.x(0,40)40(40,60)V′(x)＋0－V(x)极大值可见当x＝40时，V(x)达到最大值．]2．C[y′＝－x2＋81，令y′＝0，得x＝9或x＝－9(舍去)．当0x9时，y′0；当x9时，y′0，故当x＝9时，函数有极大值，也是最大值．]3．A[要求材料最省就是要求新砌的墙壁总长度最短，如图所示，设场地宽为x米，则长为512x米，因此新墙壁总长度L＝2x＋512x(x0)，则L′＝2－512x2.令L′＝0，得x＝±16.∵x0，∴x＝16.当x＝16时，L极小值＝Lmin＝64，此时堆料场的长为51216＝32(米)．]4．C[设底面边长为a，直三棱柱高为h.体积V＝34a2h，所以h＝4V3a2，表面积S＝2·34a2＋3a·4V3a2＝32a2＋43Va，S′＝3a－43Va2，由S′＝0，得a＝34V.经验证，当a＝34V时，表面积最小．]5．D[设高为xcm，则底面半径为202－x2cm，体积V＝π3x·(202－x2)(0x20)，V′＝π3(400－3x2)，由V′＝0，得x＝2033或x＝－2033(舍去)．当x∈0，2033时，V′0，当x∈2033，20时，V′0，所以当x＝2033时，V取最大值．]6．D[由题意，总成本为c＝20000＋100x，所以总利润为p＝r－c＝300x－x22－200000≤x≤40060000－100xx400，p′＝300－x0≤x≤400－100x400，p′＝0，当0≤x≤400时，得x＝300；当x400时，p′0恒成立，易知当x＝300时，总利润最大．]7．5解析依题意可设每月土地占用费y1＝k1x，每月库存货物的运费y2＝k2x，其中x是仓库到车站的距离．于是由2＝k110，得k1＝20；由8＝10k2，得k2＝45.因此两项费用之和为y＝20x＋4x5，y′＝－20x2＋45，令y′＝－20x2＋45＝0得x＝5(x＝－5舍去)，经验证，此点即为最小值点．故当仓库建在离车站5千米处时，两项费用之和最小．8．1∶1解析设窗户面积为S，周长为L，则S＝π2x2＋2hx，h＝S2x－π4x，所以窗户周长L＝πx＋2x＋2h＝π2x＋2x＋Sx，L′＝π2＋2－Sx2.由L′＝0，得x＝2Sπ＋4，x∈0，2Sπ＋4时，L′0，x∈2Sπ＋4，＋∞时，L′0，所以当x＝2Sπ＋4时，L取最小值，此时hx＝2S－πx24x2＝2S4x2－π4＝π＋44－π4＝1.9．3解析设半径为r，则高h＝27ππr2＝27r2.∴水桶的全面积S(r)＝πr2＋2πr·27r2＝πr2＋54πr.S′(r)＝2πr－54πr2，令S′(r)＝0，得r＝3.∴当r＝3时，S(r)最小．10．解(1)设需新建n个桥墩，则(n＋1)x＝m，即n＝mx－1(0xm)，所以y＝f(x)＝256n＋(n＋1)(2＋x)x＝256mx－1＋mx(2＋x)x＝256mx＋mx＋2m－256(0xm)．(2)由(1)知，f′(x)＝－256mx2＋12mx－12＝m2x2(x32－512)．令f′(x)＝0，得x32＝512，所以x＝64.当0x64时，f′(x)0，f(x)在区间(0,64)内为减函数；当64x640时，f′(x)0，f(x)在区间(64,640)内为增函数，所以f(x)在x＝64处取得最小值，此时n＝mx－1＝64064－1＝9.故需新建9个桥墩才能使y最小．11．解(1)设商品降低x元时，多卖出的商品件数为kx2，若记商品在一个星期的销售利润为f(x)，则依题意有f(x)＝(30－x－9)·(432＋kx2)＝(21－x)·(432＋kx2)，又由已知条件24＝k·22，于是有k＝6，所以f(x)＝－6x3＋126x2－432x＋9072，x∈[0,30]．(2)根据(1)，有f′(x)＝－18x2＋252x－432＝－18(x－2)(x－12)．当x变化时，f(x)与f′(x)的变化情况如下表：x[0,2)2(2,12)12(12,30]f′(x)－0＋0－f(x)极小值极大值故x＝12时，f(x)达到极大值．因为f(0)＝9072，f(12)＝11664，所以定价为30－12＝18(元)能使一个星期的商品销售利润最大．12．解设楼房每平方米的平均综合费用为f(x)元，则f(x)＝(560＋48x)＋2160×100002000x＝560＋48x＋10800x(x≥10，x∈N*)，f′(x)＝48－10800x2，令f′(x)＝0得x＝15.当x15时，f′(x)0；当0x15时，f′(x)0.因此，当x＝15时，f(x)取最小值f(15)＝2000.所以为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为15层．13．解收入R＝q·p＝q25－18q＝25q－18q2.利润L＝R－C＝25q－18q2－(100＋4q)＝－18q2＋21q－100(0q200)，L′＝－14q＋21，令L′＝0，即－14q＋21＝0，解得q＝84.因为当0q84时，L′0；当84q200时，L′0，所以当q＝84时，L取得最大值．所以产量q为84时，利润L最大．