人教版高中数学选修23练习第一章13131二项式定理Word版含解析

第一章计数原理1.3二项式定理1.3.1二项式定理A级基础巩固一、选择题1．化简多项式(2x＋1)5－5(2x＋1)4＋10(2x＋1)3－10(2x＋1)2＋5(2x＋1)－1的结果是()A．(2x＋2)5B．2x5C．(2x－1)5D．32x5解析：原式＝(2x＋1)－1]5＝(2x)5＝32x5.答案：D2．在x＋13x24的展开式中，x的幂指数是整数的项共有()A．3项B．4项C．5项D．6项解析：Tr＋1＝Cr24x24－r2·x－r3＝Cr24·x12－56r，则r分别取0，6，12，18，24时，x的幂指数为整数，所以x的幂指数有5项是整数项．答案：C3．若x－123xn的展开式中第四项为常数项，则n＝()A．4B．5C．6D．7解析：由二项展开式可得Tr＋1＝Crn(x)n－r－123xr＝(－1)r2－rCrnxn－r2·x－r3，从而T4＝T3＋1＝(－1)32－3C3nxn－52，由题意可知n－52＝0，n＝5.答案：B4．在(1－x3)(1＋x)10的展开式中，x5的系数是()A．－297B．－252C．297D．207解析：(1－x3)(1＋x)10＝(1＋x)10－x3(x＋1)10展开式中含x5的项的系数为：C510－C210＝207.答案：D5．若C1nx＋C2nx2＋…＋Cnnxn能被7整除，则x，n的值可能为()A．x＝5，n＝5B．x＝5，n＝4C．x＝4，n＝4D．x＝4，n＝3解析：C1nx＋C2nx2＋…＋Cnnxn＝(1＋x)n－1，检验得B正确．答案：B二、填空题6．(2015·福建卷)(x＋2)5的展开式中，x2的系数等于________(用数字作答)．解析：(x＋2)5的展开式中x2项为C2523x2＝80，所以x2的系数等于80.答案：807.2－13x6的展开式中的第四项是________．解析：T4＝C3623－13x3＝－160x.答案：－160x8．如果3x2＋1xn的展开式中，x2项为第三项，则自然数n＝________．解析：Tr＋1＝Crn(3x2)n－r1xr＝Crnx2n－5r3，由题意知r＝2时，2n－5r3＝2，所以n＝8.答案：8三、解答题9．在2x－1x6的展开式中，求：(1)第3项的二项式系数及系数；(2)含x2的项及项数．解：(1)第3项的二项式系数为C26＝15，又T3＝C26(2x)4－1x2＝24C26x，所以第3项的系数为24C26＝240.(2)Tk＋1＝Ckn(2x)6－k－1xk＝(－1)k26－kCr6x3－k，令3－k＝2，得k＝1.所以含x2的项为第2项，且T2＝－192x2.10．已知m，n∈N*，f(x)＝(1＋x)m＋(1＋x)n的展开式中x的系数为19，求x2的系数的最小值及此时展开式中x7的系数．解：由题设知m＋n＝19，又m，n∈N*，所以1≤m≤18.x2的系数为C2m＋C2n＝12(m2－m)＋12(n2－n)＝m2－19m＋171.所以当m＝9或10时，x2的系数的最小值为81，此时x7的系数为C79＋C710＝156.B级能力提升1．如果3x2－2x3n的展开式中含有非零常数项，则正整数n的最小值为()A．3B．5C．6D．10解析：3x2－2x3n展开式的通项表达式为Crn(3x2)n－r·－2x3r＝Crn3n－r(－2)rx2n－5r，若Crn3n－r(－2)rx2n－5r为非零常数项，必有2n－5r＝0，得n＝52r，所以正整数n的最小值为5.答案：B2．设二项式x－ax6(a＞0)的展开式中，x3的系数为A，常数项为B，若B＝4A，则a的值是________．解析：A＝C26(－a)2，B＝C46(－a)4，由B＝4A知，C26(－a)2＝C46(－a)4，解得a＝2(舍去a＝－2)．答案：23．已知x－124xn的展开式中，前三项系数的绝对值依次成等差数列．(1)证明展开式中没有常数项；(2)求展开式中所有有理项．解：依题意，前三项系数的绝对值分别是1，C1n·12，C2n·122，依题意2C1n·12＝1＋C2n·122，即n2－9n＋8＝0，解之得n＝8(舍去n＝1)．故Tk＋1＝Cr8(x)8－r－124xr＝－12Cr8x16－3r4.(1)证明：若Tr＋1为常数项，当且仅当16－3r4＝0，即3r＝16，因为r∈N*，所以3r＝16不可能成立．故展开式中没有常数项．(2)若Tr＋1为有理项，当且仅当16－3r4为整数，因为0≤r≤8，r∈N*，所以r＝0或r＝4或r＝8.此时展开式中的有理项共有三项，它们是T1＝x4，T5＝358x，T9＝1256x2.