人教版高中数学选修44练习第一讲四柱坐标系与球坐标系简介Word版含解析

第一讲坐标系四、柱坐标系与球坐标系简介A级基础巩固一、选择题1．点M的直角坐标为(3，1，－2)，则它的柱坐标为()A.2，π6，2B.2，π3，2C.2，π6，－2D.2，－π6，－2解析：ρ＝（3）2＋12＝2，tanθ＝13＝33，θ＝π6，所以点M的柱坐标为2，π6，－2.答案：C2．已知点M的球坐标为1，π3，π6，则它的直角坐标为()A.1，π3，π6B.34，34，12C.34，34，12D.34，34，32解析：设点M的直角坐标为(x，y，z)，因为点M的球坐标为1，π3，π6，所以x＝1·sinπ3cosπ6＝34，y＝1·sinπ3sinπ6＝34，z＝1·cosπ3＝12.所以M的直角坐标为34，34，12.答案：B3．已知点P的柱坐标为2，π4，5，点Q的球坐标为6，π3，π6，则这两个点在空间直角坐标系中的点的坐标为()A．点P(5，1，1)，点Q364，324，62B．点P(1，1，5)，点Q364，324，62C．点P364，324，62，点Q(1，1，5)D．点P(1，1，5)，点Q62，364，324答案：B4．在空间直角坐标系中的点M(x，y，z)，若它的柱坐标为3，π3，3，则它的球坐标为()A.3，π3，π4B.32，π3，π4C.3，π4，π3D.32，π4，π3解析：因为M点的柱坐标为M3，π3，3，设点M的直角坐标为(x，y，z)．所以x＝3cosπ3＝32，y＝3sinπ3＝332，z＝3，所以M点的直角坐标为32，332，3.设点M的球坐标为(γ，φ，θ)．γ是球面的半径，φ为向量OM在xOy面上投影到x正方向夹角，θ为向量OM与z轴正方向夹角．所以r＝94＋274＋9＝32，容易知道φ＝π3，同时结合点M的直角坐标为32，332，3，可知cosθ＝zγ＝332＝22，所以θ＝π4，所以M点的球坐标为32，π3，π4.答案：B5．在直角坐标系中，点(2，2，2)关于z轴的对称点的柱坐标为()A.22，3π4，2B.22，π4，2[来源:Zxxk.Com]C.22，5π4，2D.22，7π4，2解析：(2，2，2)关于z轴的对称点为(－2，－2，2)，[来源:学科网]则ρ＝（－2）2＋（－2）2＝22，tanθ＝yx＝－2－2＝1，因为点(－2，－2)在平面Oxy的第三象限内，所以θ＝5π4，所以所求柱坐标为22，5π4，2.答案：C二、填空题6．已知点M的球坐标为4，π4，3π4，则它的直角坐标为_______，它的柱坐标是________．答案：(－2，2，22)22，3π4，227．已知在柱坐标系中，点M的柱坐标为2，2π3，5，且点M在数轴Oy上的射影为N，则|OM|＝________，|MN|＝________．解析：设点M在平面xOy上的射影为P，连接PN，则PN为线段MN在平面xOy上的射影．因为MN⊥直线Oy，MP⊥平面xOy，所以PN⊥直线Oy.所以|OP|＝ρ＝2，|PN|＝ρcos2π3＝1，所以|OM|＝ρ2＋z2＝22＋（5）2＝3.在Rt△MNP中，∠MPN＝90°，所以|MN|＝|PM|2＋|PN|2＝（5）2＋12＝6.答案：368．若点P的柱坐标为3，π3，3，则点P的球坐标为___________．解析：点P的柱坐标为3，π3，3，则点P的直角坐标为32，332，3，故r＝322＋3322＋32＝32.由3＝32cosφ，cosφ＝22，得φ＝π4，又tanθ＝33232＝3，又θ的终边过点32，332，0，故θ为π3，故点P的球坐标为32，π4，π3.答案：32，π4，π3三、解答题9．设点M的直角坐标为(1，1，2)，求点M的柱坐标与球坐标．解：由坐标变换公式，可得ρ＝x2＋y2＝2，tanθ＝yx＝1，θ＝π4(点1，1)在平面xOy的第一象限．r＝x2＋y2＋z2＝12＋12＋（2）2＝2.由rcosφ＝z＝2(0≤φ≤π)，得cosφ＝2r＝22，φ＝π4.所以点M的柱坐标为2，π4，2，球坐标为2，π4，π4.10．在球坐标系中，求两点P3，π6，π4、Q3，π6，3π4的距离．解：将P，Q两点的球坐标转化为直角坐标：P：x＝3sinπ6cosπ4＝324，y＝3sinπ6sinπ4＝324，z＝3cosπ6＝332，所以点P的直角坐标为324，324，332.Q：x＝3sinπ6cos3π4＝－324，y＝3sinπ6sin3π4＝324，z＝3cosπ6＝332，所以点Q的直角坐标为－324，324，332.[来源:学科网]所以|PQ|＝324＋3242＋324－3242＋332－3322＝322，故P、Q两点间的距离为322.B级能力提升1．已知点P1的球坐标为4，π2，5π3，P2的柱坐标为2，π6，1，则|P1P2|＝()A.21B.29C.30D．42解析：设点P1的直角坐标为(x1，y1，z1)，则x1＝4sinπ2cos5π3，y1＝4sinπ2sin5π3，z1＝4cosπ2，得x1＝2，y1＝－23，z1＝0.故P1(2，－23，0)，设点P2的直角坐标为P2(x2，y2，z2)，故x2＝2cosπ6，y2＝2sinπ6，z2＝1，得x2＝3，y2＝1，z2＝1.故P2(3，1，1)．则|P1P2|＝（2－3）2＋（－23－1）2＋（0－1）2＝21.答案：A2．在柱坐标系中，长方体ABCD-A1B1C1D1的一个顶点在原点，另两个顶点坐标分别为A1(8，0，10)，C16，π2，10，则此长方体外接球的体积为________．答案：100023π3．设地球的半径为R，在球坐标系中，点A的坐标为(R，45°，70°)，点B的坐标为(R，45°，160°)，求A，B两点间的球面距离．解：设纬度圈的圆心为O′，地球球心为O，如图所示，OA＝OB＝R，由点A，B的球坐标可知，[来源:学科网ZXXK]∠BOO′＝45°，∠AOO′＝45°，这两个点都在北纬90°－45°＝45°圈上．则∠xOQ＝70°，∠xOH＝160°，所以∠AO′B＝160°－70°＝90°.[来源:学科网ZXXK]因为OB＝R，O′B＝O′A＝22R，所以AB＝R.则AO＝BO＝AB＝R.所以∠AOB＝60°，AB︵＝16×2πR＝13πR.即A，B两点间的球面距离为13πR.