人教版高中数学选修44练习第二讲三直线的参数方程Word版含解析

第二讲参数方程三、直线的参数方程A级基础巩固一、选择题1．直线x＝1＋tcosα，y＝－2＋tsinα(α为参数，0≤απ)必过点()A．(1，－2)B．(－1，2)C．(－2，1)D．(2，－1)解析：由参数方程可知该直线是过定点(1，－2)，倾斜角为α的直线．答案：A2．对于参数方程x＝1－tcos30°，y＝2＋tsin30°和x＝1＋tcos30°，y＝2－tsin30°，下列结论正确的是()A．是倾斜角为30°的两平行直线B．是倾斜角为150°的两重合直线C．是两条垂直相交于点(1，2)的直线D．是两条不垂直相交于点(1，2)的直线解析：因为参数方程x＝1－tcos30°，y＝2＋tsin30°，可化为标准形式x＝1＋tcos150°，y＝2＋tsin150°，所以其倾斜角为150°.同理，参数方程x＝1＋tcos30°，y＝2－tsin30°，可化为标准形式x＝1＋（－t）cos150°，y＝2＋（－t）sin150°，所以其倾斜角也为150°.又因为两直线都过点(1，2)，故两直线重合．答案：B3．若直线x＝1－2t，y＝2＋3t(t为参数)与直线4x＋ky＝1垂直，则常数k＝()A.83B．－6C．6D．－83解析：由直线的参数方程可得直线的斜率为－32，由题意得直线4x＋ky＝1的斜率为－4k，故－32×－4k＝－1，解得k＝－6.答案：B4．直线x＝tcosθ，y＝tsinθ(t是参数，0≤θπ)与圆x＝4＋2cosα，y＝2sinα(α是参数)相切，则θ＝()A.π3B.2π3C.π6或5π6D.π3或2π3解析：直线为y＝xtanθ，圆为(x－4)2＋y2＝4，因为直线与圆相切，所以圆心(4，0)到直线xtanθ－y＝0的距离等于半径2，即|4tanθ|tan2θ＋1＝2，解得tanθ＝±32，易知θ＝π6或5π6.答案：C5．若圆的方程为x＝－1＋2cosθ，y＝3＋2sinθ(θ为参数)，直线的方程为x＝2t－1，y＝6t－1(t为参数)，则直线与圆的位置关系是()A．相交过圆心B．相交而不过圆心C．相切D．相离解析：圆的圆心坐标是(－1，3)，半径是2，直线的普通方程是3x－y＋2＝0，圆心到直线的距离是|－3－3＋2|10＝2105＝852，故直线与圆相交而不过圆心．答案：B二、填空题6．已知直线的参数方程是x＝－1－tsinπ6，y＝2＋tcosπ6(t为参数)，则直线的倾斜角的大小是________．解析：将直线的参数方程化简，得x＝－1－12t，y＝2＋32t(t为参数)．消去参数t，得直线的普通方程为y＝－3x－3＋2，因为直线的斜率是－3，故倾斜角的大小是2π3.答案：2π3[来源:Z。xx。k.Com]7．已知直线l：x＝2t，y＝1＋4t(t为参数)，圆C的极坐标方程为ρ＝2cosθ，则圆心C到直线l的距离为________．[来源:学科网ZXXK]解析：直线l的普通方程为2x－y＋1＝0，圆ρ＝2cosθ的直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0，即(x－1)2＋y2＝1，圆心为(1，0)．故圆心C到直线l的距离为|2－0＋1|22＋12＝355.答案：355[来源:学科网]8．在平面直角坐标系xOy中，若直线l：x＝t，y＝t－a(t为参数)过椭圆C：x＝3cosφ，y＝2sinφ(φ为参数)的右顶点，则常数a的值为________．解析：直线l：x＝t，y＝t－a，消去参数t后得y＝x－a.椭圆C：x＝3cosφ，y＝2sinφ，消去参数φ后得x29＋y24＝1.又椭圆C的右顶点为(3，0)，代入y＝x－a得a＝3.答案：3[来源:学科网ZXXK]三、解答题9．已知在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x＝1＋4cosθ，y＝2＋4sinθ(θ为参数)，直线l经过定点P(3，5)，倾斜角为π3.(1)写出直线l的参数方程和曲线C的标准方程；(2)设直线l与曲线C相交于A，B两点，求|PA|·|PB|的值．解：(1)曲线C：(x－1)2＋(y－2)2＝16，直线l：x＝3＋12t，y＝5＋32t(t为参数)．(2)将直线l的参数方程代入圆C的方程可得t2＋(2＋33)t－3＝0，设t1，t2是方程的两个根，则t1t2＝－3，所以|PA||PB|＝|t1||t2|＝|t1t2|＝3.10．极坐标方程为ρcosθ＋ρsinθ－1＝0的直线与x轴的交点为P，与椭圆x＝2cosθ，y＝sinθ(θ为参数)交于A，B两点，求|PA|·|PB|.解：直线ρcosθ＋ρsinθ－1＝0的斜率为－1，令θ＝0，得ρ＝1，所以直线与x轴交于点(1，0)[如令θ＝π，得ρ＝－1，将点的极坐标化为直角坐标还是(1，0)]，所以直线的参数方程为x＝1－22t，y＝22t(t为参数)．①椭圆的普通方程为x2＋4y2＝4，②将①代入②中，得5t2－22t－6＝0，③因为Δ＝1280，根据参数t的几何意义知|PA|·|PB|＝|t1·t2|＝65.B级能力提升1．一条直线的参数方程是x＝1＋12t，y＝－5＋32t(t为参数)，另一条直线的方程是x－y－23＝0，则两条直线的交点与点(1，－5)之间的距离是()A．23B．43C.32D.34解析：由题意可知，点(1，－5)在直线x＝1＋12t，y＝－5＋32t(t为参数)上．将参数方程代入x－y－23＝0，得6＋12－32t＝23，所以t＝23－612－32＝43，根据t的几何意义，得两直线的交点与点(1，－5)之间的距离是43.答案：B2．已知直线C1的参数方程x＝t－1，y＝2t＋1(t为参数)，曲线C2的极坐标方程为ρ＝4sinθ，设曲线C1，C2相交于A，B两点，则|AB|＝________．解析：曲线C2的极坐标方程可变为ρ2＝4ρsinθ，化为直角坐标方程为x2＋y2－4y＝0，将C1：x＝t－1，y＝2t＋1，代入，得5t2－6t－2＝0，则t1＋t2＝65，t1t2＝－25，则|AB|＝1＋22|t1－t2|＝5·（t1＋t2）2－4t1t2＝5×652＋4×25＝2955.答案：29553．在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴建立极坐标系，已知曲线C：ρsin2θ＝2acosθ(a0)，过点P(－2，－4)的直线l的参数方程为：x＝－2＋22t，y＝－4＋22t(t为参数)，直线l与曲线C分别交于M，N两点．(1)写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；[来源:Zxxk.Com](2)若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求a的值．解：(1)曲线的极坐标方程变为ρ2sin2θ＝2aρcosθ，化为直角坐标方程为y2＝2ax，直线x＝－2＋22t，y＝－4＋22t(t为参数)化为普通方程为y＝x－2.(2)将x＝－2＋22t，y＝－4＋22t代入y2＝2ax得t2－22(4＋a)t＋8(4＋a)＝0.则有t1＋t2＝22(4＋a)，t1t2＝8(4＋a)，因为|MN|2＝|PM|·|PN|.所以(t1－t2)2＝t1·t2，即(t1＋t2)2－4t1t2＝t1t2，(t1＋t2)2－5t1t2＝0，故8(4＋a)2－40(4＋a)＝0，解得a＝1或a＝－4(舍去)．故所求a的值为1.