人教版高中数学选修44评估验收卷二Word版含解析

评估验收卷(二)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列点不在直线x＝－1－22t，y＝2＋22t(t为参数)上的是()A．(－1，2)B．(2，－1)C．(3，－2)D．(－3，2)解析：直线l的普通方程为x＋y－1＝0，因此点(－3，2)的坐标不适合方程x＋y－1＝0.答案：D2．直线x＝1＋12t，y＝－33＋32t(t为参数)和圆x2＋y2＝16交于A，B两点，则AB的中点坐标为()[来源:学.科.网]A．(3，－3)B．(－3，3)C．(3，3)D．(3，－3)解析：把x＝1＋12t，y＝3（－3＋12t）(t为参数)代入x2＋y2＝16中，得1＋t＋14t2＋39－3t＋14t2＝16，即t2－8t＋12＝0.设A，B对应的参数分别为t1，t2，则t1＋t2＝8，所以AB的中点对应的参数t＝t1＋t22＝4.所以x＝1＋12×4＝3，y＝－33＋32×4＝－3，即AB的中点坐标为(3，－3)．答案：D3．已知某曲线的参数方程是x＝12a＋1a，y＝12a－1a(其中a是参数)，则该曲线是()A．线段B．圆C．双曲线D．圆的一部分解析：消参可得x2－y2＝1，又|x|＝12a＋1a≥1，当且仅当a＝1a时“＝”成立，所以x≤－1或x≥1，该曲线为双曲线．答案：C4．设r0，那么直线xcosθ＋ysinθ＝r与圆x＝rcosφ，y＝rsinφ(φ是参数)的位置关系是()A．相交B．相切C．相离D．视r的大小而定解析：易知圆的圆心在原点，半径是r，则圆心(0，0)到直线的距离为d＝|0＋0－r|cos2θ＋sin2θ＝r，恰好等于圆的半径，所以直线和圆相切．答案：B5．直线l的参数方程为x＝a＋t，y＝b＋t(t为参数)，l上的点P1对应的参数是t1，则点P1与点P(a，b)之间的距离是()A．|t1|B．2|t1|C.2|t1|D.22|t1|解析：点P1与点P之间的距离为（a＋t1－a）2＋（b＋t1－b）2＝t21＋t21＝2|t1|.[来源:学|科|网Z|X|X|K]答案：C6．已知圆的渐开线x＝r（cosφ＋φsinφ），y＝r（sinφ－φcosφ）(φ为参数)上有一点的坐标为(3，0)，则渐开线对应的基圆的面积为()A．πB．3πC．4πD．9π解析：把已知点(3，0)代入参数方程得3＝r（cosφ＋φsinφ），①0＝r（sinφ－φcosφ），②由②可得φ＝0，则把φ＝0代入①得r＝3，所以基圆的面积为9π.答案：D7．已知圆C的参数方程为x＝－1＋cosα，y＝1＋sinα(α为参数)，当圆心C到直线kx＋y＋4＝0的距离最大时，k的值为()A.13B.15C．－13D．－15解析：圆C的普通方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝1，所以圆心C(－1，1)．直线kx＋y＋4＝0过定点A(0，－4)，故当CA与直线kx＋y＋4＝0垂直时，圆心C到直线的距离最大，因为kCA＝－5，所以－k＝15，所以k＝－15.答案：D8．曲线x＝－2＋5t，y＝1－2t(t为参数)与坐标轴的交点是()A.0，25、12，0B.0，15、12，0C．(0，－4)、(8，0)D.0，59、(8，0)解析：当x＝0时，t＝25，而y＝1－2t，即y＝15，故曲线与y轴的交点为0，15；当y＝0时，t＝12，而x＝－2＋5t，即x＝12，故曲线与x轴的交点为12，0.[来源:Z§xx§k.Com]答案：B9．以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l的参数方程是x＝t＋1，y＝t－3(t为参数)，圆C的极坐标方程是ρ＝4cosθ，则直线l被圆C截得的弦长为()A.14B．214C.2D．22解析：由题意得，直线l的普通方程为y＝x－4，圆C的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4，圆心到直线l的距离d＝|2－0－4|2＝2，直线l被圆C截得的弦长为222－（2）2＝22.[来源:学科网]答案：D10．若点P(3，m)在以点F为焦点的抛物线x＝4t2，y＝4t(t为参数)上，则|PF|等于()A．2B．3C．4D．5解析：消参得抛物线的普通方程为y2＝4x，所以其焦点F(1，0)，准线方程为x＝－1，由抛物线的定义，得|PF|＝3－(－1)＝4.答案：C11．已知在平面直角坐标系xOy中，点P(x，y)是椭圆x22＋y23＝1上的一个动点，则S＝x＋y的取值范围为()A．[5，5]B．[－5，5]C．[－5，－5]D．[－5，5]解析：因椭圆x22＋y23＝1的参数方程为x＝2cosφ，y＝3sinφ(φ为参数)，故可设动点P的坐标为(2cosφ，3sinφ)，因此S＝x＋y＝2cosφ＋3sinφ＝5(25cosφ＋35sinφ)＝5sin(φ＋γ)，其中tanγ＝63，所以S的取值范围是[－5，5]，故选D.答案：D12．已知直线l的参数方程是x＝1＋12t，y＝32t(t为参数)，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ＝2cosθ＋4sinθ，则直线l被圆所截得的弦长为()A．1B．2C．3D．4解析：由题意知，直线l的普通方程为3x－y－3＝0，由极坐标与直角坐标的关系知，圆C的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝5.设直线l与圆C交于A、B两点，AB的中点为M，则在Rt△AMC中，|AC|＝5，|CM|＝|3－2－3|3＋1＝1，所以|AM|＝5－1＝2，所以|AB|＝2|AM|＝4.故截得的弦长为4.答案：D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．曲线C：x＝2cosθ，y＝3sinθ(θ为参数)上的点到其焦点的距离的最小值为________．解析：曲线C的普通方程为x24＋y29＝1，所以a＝3，b＝2，c＝a2－b2＝5，所以椭圆C上的点到焦点的距离的最小值为3－5.答案：3－514．在直角坐标系Oxy中，已知曲线C的参数方程是x＝cosθ，y＝sinθ＋1(θ为参数)，若以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为____________________．解析：由题意知曲线C：x2＋(y－1)2＝1，即x2＋y2－2y＝0，由x2＋y2＝ρ2，y＝ρsinθ得ρ2－2ρsinθ＝0，化简得ρ＝2sinθ.答案：ρ＝2sinθ15．在圆的摆线上有一点(π，0)，那么在满足条件的摆线的参数方程中，使圆的半径最大的摆线上，参数φ＝π4对应的点的坐标为__________________．解析：摆线方程为x＝r（φ－sinφ），y＝r（1－cosφ）(φ为参数)，将点(π，0)代入可得π＝r（φ－sinφ），0＝r（1－cosφ）得cosφ＝1，则φ＝2kπ，k∈Z.故r＝π2kπ＝12k(k∈Z)，又r0，所以k∈N*，当k＝1时，r最大为12，再把φ＝π4代入摆线方程得x＝12π4－sinπ4，y＝121－cosπ4，故x＝π－228，y＝2－24.答案：π－228，2－2416．在直角坐标系Oxy中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A，B分别在曲线C1：x＝3＋cosθ，y＝4＋sinθ(θ为参数)和曲线C2：ρ＝1上，则|AB|的最小值为________．解析：因为C1：(x－3)2＋(y－4)2＝1，C2：x2＋y2＝1，所以两圆圆心之间的距离为d＝32＋42＝5.因为A在曲线C1上，B在曲线C2上，所以|AB|min＝5－2＝3.答案：3三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知某圆的极坐标方程为ρ2－42ρcosθ－π4＋6＝0.(1)求圆的直角坐标方程和一个参数方程；(2)设P(x，y)为圆上任意点，求xy的最大值，最小值．解：(1)圆的极坐标方程可化为ρ2－4ρcosθ－4ρsinθ＋6＝0，化为直角坐标方程为x2＋y2－4x－4y＋6＝0，变为标准方程为(x－2)2＋(y－2)2＝2，圆心为(2，2)，半径为2.故其一个参数方程为x＝2＋2cosθ，y＝2＋2sinθ(θ为参数)．(2)由(1)可得xy＝(2＋2cosθ)(2＋2sinθ)＝4＋22(sinθ＋cosθ)＋2sinθcosθ.令sinθ＋cosθ＝t，t∈[－2，2]，则2sinθcosθ＝t2－1，则xy＝t2＋22t＋3＝(t＋2)2＋1，t∈[－2，2]，故当t＝－2时，xy取得最小值1，当t＝2时，xy取得最大值9.18．(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为x＝2＋2t，y＝1－t(t为参数)，椭圆C的参数方程为x＝2cosθ，y＝sinθ(θ为参数)，试在椭圆上求一点P，使得点P到直线l的距离最小．解：直线l的普通方程为x＋2y－4＝0，设P(2cosθ，sinθ)，则点P到直线l的距离为d＝|2cosθ＋2sinθ－4|5＝154－22sinθ＋π4，所以当sinθ＋π4＝1时，d有最小值．此时sinθ＝sinθ＋π4－π4＝sinθ＋π4cosπ4－cosθ＋π4sinπ4＝22.cosθ＝cosθ＋π4－π4＝cosθ＋π4cosπ4＋sinθ＋π4sinπ4＝22.所以点P的坐标为2，22，故所求点的坐标为2，22.19．(本小题满分12分)已知曲线C：x24＋y29＝1，直线l：x＝2＋t，y＝2－2t(t为参数)．[来源:学§科§网Z§X§X§K](1)写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．解：(1)曲线C的参数方程为x＝2cosθ，y＝3sinθ(θ为参数)．直线l的普通方程为2x＋y－6＝0.(2)曲线C上任意一点P(2cosθ，3sinθ)到l的距离为d＝55|4cosθ＋3sinθ－6|，则|PA|＝dsin30°＝255|5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且tanα＝43.当sin(θ＋α)＝－1时，|PA|取得最大值，最大值为2255.当sin(θ＋α)＝1时，|PA|取得最小值，最小值为255.20．(本小题满分12分)已知曲线C的极坐标方程是ρ＝2sinθ，设直线l的参数方程是x＝－35t＋2，y＝45t(t为参数)．(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)设直线l与x轴的交点是M，N是曲线C上一动点，求|MN|的最大值．解：(1)曲线C的极坐标方程可化为ρ2＝2ρsinθ.又x2＋y2＝ρ2，y＝ρsinθ，所以曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－2y＝0.(2)将直线l的参数方程化为普通方程，得y＝－43(x－2)．令y＝0，得x＝2，即M点的直角坐标为(2，0)．因为曲线C为圆，圆心C的直角坐标为(0，1)，半径r＝1，则|MC|＝5.所以|MN|≤|MC|＋r＝5＋1.故|MN|的最大值为5＋1.21．(本小题满分12分)已知直线l：x＝m＋tcosα，y＝tsinα(t为参数)经过椭圆C：x＝2cosφ，y＝3sinφ(φ为参数)的左焦点F.(1)求m的值；(2)设直线l与椭圆C交于A，B两点，