人教版高中数学选修45练习第一讲12121绝对值三角不等式Word版含解析

第一讲不等式和绝对值不等1.2绝对值不等式1.2.1绝对值三角不等式A级基础巩固一、选择题1．若|x－m|＜ε，|y－m|＜ε，则下列不等式中一定成立的是()A．|x－y|＜εB．|x－y|＜2εC．|x－y|＞2εD．|x－y|＞ε解析：|x－y|＝|x－m－(y－m)|≤|x－m|＋|y－m|＜2ε.答案：B2．如果a，b都是非零实数，则下列不等式中不成立的是()A．|a＋b|＞a－bB．2ab≤|a＋b|(ab＞0)C．|a＋b|≤|a|＋|b|D.ba＋ab≥2解析：令a＝1，b＝－1，则A不成立．答案：A3．已知h＞0，a，b∈R，命题甲：|a－b|＜2h；命题乙：|a－1|＜h，且|b－1|＜h，则甲是乙的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：显然a与b的距离可以很近，满足|a－b|＜2h，但此时a，b与1的距离也可以最大，因此甲不能推出乙；若|a－1|＜h，|b－1|＜h，则|a－b|＝|a－1＋1－b|≤|a－1|＋|b－1|＜2h，乙可以推出甲．因此甲是乙的必要不充分条件．答案：B4．函数y＝|x－4|＋|x－6|的最小值为()A．2B.2C．4D．6解析：y＝|x－4|＋|x－6|≥|x－4－(x－6)|＝2.故最小值为2.答案：A5．若|a－c|＜b，则下列不等式不成立的是()A．|a|＜|b|＋|c|B．|c|＜|a|＋|b|C．b＞||c|－|a||D．b＜|a|－|c|解析：由|a－c|＜b知b＞0，所以b＝|b|.因为|a|－|c|≤|a－c|，所以|a|－|c|＜b，即|a|＜b＋|c|＝|b|＋|c|，故A成立．同理由|c|－|a|≤|a－c|，得|c|－|a|＜b.所以|c|＜|a|＋b＝|a|＋|b|，故B成立．而由A成立得|c|－|a|＞－|b|，由B成立得|c|－|a|＜|b|，所以－|b|＜|c|－|a|＜|b|，即||c|－|a||＜|b|＝b，故C成立．故由A成立知D不成立．答案：D二、填空题6．若不等式|x－4|＋|x－3|＞a对一切实数x恒成立，则实数a的取值范围是________．解析：由|x－4|＋|x－3|≥|(x－4)－(x－3)|＝1，得(|x－4|＋|x－3|)min＝1，故a的取值范围是(－∞，1)．答案：(－∞，1)7．若不等式|x－4|－|x－3|≤a对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是________．解析：设f(x)＝|x－4|＋|x－3|，则f(x)≤a对一切x∈R恒成立的充要条件是a≥f(x)的最大值．因为|x－4|－|x－3|≤|(x－4)－(x－3)|＝1，即f(x)max＝1，所以a≥1.答案：1，＋∞)8．对于实数x，y，若|x－1|≤1，|y－2|≤1，|x－2y＋1|的最大值是________．解析：|x－2y＋1|＝|x－1－2(y－2)－2|≤|x－1|＋2|y－2|＋|－2|≤1＋2＋2＝5.答案：5三、解答题9．(2014·课标全国Ⅱ卷)设函数f(x)＝x＋1a＋|x－a|(a＞0)，证明：f(x)≥2.证明：由a＞0，有f(x)＝x＋1a＋|x－a|≥x＋1a－（x－a）＝1a＋a≥2.所以f(x)≥2.10．求函数f(x)＝|x－5|－|x＋3|的最大值，并求出取最大值时x的范围．解：f(x)＝|x－5|－|x＋3|≤|(x－5)－(x＋3)|＝8，当且仅当(x－5)(x＋3)≤0，即－3≤x≤5时等号成立，所以当－3≤x≤5时，f(x)＝|x－5|－|x＋3|取得最大值为8.B级能力提升1．设集合{x|x－3|－|x－4|＞m}≠∅，则实数m的取值范围为()A．m＞1B．m≥1C．m＜1D．m≤1解析：|x－3|－|x－4|≤|x－3－(x－4)|＝1.集合非空即|x－3|－|x－4|＞m有解，所以m＜1.答案：C2．以下三个命题：(1)若|a－b|＜1，则|a|＜|b|＋1；(2)若a，b∈R，则|a＋b|－2|a|≤|a－b|；(3)若|x|＜2，|y|＞3，则xy＜23.其中正确的有________个．解析：(1)因为|a|－|b|≤|a－b|＜1，所以|a|＜|b|＋1，所以(1)正确．(2)因为|a＋b|－2|a|≤|a＋b－2a|＝|b－a|＝|a－b|，所以(2)正确．(3)因为|x|＜2，|y|＞3，所以xy＜23，所以(3)正确．答案：33．x，y∈R，若|x|＋|y|＋|x－1|＋|y－1|≤2，求x＋y的取值范围．解：因为|x|＋|x－1|≥|x－(x－1)|＝1，当且仅当0≤x≤1时取等号，|y|＋|y－1|≥|y－(y－1)|＝1，当且仅当0≤y≤1时取等号，所以|x|＋|y|＋|x－1|＋|y－1|≥2.①又因为|x|＋|y|＋|x－1|＋|y－1|≤2，②所以只有当0≤x≤1，0≤y≤1时，①②两式同时成立．所以0≤x＋y≤2.