人教版高中数学选修45练习第一讲12122绝对不等式的解法Word版含解析

第一讲不等式和绝对值不等式1.2绝对值不等式1.2.2绝对不等式的解法A级基础巩固一、选择题1．不等式|3x－2|＞4的解集是()A.{}x|x＞2B.xx＜－23C.xx＜－23或x＞2D.x－23＜x＜2解析：由|3x－2|＞4得3x－2＞4或3x－2＜－4所以x＞2或x＜－23.答案：C2．(2015·山东卷)不等式|x－1|－|x－5|＜2的解集是()A．(－∞，4)B．(－∞，1)C．(1，4)D．(1，5)解析：法一：当x＜1时，原不等式化为1－x－(5－x)＜2即－4＜2，不等式恒成立；当1≤x＜5时，原不等式即x－1－(5－x)＜2，解得x＜4；当x≥5时，原不等式化为x－1－(x－5)＜2即4＜2，显然不成立，综上可得不等式的解集为(－∞，4)．法二：由绝对值的几何意义可得数轴上的点x到1，5两点(距离为4)的距离之差小于2的点满足x＜4，所求不等式的解集为(－∞，4)．答案：A3．(2015·天津卷)设x∈R，则“|x－2|＜1”是“x2＋x－2＞0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：因为|x－2|＜1等价于1＜x＜3，x2＋x－2＞0等价于x＜－2或x＞1，所以“|x－2|＜1”是“x2＋x－2＞0”的充分不必要条件．答案：A4．若不等式|x－1|＜a成立的充分条件是0＜x＜4，则实数a的取值范围是()A．a≥1B．a≥3C．a≤1D．a≤3解析：由题意，可知(0，4)是(－a＋1，a＋1)的子集，由此可推得选B；亦可以用差异代入法(寻求选项的不同点代入)验证排除．答案：B5．如果关于x的不等式|x－a|＋|x＋4|≥1的解集是全体实数，则实数a的取值范围是()A．(－∞，3]∪5，＋∞)B．－5，－3]C．3，5]D．(－∞，－5]∪－3，＋∞)解析：利用数轴，结合绝对值的几何意义可知a≤－5或a≥－3.答案：D二、填空题6．若不等式|kx－4|≤2的解集为{x|1≤x≤3}，则实数k＝______．解析：法一：由|kx－4|≤2可得－2≤kx－4≤2，即2≤kx≤6，又1≤x≤3，所以k＝2.法二：由题意可知x＝1，x＝3是|kx－4|＝2的两根，则|k－4|＝2，|3k－4|＝2，解得k＝2.答案：27．若不等式|x＋1|＋|x－3|≥a＋4a对任意的实数x恒成立，则实数a的取值范围是________．解析：当a＜0时，显然成立；因为|x＋1|＋|x－3|的最小值为4，所以a＋4a≤4.所以a＝2，综上可知a∈(－∞，0)∪{2}．答案：(－∞，0)∪{2}8．若关于x的不等式|x＋2|＋|x－1|＜a的解集是∅，则a的取值范围是________．解析：|x＋2|＋|x－1|≥|(x＋2)－(x－1)|＝3，所以a＜3.答案：a＜3三、解答题9．(2016·全国卷Ⅲ)已知函数f(x)＝|2x－a|∈a.(1)当a＝2时，求不等式f(x)≤6的解集；(2)设f(x)＝|2x－1|，当x∈R时，f(x)＋g(x)≥3，求实数a的取值范围．解：(1)当a＝2时，f(x)＝|2x－2|＋2.解不等式|2x－2|＋2≤6得－1≤x≤3.因此f(x)≤6的解集为{x|－1≤x≤3}．当x∈R时，f(x)＋g(x)＝|2x－a|＋a＋1|1－2x|≥|2x－a＋1－2x|＋a＝|1－a|＋a.所以当x∈R时，f(x)＋g(x)≥3等价于|1－a|＋a≥3.①当a≤1时，①等价于1－a＋a≥3，无解．当a＞1时，①等价于a－1＋a≥3，解得a≥2.所以a的取值范围是2，＋∞)．10．已知函数f(x)＝|x－a|.(1)若f(x)≤m的解集为{x|－1≤x≤5}，求实数a，m的值；(2)当a＝2且t≥0时，解关于x的不等式f(x)＋t≥f(x＋2t)．解：(1)由|x－a|≤m得a－m≤x≤a＋m，所以a－m＝－1，a＋m＝5，解得a＝2，m＝3.(2)当a＝2时，f(x)＝|x－2|，所以f(x)＋t≥f(x＋2t)，所以|x－2＋2t|－|x－2|≤t.当t＝0时，不等式恒成立，即x∈R；当t＞0时，不等式等价于x＜2－2t，2－2t－x－（2－x）≤t或2－2t≤x＜2，x－2＋2t－（2－x）≤t或x≥2，x－2＋2t－（x－2）≤t，解得x＜2－2t或2－2t≤x≤2－t2或x∈∅，即x≤2－t2.综上所述，当t＝0时，原不等式的解集为R；当t＞0时，原不等式的解集为xx≤2－t2.B级能力提升1．不等式|x＋3|－|x－1|≤a2－3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为()A．(－∞，－1]∪4，＋∞)B．(－∞，－2]∪5，＋∞)C．1，2]D．(－∞，1]∪2，＋∞)解析：由绝对值的几何意义得|x＋3|－|x－1|的最大值为4，所以a2－3a≥4恒成立，即a≥4或a≤－1.答案：A2．(2015·重庆卷)若f(x)＝|x＋1|＋2|x－a|的最小值为5，则实数a＝________．解析：当a≤－1时，f(x)＝|x＋1|＋2|x－a|＝－3x＋2a－1，x＜a，x－2a－1，a≤x≤－1，3x－2a＋1，x＞－1，所以f(x)在(－∞，a)上单调递减，在(a，＋∞)上单调递增，则f(x)在x＝a处取得最小值f(a)＝－a－1，由－a－1＝5得a＝－6，符合a≤－1；当a＞－1时，f(x)＝|x＋1|＋2|x－a|＝－3x＋2a－1，x＜－1，－x＋2a＋1，－1≤x≤a，3x－2a＋1，x＞a.所以f(x)在(－∞，a)上单调递减，在(a，＋∞)上单调递增，则f(x)在x＝a处取最小值f(a)＝a＋1，由a＋1＝5，得a＝4，符合a＞－1.综上所述，实数a的值为－6或4.答案：－6或43．已知函数f(x)＝|x＋a|＋|x－2|.(1)当a＝－3时，求不等式f(x)≥3的解集；(2)若f(x)≤|x－4|的解集包含1，2]，求a的取值范围．解：(1)当a＝－3时，f(x)≥3⇔|x－3|＋|x－2|≥3⇔x≤2，3－x＋2－x≥3或2x3，3－x＋x－2≥3或x≥3，x－3＋x－2≥3.⇔x≤1或x∈∅或x≥4.故不等式解集为{x|x≤1或x≥4}．(2)原命题⇔f(x)≤|x－4|在1，2]上恒成立⇔|x＋a|＋2－x≤4－x在1，2]上恒成立⇔－2－x≤a≤2－x在1，2]上恒成立⇔－3≤a≤0.故a的取值范围是－3，0]．