人教版高中数学选修45练习第三讲3132一般形式的柯西不等式Word版含解析

第三讲柯西不等式与排序不等式3.1二维形式的柯西不等式3.2一般形式的柯西不等式A级基础巩固一、选择题1．函数y＝x－5＋26－x的最大值是()A.3B.5C．3D．5解析：根据柯西不等式，知y＝1·x－5＋2·6－x≤12＋22·（x－5）2＋（6－x）2＝5.答案：B2．已知a，b∈R，a2＋b2＝4，则3a＋2b的最大值为()A．4B．213C．8D．9解析：(a2＋b2)(32＋22)≥(3a＋2b)2，3a＝2b时取等号，所以(3a＋2b)2≤4×13.当3a＋2b取最大值时为正值所以3a＋2b≤213.答案：B3．已知a，b＞0，且a＋b＝1，则(4a＋1＋4b＋1)2的最大值是()A．26B.6C．6D．12解析：(4a＋1＋4b＋1)2＝(1·4a＋1＋1·4b＋1)2≤(12＋12)·(4a＋1＋4b＋1)＝24(a＋b)＋2]＝2(4×1＋2)＝12，当且仅当4a＋1＝4b＋1，即a＝b时等号成立．答案：D4．设a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1，则a＋b＋c的最大值是()A．1B.3C．3D．9解析：由柯西不等式得(a)2＋(b)2＋(c)2](12＋12＋12)≥(a＋b＋c)2，所以(a＋b＋c)2≤3×1＝3.当且仅当a＝b＝c＝13时等号成立．所以a＋b＋c的最大值为3.故选B.答案：B5．已知a21＋a22＋…＋a2n＝1，x21＋x22＋…＋x2n＝1，则a1x1＋a2x2＋…＋anxn的最大值为()A．1B．2C．－1D．不确定解析：因为(a1x1＋a2x2＋…＋anxn)2≤(a21＋a22＋…＋a2n)(x21＋x22＋…＋x2n)＝1×1＝1，当且仅当ai＝kxi(i＝1，2，…，n)时等号成立．所以a1x1＋a2x2＋…＋anxn的最大值是1.答案：A二、填空题6．(2015·重庆卷)设a，b＞0，a＋b＝5，则a＋1＋b＋3的最大值为________．解析：因为a，b＞0，a＋b＝5，所以(a＋1)＋(b＋3)＝9.令x＝a＋1，y＝b＋3，则x＋y＝9(x＞1，y＞3)，于是a＋1＋b＋3＝x＋y，而(x＋y)2＝x＋y＋2xy≤x＋y＋(x＋y)＝18，所以x＋y≤32.此时x＝y，即a＋1＝b＋3，结合a＋b＝5可得a＝3.5，b＝1.5，故当a＝3.5，b＝1.5时，a＋1＋b＋3的最大值为32.答案：327．已知x，y，z∈R＋，且x＋y＋z＝1，则x2＋y2＋z2的最小值为________．解析：根据柯西不等式，x2＋y2＋z2＝13(12＋12＋12)×(x2＋y2＋z2)≥13(1·x＋1·y＋1·z)2＝13(x＋y＋z)2＝13，当且仅当x＝y＝z时等号成立．答案：138．已知a，b，c＞0，且a＋b＋c＝1，则4a＋1＋4b＋1＋4c＋1的最大值为________．解析：由柯西不等式得(4a＋1＋4b＋1＋4c＋1)2＝(1·4a＋1＋1·4b＋1＋1·4c＋1)2≤(12＋12＋12)(4a＋1＋4b＋1＋4c＋1)＝34(a＋b＋c)＋3]＝21，当且仅当a＝b＝c＝13时，取等号．故4a＋1＋4b＋1＋4c＋1的最大值为21.答案：21三、解答题9．若a，b，c∈R＋，且满足a＋b＋c＝2.(1)求abc的最大值；(2)证明：1a＋1b＋1c≥92.(1)解：因为a，b，c∈R＋，所以2＝a＋b＋c≥33abc，故abc≤827.当且仅当a＝b＝c＝23时等号成立，所以abc的最大值为827.(2)证明：因为a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝2，所以根据柯西不等式，可得1a＋1b＋1c＝12(a＋b＋c)1a＋1b＋1c＝12(a)2＋(b)2＋(c)2]·1a2＋1b2＋1c2≥12a·1a＋b·1b＋c·1c2＝92.所以1a＋1b＋1c≥92.10．已知x＋y＝1，求2x2＋3y2的最小值．解：由柯西不等式(2x2＋3y2)·122＋132≥2x·12＋3y·132＝(x＋y)2＝1，所以2x2＋3y2≥65，当且仅当2x＝3y，即x＝35，y＝25时，等号成立．所以2x2＋3y2的最小值为65.B级能力提升1．已知2x＋3y＋4z＝10，则x2＋y2＋z2取到最小值时的x，y，z的值为()A.53，109，56B.2029，3029，4029C．1，12，13D．1，14，19解析：当且仅当x2＝y3＝z4时，取到最小值，所以联立x2＝y3＝z4，2x＋3y＋4z＝10，可得x＝2029，y＝3029，z＝4029.答案：B2．已知ω2＋x2＋y2＋z2＋F2＝16，则F＝8－ω－x－y－z的最大值为________．解析：当且仅当x2＝y3＝z4时，取到最小值，所以联立x2＝y3＝z4，2x＋3y＋4z＝10，可得x＝2029，y＝3029，z＝4029.答案：B3．已知函数f(x)＝m－|x－2|，m∈R，且f(x＋2)≥0的解集为－1，1]．(1)求m的值；(2)若a，b，c∈R，且1a＋12b＋13c＝m，求证：a＋2b＋3c≥9.(1)解：因为f(x＋2)＝m－|x|，f(x＋2)≥0等价于|x|≤m，由|x|≤m有解，得m≥0，且其解集为{x|－m≤x≤m}．又f(x＋2)≥0的解集为－1，1]，故m＝1.(2)证明：由①知1a＋12b＋13c＝1，又a，b，c∈R＋，由柯西不等式得a＋2b＋3c＝(a＋2b＋3c)1a＋12b＋13c≥a·1a＋2b·12b＋3c·13c2＝9.