人教版高中数学选修45练习第四讲41数学归纳法Word版含解析

第四讲数学归纳法证明不等式4.1数学归纳法A级基础巩固一、选择题1．设f(n)＝1＋12＋13＋…＋13n－1(n∈N＋)，则f(n＋1)－f(n)等于()A.13n＋2B.13n＋13n＋1C.13n＋1＋13n＋2D.13n＋13n＋1＋13n＋2解析：因为f(n)＝1＋12＋13＋…＋13n－1，所以f(n＋1)＝1＋12＋13＋…＋13n－1＋13n＋13n＋1＋13n＋2.所以f(n＋1)－f(n)＝13n＋13n＋1＋13n＋2.答案：D2．在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为12n(n－3)条时，第一步检验第一个值n0等于()A．1B．2C．3D．0解析：边数最少的凸n边形是三角形．答案：C3．在数列{an}中，已知a1＝1，当n≥2时，an＝an－1＋2n－1.依次计算a2，a3，a4后，猜想an的表达式是()A．3n－2B．n2C．3n－1D．4n－3解析：由条件知：a2＝a1＋2×2－1＝22，a3＝a2＋2×3－1＝32，a4＝a3＋2×4－1＝42，猜想an＝n2.答案：B4．一个与自然数n有关的命题，当n＝2时命题成立，且由n＝k时命题成立推得当n＝k＋2时命题也成立，则()A．该命题对于n＞2的自然数n都成立B．该命题对于所有的正偶数都成立C．该命题何时成立与k取什么值无关D．以上答案都不对解析：由题意当n＝2时成立可推得n＝4，6，8，…都成立，因此该命题对所有正偶数都成立．答案：B5．对于数25，规定第1次操作为23＋53＝133，第2次操作为13＋33＋33＝55，如此反复操作，则第2011次操作后得到的数是()A．25B．250C．55D．133解析：根据第1次，第2次操作规律，可知第3次操作为53＋53＝250，第4次操作为23＋53＋03＝133，…，操作后得到的数呈周期性变化，周期为3次，2011＝670×3＋1，故第2011次操作后得到的数是133.答案：D二、填空题6．用数学归纳法证明“1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N*)”的过程中，第二步假设n＝k时等式成立，则当n＝k＋1时应得到________．解析：因为n＝k时，命题为“1＋2＋22＋…＋2k－1＝2k－1”，所以n＝k＋1时为使用归纳假设，应写成1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝2k－1＋2k，又考虑到目的，最终应为2k＋1－1.答案：1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝2k＋1－17．观察下列等式：13＋23＝32，13＋23＋33＝62，13＋23＋33＋43＝102，根据上述规律，猜想13＋23＋33＋43＋53＋63＝________．解析：已知等式可写为：13＋23＝32＝(1＋2)2，13＋23＋33＝62＝(1＋2＋3)2，13＋23＋33＋43＝102＝(1＋2＋3＋4)2，根据上述规律，猜想13＋23＋33＋43＋53＋63＝(1＋2＋…＋6)2＝212.答案：2128．用数学归纳法证明“n∈N*时，1＋2＋22＋23＋…＋25n－1是31的倍数”时，n＝1时的原式是________，从k到k＋1时需添加的项是________．答案：1＋2＋22＋23＋24，25k＋25k＋1＋25k＋2＋25k＋3＋25k＋4三、解答题9．用数学归纳法证明：1－141－191－116…1－1n2＝n＋12n(n≥2，n∈N＋)．证明：(1)当n＝2时，左边＝1－14＝34，右边＝2＋12×2＝34.所以等式成立．(2)假设当n＝k(k≥2，k∈N＋)时，等式成立，即1－141－191－116…1－1k2＝k＋12k(k≥2，k∈N＋)．当n＝k＋1时，1－141－191－116…1－1k21－1（k＋1）2＝k＋12k·（k＋1）2－1（k＋1）2＝（k＋1）k·（k＋2）2k·（k＋1）2＝k＋22（k＋1）＝（k＋1）＋12（k＋1），所以当n＝k＋1时，等式成立．根据(1)和(2)知，对n≥2，n∈N＋时，等式成立．10．用数学归纳法证明n3＋5n能被6整除．证明：(1)当n＝1时，左边＝13＋5×1＝6，能被6整除，结论正确．(2)假设当n＝k时，结论正确，即k3＋5k能被6整除．则(k＋1)3＋5(k＋1)＝k3＋3k2＋3k＋1＋5k＋5＝k3＋5k＋3(k2＋k＋2)＝k3＋5k＋3(k＋1)(k＋2)，因为k3＋5k能被6整除，(k＋1)(k＋2)必为偶数，3(k＋1)(k＋2)能被6整除，因此，k3＋5k＋3(k＋1)(k＋2)能被6整除．即当n＝k＋1时结论正确．根据(1)(2)可知，n3＋5n对于任何n∈N＋都能被6整除．B级能力提升1．用数学归纳法证明等式(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)(n∈N＋)时，从“n＝k到n＝k＋1”左端需乘以的代数式为()A．2k＋1B．2(2k＋1)C.2k＋1k＋1D.2k＋3k＋1解析：当n＝k时，等式为(k＋1)(k＋2)…(k＋k)＝2k×1×3×…×(2k－1)．当n＝k＋1时，左边＝(k＋1)＋1](k＋1)＋2]…(k＋1)＋k]·(k＋1)＋(k＋1)]＝(k＋2)(k＋3)…(k＋k)(2k＋1)(2k＋2)．比较n＝k和n＝k＋1时等式的左边，可知左端需乘以（2k＋1）（2k＋2）k＋1＝2(2k＋1)．答案：B2．用数学归纳法证明34n＋1＋52n＋1(n∈N＋)能被14整除，当n＝k＋1时，对于34(k＋1)＋1＋52(k＋1)＋1应变形为_______________．解析：34(k＋1)＋1＋52(k＋1)＋1＝34k＋5＋52k＋3＝81·34k＋1＋25×52k＋1＝81×34k＋1＋81×52k＋1－56×52k＋1＝81×(34k＋1＋52k＋1)－56×52k＋1答案：81·(34k＋1＋52k＋1)－56·52k＋13．已知正数数列{an}中，前n项和Sn＝12an＋1an.(1)求a1，a2，a3，a4；(2)推测{an}的通项公式，并用数学归纳法加以证明．解：(1)a1＝1，a2＝2－1，a3＝3－2，a4＝4－3.(2)an＝n－n－1①a1＝1，a2＝2－1，a3＝3－2，a4＝4－3.②猜想an＝n－n－1(n∈N＋)．(ⅰ)当n＝1时，a1＝1－0＝1，结论成立；(ⅱ)假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)成立，即ak＝k－k－1.则ak＋1＝Sk＋1－Sk＝12ak＋1＋1ak＋1－12ak＋1ak＝12ak＋1＋1ak＋1－12k－k－1＋1k－k－1，整理得(ak＋1＋k)2＝k＋1，所以ak＋1＝k＋1－k.综合(ⅰ)(ⅱ)知，an＝n－n－1对所有正整数n都成立．