函数与导数

海量资源尽在星星文库：（丰台·文·题2）函数2()3log6fxxx的定义域是（）A．|6xxB．|36xxC．|3xxD．|36xx≤【解析】D；30336606xxxxx≥≥≤．2.（海淀·理·题2）在同一坐标系中画出函数logayx，xya，yxa的图象，可能正确的是（）【解析】D；yxa在B、C、D三个选项中对应的1a，只有选项D的图象正确．3.（宣武·文·题3）下列函数中，既是奇函数又是区间(0,)上的增函数的是（）A．12txB．1yxC．3yxD．2xy【解析】C；AD不是奇函数，B在(0,)上是减函数．4.（西城·文·题4）若0mn，则下列结论正确的是（）A．22mnB．1122mnC．22loglogmnD．1122loglogmn【解析】D；由指数函数与对数函数的单调性知D正确．5.（宣武·理·题4）设函数231()2xfxx，则其零点所在的区间为（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）【解析】B；()fx在R上单调增，(1)10f，(2)70f，故零点所在区间(1,2)．11xyOB11xyOA11xyOC11xyOD海量资源尽在星星文库：（丰台·理·题4）（丰台·文·题6）奇函数()fx在,0上单调递增，若(1)0,f则不等式()0fx的解集是（）A．(,1)(0,1)B．(,1)(1,)C．(1,0)(0,1)D．(1,0)(1,)【解析】A；yOx1-1如图，根据fx所具有的性质可以画出fx的草图，因此01fxx或01x．7.（海淀·文·题5）在同一坐标系中画出函数logayx，xya，yxa的图象，可能正确的是（）【解析】D；yxa在B、C、D三个选项中对应的1a，只有选项D的图象正确．8.（宣武·文·题6）设函数32()logxfxax在区间(1,2)内有零点，则实数a的取值范围是（）A．3(1,log2)B．3(0,log2)C．3(log2,1)D．3(1,log4)【解析】C；32()log1fxax在(1,2)上是减函数，由题设有(1)0,(2)0ff，得解．9.（石景山·理·题7）（石景山·文·题7）已知函数()fx的导函数()fx的图象如图所示，那么函数()fx的图象最有可能的是（）11xyOB11xyOA11xyOC11xyOD海量资源尽在星星文库：【解析】A；由()fx的图象知0和2是()fx的极值点，且0x时，()fx单调递减，故选A．10.（石景山·理·题8）（石景山·文·题8）已知函数21()log3xfxx，正实数,,abc是公差为正数的等差数列，且满足()()()0fafbfc．若实数d是方程()0fx的一个解，那么下列四个判断：①da；②db；③dc；④dc中有可能成立的个数为（）A．1B．2C．3D．4【解析】C；()fx在(0,)上单调减，值域为R．又abc，()()()0fafbfc，所以⑴(),()0fafb，()0fc．由()0fd可知，abdc，③成立；⑵(),(),()0fafbfc．此时dabc，①②③成立．综上，可能成立的个数为3．11.（东城·文·题8）已知函数()ft是奇函数且是R上的增函数，若,xy满足不等式22(2)(2)fxxfyy≤，则22xy的最大值是（）A．3B．22C．8D．16【解析】C；由()fx为奇函数得22(2)(2)fxxfyy≤，又()fx为增函数，有2222xxyy≤，即22(1)(1)2xy≤，它表示圆心在(1,1)，半径为2的圆的内部（包括边界），故到原点最远的点为(2,2)，从而228xy．12.（东城·理·题8）定义在R上的函数()yfx是减函数，且函数(1)yfx的图象关于(1,0)成中心对称，若s，t满足不等式22(2)(2)fssftt≤．则当14s≤≤时，ts的取值范围是（）A．1,14B．1,14C．1,12D．1,12【解析】D；由(1)fx的图象关于(1,0)中心对称知()fx的图象关于(0,0)中心对称，故()fx为奇函数得22(2)(2)fssftt≤，从而2222ttss≤，化简得()(2)0tsts≤，又14s≤≤，故2sts≤≤，从而211tss≤≤，等号可以取到，而211,12s，故1,12ts．海量资源尽在星星文库：（宣武·理·题8）设函数()yfx的定义域为R，若对于给定的正数K，定义函数,()()(),()KKfxKfxfxfxK≤，则当函数1(),1fxKx时，定积分214()kfxdx的值为（）A．2ln22B．2ln21C．2ln2D．2ln21【解析】D；由题设111,1()11,1xfxxx≤，于是定积分212121111114441()1ln2ln21fxdxdxdxxxx．14.（石景山·文·题9）函数1lg(2)yxx的定义域是．【解析】[1,2)；10x≥且20x15.（丰台·文·题12）函数()lnfxx的图象在点e,(e)f处的切线方程是．【解析】e0xy；e11eexfx，∴所求的切线方程为eeeyffx，即1lneeeyx，化简为e0xy．16.（西城·文·题12）已知2,0()12lg,0xxxfxxx≤，若()2fx，则x．【解析】1或10；当0x≤时，由22xx得，1x（正值舍）；当0x时，12lg2x，解得10x．17.（丰台·文·题13）已知函数2,0()(3),0xxfxfxx≤，(8)f．【解析】2；1852122ffff．海量资源尽在星星文库：（丰台·理·题14）函数21(01)yxx≤≤图象上点P处的切线与直线0,0,1yxx围成的梯形面积等于S，则S的最大值等于，此时点P的坐标是．【解析】54，15,24；函数2101yxx≤≤在P200,1xx点处的切线方程为200012yxxxx，即20021yxxx它与y轴的交点为201x，与1x的交点为20021xx．于是题中梯形的面积222000001121112Sxxxxx201524x当012x时，S取得最大值为54，此时P点坐标为211,122即15,24．19.（东城·理·题14）如果对任意一个三角形，只要它的三边长a，b，c都在函数()fx的定义域内，就有()fa，()fb，()fc也是某个三角形的三边长，则称()fx为“Л型函数”．则下列函数：①()fxx；②()singxx(0,π)x；③()lnhxx[2,)x，是“Л型函数”的序号为．【解析】①③；若,,0abc，abc，则ababc，故①满足；若,,2abc≥，abc，则(1)(1)1ababab≥≥，lnlnln()ln()lnabababc≥，故③满足；②反例：3ab，π2c时，,,abc构成三角形，但πsinsin1sin2ab，故sin,sin,sinabc不构成三角形．20.（西城·文·题14）设函数()fx的定义域为D，若存在非零实数l使得对于任意()xMMD，有xlD，且()()fxlfx≥，则称()fx为M上的l高调函数．现给出下列命题：①函数1()2xfx为R上的1高调函数；②函数()sin2fxx为R上的π高调函数；③如果定义域为[1,)的函数2()fxx为[1,)上m高调函数，那么实数m的取值范围是[2,)；其中正确的命题是．（写出所有正确命题的序号）【解析】②③；海量资源尽在星星文库：①中()fx为减函数，故不可能是1高调函数；②中，(π)()fxfx，故②正确；2()(1)fxxx≥的图象如下图所示，要使得(1)(1)1fmf≥，有2m≥；1x≥时，恒有(2)()fxfx≥，故2m≥即可，③正确．1O-1yx21.（西城·理·题14）设函数()fx的定义域为D，若存在非零实数l使得对于任意()xMMD，有xlD，且()()fxlfx≥，则称()fx为M上的l高调函数．如果定义域为[1,)的函数2()fxx为[1,)上的m高调函数，那么实数m的取值范围是．如果定义域为R的函数()fx是奇函数，当0x≥时，22()||fxxaa，且()fx为R上的4高调函数，那么实数a的取值范围是．【解析】[2,)；[1,1]；2()(1)fxxx≥的图象如下图左所示，要使得(1)(1)1fmf≥，有2m≥；1x≥时，恒有(2)()fxfx≥，故2m≥即可；由()fx为奇函数及0x≥时的解析式知()fx的图象如下图右所示，∵222(3)()faafa，由2222(4)()(3)fafaafa≥，故2243aa+≥，从而21a≤，又21a≤时，恒有(4)()fxfx≥，故21a≤即可．-a2a2-a2a2Oyx1O-1yx22.（宣武·文·题14）有下列命题：①0x是函数3yx的极值点；②三次函数32()fxaxbxcxd有极值点的充要条件是230bac；③奇函数32()(1)48(2)fxmxmxmxn在区间(4,4)上是单调减函数．海量资源尽在星星文库：其中假命题的序号是．【解析】①；3yx在R上单调增，没有极值点，①错；2()32fxaxbxc，()fx有极值点的充要条件是()0fx有两个不相等的实根，24120bac，也即230bac，②正确；()fx是奇函数，则(0)00fn，由()()fxfx，可得2(1)0mx，因此1m，所以3()48fxxx．当(4,4)x时，2()3483(4)(4)0fxxxx，故()fx在(4,4)x上是单调减函数．23.（宣武·理·题14）有下列命题：①若()fx存在导函数，则(2)[(2)]fxfx；②若函数44()cossinhxxx，则π112h；③若函数()(1)(2)(2009)(2010)gxxxxx，则(2010)2009!g；④若三次函数32()fxaxbxcxd，则“0abc”是“()fx有极值点”的充要条件．其中真命题的序号是．【解析】③；(2)(2)(2)2(2)fxfxxfx，①错误；33()4cos(sin)4sincos4sincos2sin2hxxxxxxxx，则π112h，②错；()(1)(2)(2009)(2010)(1)(2)(2009)gxxxxxxxx，③正确；2()32fxaxbxc，224124(3)bacbac，只需230bac即可，0abc是230bac的充分不必要条件．24.（丰台·文·题18）