函数的图象

1.5函数sin()yAx的图象一、情景导入：1．函数y=Asin(ωx+φ)的图像与y=sinx的图像关系.(1)振幅变换：函数y=Asinx(A＞0,且A≠1)的图像，可以看作是y=sinx图像上所有点的纵坐标伸长(A＞1)或缩短(0＜A＜1)到原来的A倍(横坐标不变)而得到的.这种变换叫振幅变换，它实质上是纵向的伸缩.(2)周期变换：函数y=sinωx(ω＞0,且ω≠1)的图像，可以看作是把y=sinx的图像上各点的横坐标都缩短(ω＞1)或伸长(0＜ω＜1)到原来的1倍(纵坐标不变)而得到的，由y=sinx的图像变换为y=sinωx的图像，其周期由2π变2.这种变换叫做周期变换.它实质上是横向的伸缩.(3)相位变换：函数y=sin(x+φ)(φ≠0)的图像，可以看作是把y=sinx的图像上各点向左(φ＞0)或向右(φ＜0)平移｜φ｜个单位而得到的.这种由y=sinx的图像变换为y=sin(x+φ)的图像的变换，使相位x变为x+φ,我们称它为相位变换.它实质上是一种左右平移变换.应用振幅变换、周期变换、相位变换(左右平移变移)和上下平移变换可由y=sinx的图像得到y=Asin(ωx+φ)+k的图像.2．设f、t、h分别表示相位变换，周期变换，振幅变换，变换作图法共有以下不同的程序：(1)f→t→h;(2)f→g→t(3)t→h→f;(4)t→f→h;(5)h→f→t;(6)h→t→f3.y=Asin(ωx+φ)(A＞0，ω＞0)与简谐振动在物理学中，y=Asin(ωt+φ)(A＞0,ω＞0),其中t∈［0，+∞)，表示简谐振动的运动方程.这时参数A，ω，φ有如下物理意义：A称为振幅，它表示振动时物体离开平衡位置的最大距离.T=2称为周期，它表示振动一次所需的时间(亦即函数y的最小正周期).f=T1=2称为振动的频率，它表示单位时间内往复振动的次数，ωt+φ叫做相位，当t=0时的相位，即φ称为初相.二、感受理解：1．请用五点法作出3sin(2)4yx在一个周期上的简图2．试说明y=cosx的图像经怎样的变换可得到y=3cos(3x+2)+1的图像?3．指出将y=sinx的图像变换为y=sin(2x+3)的图像的两种方法.4．函数f(x)的横坐标伸长到原来的两倍，再向左平移2个单位，所得到的曲线是y=21sinx的图像，试求函数y=f(x)的解析式.5．如图是函数y=Asin(ωx+φ)图像一段，函数定义域是，值域是，周期是，振幅是，函数解析式是，当x=时y取最大值=，当x=,y取最小值，x=时，y=0，函数递减区间是.三、迁移拓展：6．函数y=Acos(ωx+φ)(A≠0,ω≠0)的奇偶性()A.仅与A有关B.仅与ω有关C.仅与φ有关D.与A、ω、φ有关7.函数y=sin2x的图像向左平移6所得曲线的对应函数式()A.y=sin(2x+6)B.y=sin(2x-6)C.y=sin(2x+3)D.y=sin(2x-3)8.得到函数y=sin(2x-3)的图像，只需将y=sin2x的图像()A.向左移动3B.向右移动3C.向左移动6D.向右移动69.函数y=sin(2x-6)的单调递减区间是()A.［kπ+12,kπ+127π］B.［kπ-125π,kπ+12］A.［kπ-6,kπ+3］D.［kπ+3,kπ+65π］(k∈Z)10.函数()fx＝Asin(ωx+φ)的一个周期内的图象如图，则()fx的表达式为()A．y＝2sin(x+6)B．y＝2sin(x+3)C．y＝2sin(2x+6)D．y＝2sin(2x+3)11．函数2sin(3)6yx的振幅是；周期是．12．函数y=21sin(3x-3)的定义域是，值域是，周期是，振幅是，频率是，相位是，初相是12.要得到函数y=3cos(2x-47π)的图像C，需要将函数y=3sin2x的图像C0经过平移得到，则平移路程最小的长度是单位.14.已知函数f(x)=sin(3kx+4),使f(x)的周期在(32，34)内，则正整数k=.15.给出下列命题：(1)函数y=sinx在第一、四象限都是增函数；(2)函数y=cos(ωx+φ)的最小正周期为2；(3)函数y=sin(32x+27π)是偶函数；(4)函数y=sin2x的图像向左平移4个单位，得到y=sin(2x+4)的图像.其中正确的命的序号是.16．写出下列函数图象的解析式（1）将函数y=sinx的图象上所有点向左平移3个单位，再把所得图象上各点的横坐标扩大为原来的2倍，得到所求函数的图象。（2）将函数y=cosx的图象上所有点横坐标缩为原来的一半，纵坐标保持不变，然后把图象向左平移4个单位，得到所求函数的图象。17.已知y=Asin(ωx+φ)(A＞0,ω＞0,0＜φ＜π)的最小正周期为32，最小值为-2，且过点(95π，0)，求它的表达式.18.用“五点法”作出函数f(x)=sin(x+4)一个周期的图像，并画出f(｜x｜)的图像.19．说明函数1tan()26yx的图像可以由函数tanyx的图像经过怎样的变换得到。20．如图，是正弦函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A＞0,ω＞0)的一个周期的图像.(1)写出f(x)的解析式；(2)若g(x)与f(x)的图像关于直线x=2对称，写出g(x)的解析式.四、实践应用：21．函数f(x)=Msin(ωx+φ)(ω＞0)在区间［a,b］上是增函数，且f(a)=-M,f(b)=M，则函数g(x)=Mcos(ωx+φ)在［a,b］上()A.是增函数B.是减函数C.可以取得最大值MD.可以取得最小值-M22．函数y＝Asin(ax+b)的图象与函数y＝Acos(ax+b)的图象在区间［m,m+a］(a＞0)()A.可能没有交点B.一定有两个交点C.至少有一个交点D.只有一个交点参考答案：1.5函数sin()yAx的图象二、感受理解1．略2．略3．（1）y=sinx12横坐标缩短为原来的纵坐标不变y=sin2x6向左平移单位y=sin［2(x+6)］（2）y=sinx3向左平移单位y=sin(x+3)12横坐标缩短为原来的纵坐标不变y=sin(2x+3).4．y=-21cos2x5．［2kπ-3,2kπ+35］(k∈Z),［-2,2］,T=2π,2，y=2sin(x+3),x=6+2kπ,k∈Z,2,x=67π+2kπ,k∈Z时，-2，x=-3+2kπ,32+2kπ,35+2kπ时,y=0,［6+2kπ,67+2kπ］(k∈Z)三、迁移拓展：6．Ｃ7．Ｃ8．Ｄ9．Ｄ10．D11．2,2312．R，［-21，21］T=32,A=21,f=23,3x-3,-313．向左平移8314．15,16,1715．(3)16．（1）sin()23xy(2)cos(2)2yx17．y=2sin(3x+3)18．19．可先把tanyx的图像上所有点向右平移6个单位，得到tan()6yx的图像，再把tan()6yx图像上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），从而得到1tan()26yx的图像。20．(1)f(x)=2sin(4x+4)(2)g(x)=2sin(4x-4)四、实践应用：21．C22．C.