北京市昌平区2015届高三上学期期末考试数学文试题含答案

培优网－2015学年第一学期高三年级期末质量抽测数学试卷(文科)2015.1考生注意事项：1.本试卷共6页，分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分，满分150分，考试时间120分钟．2．答题前，考生务必将学校、班级、姓名、考试编号填写清楚．答题卡上第一部分(选择题)必须用2B铅笔作答，第二部分(非选择题)必须用黑色字迹的签字笔作答，作图时必须使用2B铅笔．3．修改时，选择题用塑料橡皮擦干净，不得使用涂改液．请保持卡面整洁，不要折叠、折皱、破损．不得在答题卡上作任何标记．4．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，未在对应的答题区域作答或超出答题区域的作答均不得分．第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．)1.已知集合{1},{|0},MxNxx则MNI等于A.1xxB.1xxC.01xxD.2．下列函数中，在区间(0，π2)上是减函数的是A．cosyxB．sinyxC．2yxD．21yx3.在ABC中，60,2,3,AACBC，则B等于A.120oB.90oC.60oD.45o4．某四棱锥的三视图如图所示，其中正(主)视图是等腰直角三角形,侧(左)视图是等腰三角形,俯视图是正方形,则该四棱锥的体积是A．8B．83C．4俯视图侧（左）视图正（主）视图11112培优网．435.“”是“sinsin”的A．充分不必要条件B.必要不充分条件C．充要条件D.既不充分也不必要条件6.已知直线m和平面α，β，则下列四个命题中正确的是A.若，m，则mB.若//，m，则mC.若//，//m，则//mD.若//m，//m，则//7.某位股民购进某只股票，在接下来的交易时间内，他的这只股票先经历了n次涨停(每次上涨10%)，又经历了n次跌停(每次下跌10%)，则该股民这只股票的盈亏情况(不考虑其它费用)是A.略有盈利B.略有亏损C.没有盈利也没有亏损D.无法判断盈亏情况8.已知数列}{na满足*134(1),nnaannN，且,91a其前n项之和为nS，则满足不等式1|6|40nSn成立的n的最小值是A.7B.6C.5D.4第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）．9.计算：(1i)(12i)=.（i为虚数单位）10.执行如图所示的程序框图，如果输入2，那么输出的结果是，如果输入4，那么输出的结果是．结束输出y开始xy2log20x是输入x13xy否培优网，y满足约束条件1,,0,xyyxy≤≤≥则zxy2的最大值是.12.平面向量a与b的夹角为60o，(1,0)a，=2|b|，则|2|ab-=.13.双曲线13:22yxC的离心率是_________；若抛物线mxy22与双曲线C有相同的焦点，则m_____________.14.在下列函数①13,xy②,log3xy③21,yx④,sinxy⑤cos()6yx中，满足“对任意的1x，2x(0,1)，则1212()()22xxfxfxf恒成立”的函数是________.(填上所有正确的序号)三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)15.（本小题满分13分）已知函数1()3sincoscos21.2fxxxx(I)求函数()fx的最小正周期；(II)当[0,]2x时，求函数()fx的最大值及取得最大值时的x值．16.（本小题满分13分）有20名学生参加某次考试，成绩（单位：分）的频率分布直方图如图所示：（I）求频率分布直方图中m的值；(Ⅱ)分别求出成绩落在[70,80),[80,90),[90,100]中的学生人数；（III）从成绩在[80,100]的学生中任选2人，求所选学生的成绩都落在[80,90)中的概率．4m6m5m3m10090807060频率组距成绩（分）50O2m培优网（本小题满分13分）在等比数列na中，252,16aa.（I）求等比数列na的通项公式；（II）若等差数列nb中，1582,baba，求等差数列nb的前n项的和nS，并求nS的最大值.18.（本小题满分14分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，=90DACo，O为AC的中点，PO底面ABCD.（I）求证：AD平面PAC;（II）在线段PB上是否存在一点M，使得//OM平面PAD？若存在，写出证明过程；若不存在，请说明理由.19.（本小题满分14分）已知函数()1.xxfxexe（I）求函数()fx的最大值；（Ⅱ）设()(),fxgxx其中1,0xx且，证明:()gx＜1.20.（本小题满分13分）已知椭圆C：22221(0)yxabab的离心率为22，其四个顶点组成的菱形的面积是42，O为坐标原点，若点A在直线2x上，点B在椭圆C上，且OAOB.（I）求椭圆C的方程；（II）求线段AB长度的最小值；（III）试判断直线AB与圆222xy的位置关系，并证明你的结论.DABCOP培优网－2015学年第一学期高三年级期末质量抽测数学试卷(文科)参考答案及评分标准2015.1一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．)题号12345678答案CADDABBC二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分．)9.3i10.10；411.212.213.332;414.①③三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)15.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为31()sin2cos2122fxxx…………4分sin(2)16x…………6分所以22T.…………7分（Ⅱ）因为()sin(2)16fxx，02x，所以2666x．…………9分所以当262x即6x时，函数)(xf的最大值是2.…………13分16.（本小题满分13分）解：（I）由题意10(23456)1mmmmm，0.005m.………3分（II）成绩落在[70,80)中的学生人数为20100.036，成绩落在[80,90)中的学生人数20100.024成绩落在[90,100]中的学生人数20100.012.……………6分培优网（III）设落在[80,90)中的学生为1234,,,aaaa，落在[90,100]中的学生为12,bb，则1121314111223242122343132414212{,,,,,,,,,,,,,,}aaaaaaababaaaaababaaababababbb，基本事件个数为15n，设A＝“此2人的成绩都在[80,90)”，则事件A包含的基本事件数6m，所以事件A发生概率62()155mPAn.……………13分17.（本小题满分13分）解：（I）在等比数列na中，设公比为q，因为252,16aa,所以1412,16aqaq得112aq所以数列na的通项公式是12nna.……………5分（II）在等差数列nb中，设公差为d.因为1582,baba,所以1582=16,=2baba1116,+7=2bbd1=16,=2bd……………9分方法一21(1)172nnnSbndnn，当89n或时，Sn最大值为72.……………13分方法二由182nbn,当1820nbn,解得9n,即980,2.aa所以当89n或时，Sn最大值为72.……………13分18.（本小题满分14分）证明：（I）在ADC中，培优网=90.DACADACo因为，所以又因为POABCD面，ADABCD平面所以POAD.又因为=POACOPCACPACI平面，、,所以ADPAC平面.……………6分（II）存在.当M为PB中点时，OM//PAD平面.……………7分证明：设PAAD、的中点分别为EF、，连结OFMEEF、、,ACDOAC在中，为的中点，所以1//,=2OFCDOFCD.PABMEPBPA在中，、为、的中点，所以1//,=2MEABMEAB,//=MEOFMEOF，,所以四边形OMEF是平行四边形,所以//OMEF.因为OMPAD平面，EFPAD平面，所以//OMPAD平面.……………14分19.（本小题满分14分）解：（Ⅰ）'(),xfxxe…………………2分当(,0)x时，f(x)＞0，f(x)单调递增；…………………4分当(0,)x时，f(x)＜0，f(x)单调递减．…………………6分x(,0)0(0,))('xf＋0－)(xf↗极大值↘所以f(x)的最大值为f(0)＝0．…………………7分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当0x时，()0,()01.fxgx…………………9分当10x时，()1gx等价于().fxx设()()hxfxx，则'()1xhxxe．当(1,0)x时，01,01,xxe则01,xxeDABCFEMOP培优网从而当(1,0)x时，'()0hx，()hx在(1,0)单调递减．…………………12分当(1,0)x时，()(0)0,hxh即()(0)0,()fxxhfxx所以，故g(x)＜1．综上，总有g(x)＜1．…………………14分20.（本小题满分13分）解：（I）由题意22242ceaab，解得224,2ab.故椭圆C的标准方程为22142yx.……………3分（II）设点A，B的坐标分别为00(2,),(,)txy，其中00y，因为OAOB，所以0OAOBuuruuur，即0020xty，……………4分解得002xty，又220024xy，所以22200||(2)()ABxyt=2200002(2)()xxyy=2220002044xxyy=2220002042(4)42yyyy=22002084(04)2yyy，……………5分因为22002084(04)2yyy，当且仅当204y时等号成立，所以2||8AB，故线段AB长度的最小值为22.……………7分（III）直线AB与圆222xy相切.……………8分培优网证明如下：设点A,B的坐标分别为00(,)xy，(2,)t，其中00y.因为OAOB，所以0OAOBuuuruuur，即0020xty，解得002xty.……………9分直线AB的方程为00(2)2ytytxx，即0000()(2)20ytxxyytx，……………10分圆心O到直线AB的距离0022002()(2)txydytx,……………11分由220024yx，002xty，故2000222000202244xyydxxyy200420020428162yyyyy，所以直线AB与圆222xy相切.……………13分