北京市昌平区2015届高三上学期期末考试数学理试题含答案

培优网,1n输出a是1nn否昌平区2014－2015学年第一学期高三年级期末质量抽测数学试卷(理科)2015.1考生注意事项：1.本试卷共6页，分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分，满分150分，考试时间120分钟．2．答题前，考生务必将学校、班级、姓名、考试编号填写清楚．答题卡上第一部分(选择题)必须用2B铅笔作答，第二部分(非选择题)必须用黑色字迹的签字笔作答，作图时必须使用2B铅笔．3．修改时，选择题用塑料橡皮擦干净，不得使用涂改液．请保持卡面整洁，不要折叠、折皱、破损．不得在答题卡上作任何标记．4．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，未在对应的答题区域作答或超出答题区域的作答均不得分．第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．)1.已知集合(4)(2)0Axxx，|3Bxx，则ABI等于A.{2}B.{3}C.{4}D.{2,4}2．已知0ab，则下列不等式成立的是A.22abB.11abC.abD.22ab3.执行如图所示的程序框图，输出a的值是A．4B．8C．16D．32结束2aa3n培优网某四棱锥的三视图如图所示，其中正(主)视图是等腰直角三角形,侧(左)视图是等腰三角形,俯视图是正方形,则该四棱锥的体积是A．8B．83C．4D．435.已知直线m和平面α，β，则下列四个命题中正确的是A.若，m，则mB.若//，//m，则//mC.若//，m，则mD.若//m，//m，则//6.在2014年APEC会议期间，北京某旅行社为某旅行团包机去旅游，其中旅行社的包机费为12000元，旅行团中每人的飞机票按以下方式与旅行社结算：若旅行团的人数在30人或30人以下，每张机票收费800元；若旅行团的人数多于30人，则给予优惠，每多1人，旅行团每张机票减少20元，但旅行团的人数最多不超过45人，当旅行社获得的机票利润最大时，旅行团的人数是A.32人B.35人C.40人D.45人7.在ABC△中，角,,ABC对应的边分别为,,abc.若1,30,aAo则“60Bo”是“3b”的A．充分不必要条件B.必要不充分条件C．充要条件D.既不充分也不必要条件8.某珠宝店丢了一件珍贵珠宝，以下四人中只有一人说真话，只有一人偷了珠宝.甲：我没有偷；乙：丙是小偷；丙：丁是小偷；丁：我没有偷.根据以上条件，可以判断偷珠宝的人是A．甲B.乙C．丙D.丁俯视图侧（左）视图正（主）视图11112培优网第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．）9.设复数12iz，则||z.10.5)21(x的展开式中，2x的系数是.(用数字作答)11.若x，y满足约束条件1,,0,xyyxy≤≤≥则zxy2的最大值是.12.平面向量a与b的夹角为60，(1,0)a，=2|b|，则|2|ab=.13.已知双曲线221(0)yxmm的离心率是2，则________,m以该双曲线的右焦点为圆心且与其渐近线相切的圆的方程是.14.已知函数()ln(1)ln(1)fxxx，有如下结论：①1,1x，有()()fxfx；②1,1x，有()()fxfx；③12,1,1xx，有1212()()0fxfxxx；④12,0,1xx，有1212()()()22xxfxfxf.其中正确结论的序号是.（写出所有正确结论的序号）三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)15.（本小题满分13分）已知函数2()2sincos2cosfxxxx．(I)求函数)(xf的最小正周期；(Ⅱ)当[0,]2x时，求函数)(xf的最大值及取得最大值时的x值．培优网（本小题满分13分）从甲、乙两班某项测试成绩中各随机抽取5名同学的成绩，得到如下茎叶图.已知甲班样本成绩的中位数为13,乙班样本成绩的平均数为16.(I)求,xy的值；(II)试估计甲、乙两班在该项测试中整体水平的高低(只需写出结论)；(III)从两组样本成绩中分别去掉一个最低分和一个最高分，再从两组剩余成绩中分别随机选取一个成绩，求这两个成绩的和的分布列及数学期望.（注：方差2222121[()()()]nsxxxxxxnL，其中x为1x，2x，…,nx的平均数.）17.（本小题满分14分）如图，PD垂直于梯形ABCD所在的平面，90ADCBAD.F为PA中点，2PD，11.2ABADCD四边形PDCE为矩形，线段PC交DE于点N.(I)求证：AC//平面DEF；(II)求二面角ABCP的大小；(III)在线段EF上是否存在一点Q，使得BQ与平面BCP所成角的大小为6？若存在，请求出FQ的长;若不存在，请说明理由.乙甲909x215y86020NFDCABEP培优网(本小题满分13分）已知函数f(x)＝lnx－a2x2＋ax(a∈R)．(I)当a＝1时，求函数f(x)的单调区间；(II)若函数f(x)在区间(1，＋∞)上是减函数，求实数a的取值范围．19.（本小题满分14分）已知椭圆C:22221(0)xyabab,经过点P3(1,)2，离心率是32.(I)求椭圆C的方程；(II)设直线l与椭圆C交于,AB两点，且以AB为直径的圆过椭圆右顶点M，求证：直线l恒过定点．20.（本小题满分13分）已知数列na满足112a，1222,,nnnannaann为奇数为偶数，数列na的前n项和为nS,2nnba，其中*nN.(I)求23aa的值；(II)证明：数列nb为等比数列；(III)是否存在*()nnN，使得21241?2nnSb若存在，求出所有的n的值；若不存在，请说明理由．培优网－2015学年第一学期高三年级期末质量抽测数学试卷(理科)参考答案一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．)题号12345678答案CDBDCBAA二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）．9.510.4011.212.213.3；22(2)3xy14.②③④三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)15.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为1cos2()sin222xfxxsin2cos21xx2sin(2)14x…………5分所以22T，故()fx的最小正周期为.…………7分（Ⅱ）因为02x，所以2444x．…………9分当242x时，即8x时，…………11分所以)(xf有最大值21.…………13分16.（本小题满分13分）解：（I）经计算得：甲班数据依次为9,12,10,20,26x，所以中位数为1013x，得3x；1(915101820)165xy乙，得8y．……………4分（II）乙班整体水平高.或解：1(912132026)165x甲，2222221[(916)(1216)(1316)(2016)(2616))]385s甲，培优网(915181820)165x乙，222222174[(916)(1516)(1816)(1816)(2016))]14.855s乙.因为22ss甲乙，所以乙班的水平高.……………7分(III)从甲、乙两班测试中分别去掉一个最低分和最高分，则甲班：12，13，20，乙班：15，18，18.这两班测试成绩的和为，则＝27,28,30,31,35,38，所以(P1＝27)=9，(P1＝28)=9，(P2＝30)=9，(P2＝31)=9，(P1＝35)=9，(P2＝38)=9.所以的分布列为272830313538P191929291929所以的期望为112212()272830313538999999E32..……………13分17.（本小题满分14分）解：(Ⅰ)连接,FN在PAC中，,FN分别为,PAPC中点，所以//,FNAC因为,,FNDEFACDEF平面平面所以//DEFAC平面…………………4分(Ⅱ)如图以D为原点，分别以,,DADCDP所在直线为x,y,z轴，建立空间直角坐标系.Dxyz…………………5分则(0,0,2),(1,1,0),(0,2,0),(1,1,2),(1,1,0).PBCPBBCuuuruuur所以NPFDCABEzyx培优网的法向量为(,,),mxyzur则(,,)(1,1,2)0,(,,)(1,1,0)0mPBxyzmBCxyzuruuururuuur即20,0xyzxy解得,2xxzx令1x，得11,2xyz所以(1,1,2).mur…………………7分因为平(0,0,1),ABCnr面的法向量所以2cos,2nmnmnmrurrurrur，由图可知二面角ABCP为锐二面角，所以二面角ABCP的大小为.4…………………9分(Ⅲ)设存在点Q满足条件.由12(,0,),(0,2,2).22FE设(01)FQFEuuuruuur，整理得12(1)(,2,)22Q，12(1)(,21,),22BQuuur…………………11分因为直线BQ与平面BCP所成角的大小为6，所以2|51|1sin|cos,|||62219107BQmBQmBQmuuururuuururuuurur，…………………13分则21,01由知1，即Q点与E点重合.故在线段EF上存在一点Q，且19||||.2FQEF…………………14分18.(本小题满分13分）解：（Ⅰ）当1a时，2()lnfxxxx，定义域是(0,).'1()21fxxx，由'()0fx，解得01x；由'()0fx，解得1x；所以函数()fx的单调递增区间是0,1，单调递减区间是1,.…………………5分培优网（Ⅱ）（法一）因为函数()fx在区间(1,)上是减函数，所以'()0fx在1,上恒成立，则'21()20fxaxax，即22()210gxaxax在1,上恒成立.…………………7分①当0a时，()10gx，所以0a不成立.…………………9分②当0a时，22()21gxaxax，290a，对称轴24axa.2(1)014gaa，即22(1)2104gaaaa，解得112104aaaa或或所以实数a的取值范围是1,12aa.…………………13分（法二）'21()2fxaxax2221axaxx，定义域是(0,).①当0a时，()lnfxx在区间(1,)上是增函数，所以0a不成立