北京市西城区2012届高三数学4月第一次模拟考试试题理高中数学练习试题

1北京市西城区2012届高三4月第一次模拟考试试题数学（理科）2012.4第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．已知全集UR，集合1{|1}Axx，则UAð（）（A）(0,1)（B）(0,1]（C）(,0](1,)（D）(,0)[1,)2．执行如图所示的程序框图，若输入2x，则输出y的值为（）（A）2（B）5（C）11（D）233．若实数x，y满足条件0,30,03,xyxyx则2xy的最大值为（）（A）9（B）3（C）0（D）34．已知正六棱柱的底面边长和侧棱长相等，体积为3123cm．其三视图中的俯视图如图所示，则其左视图的面积是（）（A）243cm（B）223cm（C）28cm（D）24cm25．已知函数44()sincosfxxx的最小正周期是π，那么正数（）（A）2（B）1（C）12（D）146．若2log3a，3log2b，4log6c，则下列结论正确的是（）（A）bac（B）abc（C）cba（D）bca7．设等比数列{}na的各项均为正数，公比为q，前n项和为nS．若对*nN，有23nnSS，则q的取值范围是（）（A）(0,1]（B）(0,2)（C）[1,2)（D）(0,2)8．已知集合230123{|333}Axxaaaa，其中{0,1,2}(0,1,2,3)kak，且30a.则A中所有元素之和等于（）（A）3240（B）3120（C）2997（D）28893第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.9.某年级120名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间．将测试结果分成5组：[1314),，[1415),，[1516),，[1617),，[1718],，得到如图所示的频率分布直方图．如果从左到右的5个小矩形的面积之比为1:3:7:6:3，那么成绩在[16,18]的学生人数是_____．10．6(2)x的展开式中，3x的系数是_____．（用数字作答）11.如图，AC为⊙O的直径，OBAC，弦BN交AC于点M．若3OC，1OM，则MN_____．12.在极坐标系中，极点到直线:lπsin()24的距离是_____．13.已知函数122,0,(),20,xxcfxxxx其中0c．那么()fx的零点是_____；若()fx的ABCOMN4值域是1[,2]4，则c的取值范围是_____．14.在直角坐标系xOy中，动点A，B分别在射线3(0)3yxx和3(0)yxx上运动，且△OAB的面积为1．则点A，B的横坐标之积为_____；△OAB周长的最小值是_____．三、解答题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15.（本小题满分13分）在△ABC中，已知sin()sinsin()ABBAB．（Ⅰ）求角A；（Ⅱ）若||7BC，20ACAB，求||ABAC．16.（本小题满分13分）乒乓球单打比赛在甲、乙两名运动员间进行，比赛采用7局4胜制（即先胜4局者获胜，比赛结束），假设两人在每一局比赛中获胜的可能性相同（Ⅰ）求甲以4比1获胜的概率；（Ⅱ）求乙获胜且比赛局数多于5局的概率；（Ⅲ）求比赛局数的分布列.517．（本小题满分14分）如图，四边形ABCD与BDEF均为菱形，60DBFDAB，且FAFC．（Ⅰ）求证：AC平面BDEF；（Ⅱ）求证：FC∥平面EAD；（Ⅲ）求二面角BFCA的余弦值．18.（本小题满分13分）已知函数()e(1)axafxax，其中1a.（Ⅰ）当1a时，求曲线()yfx在点(1,(1))f处的切线方程；（Ⅱ）求)(xf的单调区间.19.（本小题满分14分）已知椭圆:C22221(0)xyabab的离心率为53，定点(2,0)M，椭圆短轴的端点是1B，2B，且12MBMB.（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设过点M且斜率不为0的直线交椭圆C于A，B两点.试问x轴上是否存在定点P，使PM平分APB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由.20.（本小题满分13分）对于数列12:,,,(,1,2,,)nniAaaaainN，定义“T变换”：T将数列nA变换成数ECBADF6列12:,,,nnBbbb，其中1||(1,2,,1)iiibaain，且1||nnbaa，这种“T变换”记作()nnBTA.继续对数列nB进行“T变换”，得到数列nC，…，依此类推，当得到的数列各项均为0时变换结束．（Ⅰ）试问3:4,2,8A和4:1,4,2,9A经过不断的“T变换”能否结束？若能，请依次写出经过“T变换”得到的各数列；若不能，说明理由；（Ⅱ）求3123:,,Aaaa经过有限次“T变换”后能够结束的充要条件；（Ⅲ）证明：41234:,,,Aaaaa一定能经过有限次“T变换”后结束．数学（理科）参考答案及评分标准2012.4一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.71.C；2.D；3.A；4.A；5.B；6.D；7.A；8.D.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9.54；10.160；11.1；12.2；13.1和0，(0,4]；14.32，2(12).注：13题、14题第一问2分，第二问3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分.15.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：原式可化为BABABABsincos2)sin()sin(sin．…………3分因为(0,π)B，所以0sinB，所以21cosA．…………5分因为(0,π)A，所以π3A．……………6分（Ⅱ）解：由余弦定理，得222||||||2||||cosBCABACABACA．………8分因为||7BC，||||cos20ABACABACA，所以22||||89ABAC．…………10分因为222||||||2129ABACABACABAC，………12分所以||129ABAC．…………13分16.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：由已知，甲、乙两名运动员在每一局比赛中获胜的概率都是21．………1分记“甲以4比1获胜”为事件A，则334341111()C()()2228PA．…………4分（Ⅱ）解：记“乙获胜且比赛局数多于5局”为事件B.8因为，乙以4比2获胜的概率为3353151115C()()22232P，……………6分乙以4比3获胜的概率为3363261115C()()22232P，………7分所以125()16PBPP．…………8分（Ⅲ）解：设比赛的局数为X，则X的可能取值为4,5,6,7．44411(4)2C()28PX，…………9分334341111(5)2C()()2224PX，…………10分335251115(6)2C()()22216PX，……………11分336361115(7)2C()()22216PX．………………12分比赛局数的分布列为：X4567P1814516516………………13分17.（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：设AC与BD相交于点O，连结FO．因为四边形ABCD为菱形，所以BDAC，且O为AC中点．………………1分又FCFA，所以ACFO．………3分因为OBDFO，所以AC平面BDEF．………………4分（Ⅱ）证明：因为四边形ABCD与BDEF均为菱形，所以AD//BC，DE//BF，所以平面FBC//平面EAD．………………7分又FC平面FBC，所以FC//平面EAD．……………8分9（Ⅲ）解：因为四边形BDEF为菱形，且60DBF，所以△DBF为等边三角形．因为O为BD中点，所以BDFO，故FO平面ABCD．由OFOBOA,,两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系xyzO．………………9分设2AB．因为四边形ABCD为菱形，60DAB，则2BD，所以1OB，3OAOF．所以)3,0,0(),0,0,3(),0,1,0(),0,0,3(),0,0,0(FCBAO．所以(3,0,3)CF，(3,1,0)CB．设平面BFC的法向量为=()x,y,zn，则有0,0.CFCBnn所以．03,033yxzx取1x，得)1,3,1(n．………………12分易知平面AFC的法向量为(0,1,0)v．………………13分由二面角BFCA是锐角，得15cos,5nvnvnv．所以二面角BFCA的余弦值为515．……………14分18.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：当1a时，1()e(2)xfxx，211()e(2)xfxxx．…………2分由于(1)3ef，(1)2ef，所以曲线()yfx在点(1,(1))f处的切线方程是2ee0xy．……4分（Ⅱ）解：2(1)[(1)1]()eaxxaxfxax，0x．…………6分①当1a时，令()0fx，解得1x．)(xf的单调递减区间为(,1)；单调递增区间为(1,0)，(0,)．…8分10当1a时，令()0fx，解得1x，或11xa．②当01a时，)(xf的单调递减区间为(,1)，1(,)1a；单调递增区间为(1,0)，1(0,)1a．……10分③当0a时，()fx为常值函数，不存在单调区间．……………11分④当0a时，)(xf的单调递减区间为(1,0)，1(0,)1a；单调递增区间为(,1)，1(,)1a．…………13分19.（本小题满分14分）（Ⅰ）解：由222222519abbeaa，得23ba.………2分依题意△12MBB是等腰直角三角形，从而2b，故3a.…………4分所以椭圆C的方程是22194xy.……5分（Ⅱ）解：设11(,)Axy，22(,)Bxy，直线AB的方程为2xmy.将直线AB的方程与椭圆C的方程联立，消去x得22(49)16200mymy.……7分所以1221649myym，1222049yym.……8分若PF平分APB，则直线PA，PB的倾斜角互补，所以0PBPAkk.…………9分设(,0)Pa，则有12120yyxaxa.将112xmy，222xmy代入上式，整理得1212122(2)()0(2)(2)myyayymyamya，11所以12122(2)()0myyayy.………………12分将1221649myym，1222049yym代入上式，整理得(29)0am.……………13分由于上式对任意实数m都成立，所以92a.综上，存在定点9(,0)2P，使PM平分APB.…………14分20.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：数列3:4,2,8A不能结束，各数列依次为2,6,4；4,2,2；2,0,2；2,2,0；0,2,2；2,0,2；…．从而以下重复出现，不会出现所有项均为0的情形．……2分数列4:1,4,2,9A能结束，各数列依次为3,2,7,8；1,5,1,5；4,4,4,4；0,0,0,0．……………3分（Ⅱ）解：3A经过有限次“T变换”后能够结束的充要条件是123aaa．……4分若123aaa，则经过一次“T变换”就得到数列0,0,0，从而结束．……5分当数列3A经过有限次“T变换”后能够结束时，先证命题“若数列3()TA为常数列，则3A为常数列”．当123aaa时，数列3122313():,,TAaaaaaa．由数列3()TA为常数列得122313aaaaaa，解得1