吉林省公主岭实验中学2013届高三上学期期末考试数学理试题高中数学练习试题

12012~2013学年第一学期高三期末考试数学试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。试卷满分150分，考试时间120分钟。注意事项：1．开始答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上。2．将选择题用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔将答案答在答题卡上对应的答题区域内。在试题卷上作答无效．．．．．．．．．。3．考生必须保持答题卡的整洁。第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。每题只有一个选项是最符合题意的。1．函数y＝1x－＋lnx的定义域为A．（0，＋∞）B．（－∞，1］C．（－∞，0）∪［1，＋∞）D．（0，1］2．数列{an}是由实数构成的等比数列，Sn＝a1＋a2＋…＋an，则数列{Sn}中A．任一项均不为0B．必有一项不为0C．至多有有限项为0D．或无一项为0，或有无穷多项为03．已知f(x)＝cos2x－1，则判断f(x)是A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为2π的奇函数C．最小正周期为π的偶函数D．最小正周期为2π的偶函数4．设全集U＝R，A＝{y｜y＝tanx，x∈B}，B＝{x｜｜x｜≤4}，则图中阴影部分表示的集合是A．［－1，1］B．［－4，4］2C．［－1，－4）∪（4，1］D．［－1，－4］∪［4，1］5．曲线y＝cosx（0≤x≤π）与坐标轴所围成的面积是A．0B．1C．2D．36．已知向量OB＝(2，0)，OC＝(2，2)，CA＝(－1，－3)，则OA和OB的夹角为A．4B．512C．3D．127．设变量x，y满足约束条件222yxxyx≥＋≤≥－，则z＝x－3y的最小值与最大值分别为A．－8，4B．－3，0C．－8，－3D．－3，48．如图所示，若向量e1、e2是一组单位正交向量，则向量2a＋b在平面直角坐标系中的坐标为A．（3，4）B．（2，4）C．（3，4）或（4，3）D．（4，2）或（2，4）9．已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝f(2－x)的图象是下图中的10．如图所示，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为棱A1A，BB1的中点，G为棱A1B1上的一点，且A1G＝λ（0≤λ≤1），则点G到平面D1EF的距离为A．3B．22C．23D．5511．已知正项等比数列{an}满足：a2012＝a2011＋2a2010，且nmaa＝4a1，则6(1m＋1n)的最小值为A．23B．2C．4D．6－2－1O12xy－1O12xy－2－1O1xy－1O12xy－2－1O1xyABCDBAD1C1A1B1EDFCG312．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，若f(x)在区间［1，a］（a＞2）上单调递增，且f(x)＞0，则以下不等式不一定成立的是A．f(a)＞f(0)B．f(12a＋)＞f(a)C．f(131aa－＋)＞f(－a)D．f(131aa－＋)＞f(－2)第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在答题卡上的相应位置。13．函数y＝x2(x－3)的递减区间是．14．已知函数f(x)＝log2[2sin(2x－π3)]，则满足f(x)＝0的x的取值范围是．15．如图所示，在正三棱锥A－BCD中，E，F分别为BD，AD的中点，EF⊥CF，则直线BD与平面ACD所成的角为．16．已知不等式︱a－2x︱＞x－1，对任意x∈［0，2］恒成立，则a的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。把答案填在答题卡上的相应位置。17．（本小题满分10分）设集合M＝{x︱x2－7x＋12≥0，x∈R}，N＝{x︱︱x＋1︱＜1}，Q＝{x︱x－a≥0}，令P＝M∩N．求：（1）求集合P．（2）若PQ，a的最大值．18．（本小题满分12分）设函数f(x)＝ax3－3x2＋bx，已知不等式()fxx＜0的解集是{x︱1＜x＜2}．（1）求a、b的值．（2）设函数g(x)＝2()fxx，x∈［1，2］，求函数y＝g(x)的最小值及对应的x值．19．（本小题满分12分）在等比数列{an}中，an＞0（n∈N*），公比q∈（0，1），且a3＋a5＝5，又a3与a5的等比中项为2．AFDECB4（1）求数列{an}的通项公式．（2）设bn＝222211(4log)(5log)nnaa，记数列{bn}的前n项和Sn，求证：Sn≤12．20．（本小题满分12分）已知a＝（cosα，sinα），b＝（cosβ，sinβ），且a与b之间满足关系：︱ka＋b︱＝3︱a－kb︱，其中k＞0．（1）用k表示a·b．（2）求a·b的最小值，并求此时a与b夹角θ的大小．21．（本小题满分12分）在Rt△AOB中，∠OAB＝π6，斜边AB＝4，Rt△AOC可以通过Rt△AOB以直线AO为轴旋转得到，且二面角B－AO－C为直二面角，D是AB的中点．（1）求证：平面COD⊥平面AOB．（2）求异面直线AO与CD所成角的大小．22．（本小题满分12分）设函数f(x)＝lnx－px＋1．（1）求函数f(x)的极值点．（2）当p＞0时，若对任意的x＞0，恒有f(x)≤0，求p的取值范围．（3）证明：2222222ln2ln3ln21232(1)nnnnn－－＋＋…＋＜＋（n∈N，n≥2）．52012－2013学年第一学期公主岭实验高中期末考试高三数学答案（理科）二、填空题：本大题共4小题，共20分。13．（0，2）14．{x︱x＝kπ＋7π24或x＝kπ＋13π24，k∈Z}15．45°16．（－∞，2）∪（5，＋∞）三、解答题：本大题共6小题，共70分。17．（10分）解：（1）x2－7x＋12≥0有：(x－3)(x－4)≥0……1分得到：x≤3或x≥4……2分∣x＋1∣＜1有：－1＜x＋1＜1……3分得到：－2＜x＜0．……4分所以M＝{x∣x≤3或x≥4}，N＝{x∣－2＜x＜0}……5分所以P＝M∩N＝N＝{x∣－2＜x＜0}．……7分（2）Q＝{x∣x≥a}……8分PQ，则a≤－2……9分故a的最大值为－2．……10分18．（12分）解：（1）∵不等式()fxx＜0的解集为{x∣1＜x＜2}，∴1和2是方程ax2－3x＋b＝0的根．……2分则12312baa＝＋＝，得：12ab＝＝．……6分（2）函数22()322()3fxxxgxxxxx－＋＝＝＝＋－≥22－3……10分当且仅当x＝2时取“＝”号．注意到2∈［1，2］，……11分所以函数y＝g(x)的最小值是22－3，对应x的值是2．……12分6∴Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝12(1－13＋13－15＋…＋112121nn－－＋)＝12(1－121n＋)≤12．.……12分20．（12分）解：∵︱ka＋b︱＝3︱a－kb︱两边平方，得：︱ka＋b︱2＝3︱a－kb︱2∴k2a2＋b2＋2ka·b＝3(a2－2ka·b＋k2b2)即a·b＝2222(3)(31)8kkk－＋－ab．∵a＝（cosα，sinα），b＝（cosβ，sinβ），∴a2＝1，b2＝1，∴a·b＝214kk＋．……6分（2）∵k＞0，∴(k－1)2≥0，从而k2＋1≥2k，214kk＋≥24kk≥12，∴a·b的最小值为12，此时cosθ＝abab＝12，θ＝60°，即a与b夹角为60°．……12分21．（12分）（1）证明：∵AO⊥BO，AO⊥CO，∴∠BOC为二面角B－AO－C的平面角，……2分∠BOC＝90°，∴CO⊥BO，∴CO⊥平面AOB，又CO⊂平面COD．∴平面COD⊥平面AOB．……5分（2）解：取OB的中点E，连结DE，由于D为AB的中点，∴DE∥OA，∴DE⊥BO，∠CDE为AO与CD所成的角，……7分由于AO⊥CO，AO⊥BO，∴AO⊥平面BOC，∴DE⊥平面BOC，又CE⊂平面BOC，∴DE⊥CE．……9分又∠OAB＝π6，故有，OB＝OC＝2，AO＝23，DE＝12AO＝3，OE＝1，∴CE＝22OCOE＋＝5，∴tan∠CDE＝53CEDE＝＝153，则异面直线AO与CD所成角的大小为arctan153．……12分22．（12分）解：（1）∵f(x)＝lnx－px＋1，∴f(x)的定义域为（0，＋∞）．f′(x)＝1x－p＝1pxx－．……2分当p≤0时，f′(x)＞0，f(x)在（0，＋∞）上无极值点．当p＞0时，令f′(x)＝0，∴x＝1p∈（0，＋∞），f′(x)、f(x)随x的变化情况如下表：x（0，1p）1p（1p，＋∞）f′(x)＋0－f(x)↗极大值↘从上表可以看出：当p＞0时，f(x)有唯一的极大值点x＝1p．……4分BAOCDE7（2）当p＞0时，在x＝1p处取得极大值f(1p)＝ln1p，此极大值也是最大值，要使f(x)≤0恒成立，只需f(1p)＝ln1p≤0，∴p≥1，∴p的取值范围为［1，＋∞）．……6分（3）令p＝1，由（2）知，lnx－x＋1≤0，∴lnx≤x－1，∵n∈N，n≥2，∴lnn2≤n2－1，∴22222ln111nnnnn－≤＝－，……8分