吉林省白山市20182019学年高二上学期期末联考数学理试卷

吉林省白山市2018-2019学年高二上学期期末联考数学（理）试卷（解析版）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.命题“∀𝑥1，𝑥2−𝑥0”的否定是()A.∃𝑥0≤1，𝑥02−𝑥00B.∃𝑥01，𝑥02−𝑥0≤0C.∀𝑥1，𝑥2−𝑥≤0D.∀𝑥≤1，𝑥2−𝑥0【答案】B【解析】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“∀𝑥1，𝑥2−𝑥0”的否定是：∃𝑥01，𝑥02−𝑥0≤0．故选：B．利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基本知识的考查．2.椭圆点𝑥26+𝑦28=1的离心率为()A.12B.14C.13D.√33【答案】A【解析】解：椭圆点𝑥26+𝑦28=1，可得𝑎=2√2，𝑏=√𝑏，𝑐=√2，可得𝑒=𝑐𝑎=√22√2=12．故选：A．求出椭圆的长半轴以及半焦距的大小，然后求解离心率即可．本题考查椭圆的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．3.过点𝑃(3,4)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线有()A.0条B.1条C.2条D.3条【答案】C【解析】解：设直线在x、y轴上的截距分别为a和−𝑎(𝑎≠0)，则直线l的方程为𝑥𝑎−𝑦𝑎=1，∵直线过点𝐴(3,4)，∴3𝑎−4𝑎=1，解得：𝑎=−1，此时直线l的方程为𝑥−𝑦+1=0；当𝑎=0时，直线过原点，设直线方程为𝑦=𝑘𝑥，过点𝐴(3,4)，此时直线l的方程为𝑦=43𝑥，即4𝑥−3𝑦=0；综上，直线l的方程有2条．故选：C．过点A且在x、y轴上的截距互为相反数的直线有2条，分别求出即可．本题考查了直线的截距式方程应用问题，容易疏忽过原点的情况，是基础题．4.已知双曲线C：𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(𝑎0,𝑏0)的一条渐近线的斜率为34，焦距为10，则双曲线C的方程为()A.𝑥232−𝑦218=1B.𝑥23−𝑦24=1C.𝑥29−𝑦216=1D.𝑥216−𝑦29=1【答案】D【解析】解：∵焦距为10，𝑐=5，∴曲线的焦点坐标为(±5,0)，∵双曲线C：𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(𝑎0,𝑏0)的一条渐近线的斜率为34，∴𝑏𝑎=34，25=𝑎2+𝑏2，解得𝑎=4，𝑏=3，所求的双曲线方程为：𝑥216−𝑦29=1．故选：D．利用双曲线的渐近线的斜率，转化求出双曲线实半轴与虚半轴的长，即可得到双曲线方程．本题考查椭圆与双曲线的简单性质的应用，双曲线方程的求法，考查计算能力．5.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A.6B.8C.10D.12【答案】C【解析】解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为组合体，下半部分为正方体，棱长为2，上半部分为直三棱柱，高为2，底面是等腰直角三角形，直角边长为√2，则该几何体的体积𝑉=2×2×2+12×√2×√2×2=10．故选：C．由三视图还原原几何体，该几何体为组合体，下半部分为正方体，棱长为2，上半部分为直三棱柱，高为2，底面是等腰直角三角形，直角边长为√2，再由正方体与棱柱的体积公式求解．本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．6.“𝑚=−3”是“直线(𝑚+1)𝑥+𝑦+1=0与直线2𝑥+(𝑚+2)𝑦+2=0互相平行”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】解：直线(𝑚+1)𝑥+𝑦+1=0与直线2𝑥+(𝑚+2)𝑦+2=0互相平行，∴(𝑚+1)(𝑚+2)−1×2=0，∴𝑚(𝑚+3)=0解得𝑚=−3或𝑚=0，故𝑚=−3”是“直线(𝑚+1)𝑥+𝑦+1=0与直线2𝑥+(𝑚+2)𝑦+2=0互相平行”的充分不必要条件，故选：A．根据直线平行的等价，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据直线平行的等价条件求出m是解决本题的关键．7.在正方体𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1中，M，N分别为AD，𝐶1𝐷1的中点，O为侧面𝐵𝐶𝐶1𝐵1的中心，则异面直线MN与𝑂𝐷1所成角的余弦值为()A.16B.14C.−16D.−14【答案】A【解析】解：如图，以D为坐标原点，分别以DA，DC，𝐷𝐷1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为2，则𝑀(1,0，0)，𝑁(0,1，2)，𝑂(1,2，1)，𝐷1(0,0，2)，∴𝑀𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(−1,1,2)，𝑂𝐷1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(−1,−2,1)．则cos𝑀𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗,𝑂𝐷1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝑀𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝑂𝐷1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|𝑀𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|⋅|𝑂𝐷1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=1√6×√6=16．∴异面直线MN与𝑂𝐷1所成角的余弦值为16．故选：A．以D为坐标原点，分别以DA，DC，𝐷𝐷1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，求出𝑀𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗,𝑂𝐷1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗的坐标，由数量积求夹角公式求解．本题考查利用空间向量求解异面直线所成角，关键是正确标出所用点的坐标，是中档题．8.已知直线l：(𝑎−1)𝑥+2𝑎𝑦+𝑎+1=0(𝑎∈𝑅)，圆C：(𝑥−2)2+(𝑦−1)2=9，则下列说法正确的是()A.l与C可能相切或相交B.l与C可能相离或相切C.l与C一定相交D.l与C可能相交或相离【答案】C【解析】解：由直线l：(𝑎−1)𝑥+2𝑎𝑦+𝑎+1=0(𝑎∈𝑅)可得：𝑎(𝑥+2𝑦+1)−(𝑥−1)=0，由{𝑥−1=0𝑥+2𝑦+1=0可得该直线所过的定点为(1,−1)，检验可知，该点在圆内，故选：C．由直线系方程可得直线所过定点，检验可得点在圆内，故一定相交．此题考查了直线与圆的位置关系，难度不大．9.已知直线𝑦=−√3(𝑥−2)与抛物线C：𝑦2=2𝑝𝑥(𝑝0)的准线相交于M，与C的其中一个交点为N，若线段MN的中点在x轴上，则𝑝=()A.2B.4C.2√3D.4√3【答案】B【解析】解：直线𝑦=−√3(𝑥−2)与x轴的交点为𝑇(2,0)，由抛物线的准线方程𝑥=−𝑝2，可得𝑀(−𝑝2,√3(2+𝑝2))，由T为MN的中点，可得𝑁(4+𝑝2,−√3(2+𝑝2))，代入抛物线的方程可得3(2+𝑝2)2=2𝑝(4+𝑝2)，化为𝑝2+8𝑝−48=0，解得𝑝=4(−12舍去)，故选：B．求得直线与x轴的交点𝑇(2,0)，以及抛物线的准线方程，可得M的坐标，由中点坐标公式可得N的坐标，代入抛物线方程可得p的方程，解方程可得p的值．本题考查抛物线的方程和运用，同时考查中点坐标公式，考查方程思想和运算能力，属于基础题．10.在三棱锥𝑃−𝐴𝐵𝐶中，𝑃𝐶⊥底面ABC，∠𝐵𝐴𝐶=90∘，𝐴𝐵=𝐴𝐶=4，∠𝑃𝐵𝐶=60∘，则点C到平面PAB的距离是()A.3√427B.4√427C.5√427D.6√427【答案】B【解析】解：∵在三棱锥𝑃−𝐴𝐵𝐶中，𝑃𝐶⊥底面ABC，∠𝐵𝐴𝐶=90∘，𝐴𝐵=𝐴𝐶=4，∠𝑃𝐵𝐶=60∘，∴以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，过A作平面ABC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，则𝐶(0,4，0)，𝑃(0,4，4√6)，𝐴(0,0，0)，𝐵(4,0，0)，𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=(0,4，0)，𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=(4,0，0)，𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=(0,4，4√6)，设平面PAB的法向量𝑛⃗⃗=(𝑥,y，𝑧)，则{𝑛⃗⃗⋅𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=4𝑦+4√6𝑧=0𝑛⃗⃗⋅𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=4𝑥=0，取𝑧=1，得𝑛⃗⃗=(0,−√6,1)，∴点C到平面PAB的距离𝑑=|𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝑛⃗⃗||𝑛⃗⃗|=4√6√7=4√427．故选：B．以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，过A作平面ABC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点C到平面PAB的距离．本题考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．11.点P在椭圆𝐶1：𝑥24+𝑦23=1上，𝐶1的右焦点为F，点Q在圆𝐶2：𝑥2+𝑦2+6𝑥−8𝑦+21=0上，则|𝑃𝑄|−|𝑃𝐹|的最小值为()A.4√2−4B.4−4√2C.6−2√5D.2√5−6【答案】D【解析】解：点P在椭圆𝐶1：𝑥24+𝑦23=1上，𝐶1的右焦点为𝐹(1,0)，左焦点𝐸(−1,0)，如图：圆𝐶2：𝑥2+𝑦2+6𝑥−8𝑦+21=0上，可得：(𝑥+3)2+(𝑦−4)2=4，圆心坐标(−3,4)，半径为2．由椭圆的定义可得：|𝑃𝐸|+|𝑃𝐹|=2𝑎=4，|𝑃𝐹|=4−|𝑃𝐸|，则|𝑃𝑄|−|𝑃𝐹|=|𝑃𝑄|+|𝑃𝐸|−4，由题意可得：|𝑃𝑄|−|𝑃𝐹|的最小值为：|𝑃𝑄|−|𝑃𝐹|=|𝑃𝑄|+|𝑃𝐸|−4=|𝐶2𝐸|−2−4=√(−3+1)2+(4−0)2−6=2√5−6，故选：D．利用椭圆方程求出焦点坐标，求出圆的圆心与半径，利用椭圆的定义，转化求解距离的最小值即可．本题考查椭圆的简单性质的应用，椭圆与圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力．12.设双曲线M：𝑦2𝑎2−𝑥2𝑏2=1(𝑎0,𝑏0)的上顶点为A，直线𝑦=√𝑎2+𝑏2与M交于B，C两点，过B，C分别作AC，AB的垂线交于点D若D到点(0,2√𝑎2+𝑏2)的距离不超过8√𝑎2+𝑏2−7𝑎，则M的离心率的取值范围是()A.[√7+1,+∞)B.[√7−1,+∞)C.(1,√7+1]D.(1,√7−1]【答案】D【解析】解：记𝑐=√𝑎2+𝑏2，由题意可得𝐵(𝑏2𝑎,𝑐)，𝐶(−𝑏2𝑎,𝑐)，由双曲线的对称性可知D点在y轴上，设𝐷(0,𝑡)，则𝑐−𝑡𝑏2𝑎−0×𝑐−𝑎−𝑏2𝑎−0=−1，则𝑡=𝑐−𝑏4𝑎2(𝑐−𝑎)=𝑐−(𝑐+𝑎)2(𝑐−𝑎)𝑎2，∴2𝑐−[𝑐−(𝑐+𝑎)2(𝑐−𝑎)𝑎2]≤8√𝑎2+𝑏2−7𝑎=8𝑐−7𝑎，∴(𝑐+𝑎)2(𝑐−𝑎)𝑎2≤7(𝑐−𝑎)，∴𝑐2+2𝑎𝑐+𝑎2≤7𝑎2，即𝑒2+2𝑒−6≤0，解得−1−√7≤𝑒≤−1+√7，∵𝑒1，∴𝑒∈(1,√7−1]，故选：D．求出双曲线的渐近线方程，令𝑥=𝑐，求得B，C的坐标，由双曲线的对称性知D在x轴上，设𝐷(0,𝑡)，则𝑐−𝑡𝑏2𝑎−0×𝑐−𝑎−𝑏2𝑎−0=−1，利用D到直线BC的距离不超过8√𝑎2+𝑏2−7𝑎，建立不等式关系，结合双曲线离心率的定义，即可得出结论本题考查双曲线的方程和性质，考查三角形的垂心的概念，以及两直线垂直的条件：斜率之积为−1，考查运算能力，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.抛物线𝑥2=4√3𝑦的焦点坐标为______．【答案】(0,√3)【解析】解：抛物线𝑥2=4√3𝑦的焦点坐标(0,√3).故答案为：(0,√3).直接利用抛物线的标准方程求解焦点坐标．本题考查抛物线的简单性质的应用，是基本知识的考查．14.命题“当𝑐0时，若𝑎𝑏，则𝑎𝑐𝑏𝑐.”的逆命题是______．【答案】当𝑐0时，若𝑎𝑐𝑏𝑐，则𝑎𝑏【解析】解：命题“当𝑐0时，若𝑎𝑏，则𝑎𝑐𝑏𝑐.”的逆命题是当𝑐0时，若𝑎𝑐𝑏𝑐，则𝑎𝑏，故答案为：当𝑐0时，若𝑎𝑐𝑏𝑐，则𝑎𝑏根据原命题是若P，则Q，它的逆命题是若Q，则P，