四川省20182019学年眉山市高一上学期期末考试数学试题

四川省眉山市2018-2019学年高一上学期期末考试数学试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知全集𝑈={1,2，3，4，5}，集合𝑀={4,5}，则∁𝑈𝑀=()A.{5}B.{4,5}C.{1,2，3}D.{1,2，3，4，5}【答案】C【解析】解：∵全集𝑈={1,2，3，4，5}，集合𝑀={4,5}，∴∁𝑈𝑀={1,2，3}．故选：C．根据补集的定义求出M补集即可．此题考查了补集及其运算，熟练掌握补集的定义是解本题的关键．2.计算：21𝑔2+1𝑔25=()A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】解：21𝑔2+1𝑔25=lg4+lg25=lg100=2．故选：B．利用对数的性质、运算法则直接求解．本题考查对数式化简求值，考查对数的性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.已知角𝛼的顶点与平面直角坐标系的原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点𝑃(12,√32)，则sin𝛼的值是()A.12B.√33C.√3D.√32【答案】D【解析】解：角𝛼的顶点与平面直角坐标系的原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点𝑃(12,√32)，则sin𝛼=√32，故选：D．由题意利用任意角的三角函数的定义，求得sin𝛼的值．本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．4.函数𝑓(𝑥)=1−2sin22𝑥是()A.偶函数且最小正周期为𝜋2B.奇函数且最小正周期为𝜋2C.偶函数且最小正周期为𝜋D.奇函数且最小正周期为𝜋【答案】A【解析】解：由题意可得：𝑓(𝑥)=cos4𝑥，所以该函数图象关于y轴对称，属于偶函数，且周期为𝑇=2𝜋4=𝜋2．故选：A．先将函数运用二倍角公式化简为𝑦=𝐴sin(𝜔𝑥+𝜑)的形式，再利用正弦函数的性质可得答案．本题主要考查三角函数的奇偶性和最小正周期的求法.一般都要把三角函数化简为𝑦=𝐴sin(𝜔𝑥+𝜑)的形式再解题．5.设𝑎∈{−1,0，12，1，2，3}，则使函数𝑦=𝑥𝑎的定义域为R且为奇函数的所有a的值有()A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】B【解析】解：当𝑎=−1时，𝑦=𝑥−1的定义域是{𝑥|𝑥≠0}，且为奇函数，不符合题意；当𝑎=0时，函数𝑦=𝑥0的定义域是{𝑥|𝑥≠0}且为偶函数，不符合题意；当𝑎=12时，函数𝑦=𝑥12的定义域是{𝑥|𝑥≥0}且为非奇非偶函数，不符合题意；当𝑎=1时，函数𝑦=𝑥的定义域是R且为奇函数，满足题意；当𝑎=2时，函数𝑦=𝑥2的定义域是R且为偶函数，不符合题意；当𝑎=3时，函数𝑦=𝑥3的定义域是R且为奇函数，满足题意；∴满足题意的𝛼的值为1，3．故选：B．分别验证𝑎=−1，0，12，1，2，3知当𝑎=1或𝑎=3时，函数𝑦=𝑥𝑎的定义域是R且为奇函数．本题考查幂函数的性质和应用，解题时要熟练掌握幂函数的概念和性质，属于基础题．6.设集合𝐴={𝑥|0𝑥2019}，𝐵={𝑥|𝑥𝑎}，若𝐴⊆𝐵，则实数a的取值范围是()A.{𝑎|𝑎≤0}B.{𝑎|0𝑎≤2019}C.{𝑎|𝑎≥2019}D.{𝑎|0𝑎2019}【答案】C【解析】集合𝐴={𝑥|0𝑥2019}，𝐵={𝑥|𝑥𝑎}，因为𝐴⊆𝐵，所以𝑎≥2019；故选：C．根据A与B的子集关系，借助数轴求得a的范围．此题考查了子集及其运算，属于简单题．7.为了得到函数𝑦=3sin(2𝑥−𝜋3)的图象，只需把函数𝑦=3sin2𝑥的图象上所有的()A.向左平移𝜋3个单位长度B.向左平移𝜋6个单位长度C.向右平移𝜋3个单位长度D.向右平移𝜋6个单位长度【答案】D【解析】解：由𝑦=3sin(2𝑥−𝜋3)=3sin2(𝑥−𝜋6)，即把函数𝑦=3sin2𝑥的图象向右平移𝜋6个单位长度可得到函数𝑦=3sin(2𝑥−𝜋3)的图象，故选：D．由三角函数图象的平移可得：把函数𝑦=3sin2𝑥的图象向右平移𝜋6个单位长度可得到函数𝑦=3sin(2𝑥−𝜋3)的图象，得解．本题考查了三角函数图象的平移，属简单题．8.函数𝑦=sin(𝜔𝑥+𝜑)的部分图象如图，则𝜔，𝜑可以取的一组值是()A.𝜔=𝜋2,𝜑=𝜋4B.𝜔=𝜋3,𝜑=𝜋6C.𝜔=𝜋4,𝜑=5𝜋4D.𝜔=𝜋4,𝜑=𝜋4【答案】D【解析】解：∵𝑇4=3−1=2，∴𝑇=8，𝜔=𝜋4，又由𝜋4×1+𝜑=𝜋2得𝜑=𝜋4．故选：D．由图象可知𝑇/4=3−1=2，可求出𝜔，再由最大值求出𝜑．本题考查函数𝑦=sin(𝜔𝑥+𝜙)的部分图象求解析式，由最值与平衡位置确定周期求𝜔，由最值点求𝜑的方法．9.已知定义在R上的函数𝑓(𝑥)的图象是连续不断的，且有如下对应值表：x123f(𝑥)6.12.9−3.5那么函数𝑓(𝑥)一定存在零点的区间是()A.(−∞,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,+∞)【答案】C【解析】解：由于𝑓(2)0，𝑓(3)0，根据函数零点的存在定理可知故函数f(𝑥)在区间(2,3)内一定有零点，其他区间不好判断．故选：C．利用函数零点的存在定理进行函数零点所在区间的判断，关键要判断函数在相应区间端点函数值的符号，如果端点函数值异号，则函数在该区间有零点．本题考查函数零点的判断方法，关键要弄准函数零点的存在定理，把握好函数在哪个区间的端点函数值异号．10.设函数𝑓(𝑥)={1−log3𝑥,𝑥131−𝑥,𝑥≤1，则满足𝑓(𝑥)≤3的x的取值范围是()A.[0,+∞)B.[19,3]C.[0,3]D.[19,+∞)【答案】A【解析】解：∵函数𝑓(𝑥)={1−log3𝑥,𝑥131−𝑥,𝑥≤1，则由𝑓(𝑥)≤3可得{31−𝑥≤3𝑥≤1①，或{1−log3𝑥≤3𝑥1②．解①可得0≤𝑥≤1，解②可得𝑥1，综合可得x的取值范围是[0,+∞)，故选：A．由题意可得{31−𝑥≤3𝑥≤1①，或{1−log3𝑥≤3𝑥1②，分别求得①、②的解集，再取并集，即得所求．本题主要考查分段函数的应用，指数函数、对数函数的性质，指数不等式、对数不等式的解法，属于基础题．11.同时具有性质“周期为𝜋，图象关于直线𝑥=𝜋3对称，在[−𝜋6,𝜋3]上是增函数”的函数是()A.𝑦=sin(𝑥2+𝜋6)B.𝑦=cos(2𝑥+𝜋3)C.𝑦=cos(2𝑥−𝜋6)D.𝑦=sin(2𝑥−𝜋6)【答案】D【解析】解：𝐴.函数的周期𝑇=2𝜋12=4𝜋，不满足条件．B.函数的周期𝑇=𝜋，当𝑥=𝜋3时，𝑦=sin(𝜋32+𝜋6)=sin𝜋3≠±1，则函数关于𝑥=𝜋3不对称，不满足条件．C.函数的周期𝑇=𝜋，当𝑥=𝜋3时，𝑦=cos(2𝜋3−𝜋6)=cos𝜋2=0，则函数关于(𝜋3,0)对称，不满足条件．D.函数的周期𝑇=𝜋，当𝑥=𝜋3时，𝑦=sin(2𝜋3−𝜋6)=sin𝜋2=1，该函数关于关于直线𝑥=𝜋3对称，在[−𝜋6,𝜋3]上是增函数，满足条件．故选：D．根据函数周期性，对称性和单调性的性质进行判断即可．本题主要考查三角函数的性质，根据三角函数的周期性对称性和单调性的性质是解决本题的关键．12.已知奇函数𝑓(𝑥)的定义域为{𝑥|𝑥≠0}，当𝑥0时，𝑓(𝑥)=𝑥2+3𝑥+𝑎，若函数𝑔(𝑥)=𝑓(𝑥)−𝑥的零点恰有两个，则实数a的取值范围是()A.𝑎0B.𝑎≤0C.𝑎1D.𝑎≤0或𝑎=1【答案】A【解析】解：∵𝑓(𝑥)是奇函数，∴𝑔(𝑥)=𝑓(𝑥)−𝑥是奇函数，∵𝑔(𝑥)恰好有两个零点，∴𝑔(𝑥)在(0,+∞)上只有1个零点．当𝑥0时，𝑔(𝑥)=𝑥2+2𝑥+𝑎，∴𝑔(𝑥)在(0,+∞)上单调递增，∴𝑔(0)=𝑎0．故选：A．利用奇偶性可知𝑔(𝑥)在(0,+∞)上只有1个零点，根据𝑔(𝑥)在(0,+∞)上的单调性即可列出不等式，求出a的范围．本题考查了函数零点与函数单调性的关系，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.函数𝑓(𝑥)=√4−𝑥+lg(𝑥−1)的定义域为______．【答案】(1,4]【解析】解：要使函数有意义，则{𝑥−104−𝑥≥0，即{𝑥1𝑥≤4，∴1𝑥≤4．即函数𝑓(𝑥)的定义域为(1,4]．故答案为：(1,4]．根据函数的解析式，列出不等式组{𝑥−104−𝑥≥0，求出解集即可．本题考查了根据函数的解析式求定义域的应用问题，是基础题．14.若tan𝛼=3，则sin2𝛼cos2𝛼的值等于______．【答案】6【解析】解：∵tan𝛼=3，sin2𝛼cos2𝛼=2sin𝛼⋅cos𝛼cos2𝛼=2tan𝛼=6，故答案为：6．由于tan𝛼=3，将sin2𝛼cos2𝛼化简为2tan𝛼，问题解决了．本题考查同角三角函数间的基本关系，将sin2𝛼cos2𝛼化简为2tan𝛼是关键，属于基础题．15.设定义在R上的函数𝑓(𝑥)的周期为3𝜋2，当0≤𝑥≤𝜋时，𝑓(𝑥)=cos𝑥，则𝑓(−5𝜋6)=______．【答案】−12【解析】解：定义在R上的函数𝑓(𝑥)的周期为3𝜋2，则：𝑓(𝑥+3𝜋2)=𝑓(𝑥)，当0≤𝑥≤𝜋时，𝑓(𝑥)=cos𝑥，故：𝑓(−5𝜋6)=𝑓(3𝜋2−5𝜋6)=𝑓(2𝜋3)=cos2𝜋3=−12．故答案为：−12．直接利用函数的性质求出结果．本题考查的知识要点：函数的性质的应用．16.将甲桶中的a升水缓慢注入空桶乙中，t秒后甲桶剩余的水量符合指数衰减曲线𝑦=𝑎𝑒𝑛𝑡，假设过5秒后甲桶和乙桶的水量相等，若再过m秒甲桶中的水只有𝑎4升，则m的值为______．【答案】5【解析】解：5秒后甲桶和乙桶的水量相等，∴函数𝑦=𝑓(𝑡)=𝑎𝑒𝑛𝑡满足𝑓(5)=𝑎𝑒5𝑡=12𝑎，即5𝑡=ln12，得𝑛=15ln12，当k秒后甲桶中的水只有𝑎4升，即𝑓(𝑘)=𝑎4，即15ln12⋅𝑘=ln14=2ln12，即𝑘=10，经过了𝑘−5=10−5=5秒，即𝑚=5，故答案为：5．根据5秒后甲桶和乙桶的水量相等，得到n的值，由𝑓(𝑘)=𝑎4建立关于k的方程，结合对数恒等式进行求解即可．本题主要考查函数的应用问题，结合指数幂和对数的运算法则是解决本题的关键.本题的难点在于正确读懂题意．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知cos𝜃=1213，𝜃∈(𝜋,2𝜋)，求sin(𝜃−𝜋6)以及tan(𝜃+𝜋4)的值．【答案】解：∵cos𝜃=1213，𝜃∈(𝜋,2𝜋)，∴sin𝜃=−513，tan𝜃=−512，∴sin(𝜃−𝜋6)=sin𝜃cos𝜋6−cos𝜃sin𝜋6=−513×√32−1213×12=−5√3+1226；tan(𝜃+𝜋4)=tan𝜃+tan𝜋41−tan𝜃⋅tan𝜋4=−512+11−(−512)×1=717．【解析】利用同角三角函数的基本关系式及其两角和差的正弦、正切公式即可得出．熟练掌握同角三角函数的基本关系式及其两角和差的正弦、正切公式是解题的关键．18.已知函数𝑓(𝑥)=2sin𝑥cos𝑥+cos2𝑥−sin2𝑥.(1)求函数𝑓(𝑥)的最小正周期和单调递减区间；(2)求函数𝑓(𝑥)的最大值及取得最大值时x的取值集合．【答案】解：(1)𝑓(𝑥)=2sin𝑥cos𝑥+cos2𝑥−sin2𝑥=sin2𝑥+cos2𝑥=√2sin(2𝑥+𝜋4)，则函数的周期𝑇=2�