四川省崇庆中学20132014学年高二数学上学期期中试题理新人教A版高中数学练习试题

1崇庆中学高2015级高二上期半期考试试题理科一．选择题1.集合,,,,,U，,,S,,,T,则)(TCSU等于（B）（A）,,,(B),(C)(D),,,,2.已知a是第二象限角,5sin,cos13aa则（A）A．1213B．513C．513D．12133.设l为直线,,是两个不同的平面,下列命题中正确的是（B）A．若//l,//l,则//B．若l,l,则//C．若l,//l,则//D．若,//l,则l4.设首项为1,公比为23的等比数列{}na的前n项和为nS,则(D)A．21nnSaB．32nnSaC．43nnSaD．32nnSa5.根据下列算法语句,当输入x为60时,输出y的值为(C)A．25B．30C．31D．616.某三棱锥的三视图如图2所示,则该三棱锥的体积是(B)图21俯视图侧视图正视图21输入xIfx≤50Theny=0.5*xElsey=25+0.6*(x-50)EndIf输出y2A．16B．13C．23D．17.已知二面角l的大小为050，P为空间中任意一点，则过点P且与平面和平面所成的角都是025的直线的条数为（B）A．2B．3C．4D．58.设A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足0ACAB，0ADAC，0ADAB，则△BCD是（C）A．钝角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.不确定9.已知三棱柱111ABCABC的6个顶点都在球O的球面上,若34ABAC，,ABAC,112AA,则球O的半径为（C）A．3172B．210C．132D．31010.已知函数()yfx的周期为2,当[0,2]x时,2()(1)fxx,如果gxfx5log1x，则函数ygx的所有零点之和为（D）A．2B．4C．6D．8二．填空题11.定点P不在△ABC所在平面内，过P作平面α，使△ABC的三个顶点到α的距离相等，这样的平面共有___4____个12.在ABC中,角,,ABC所对边长分别为,,abc,若2222abc,则cosC的最小值为____12____.13.已知直二面角α－l－β，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，点B∈β，BD⊥l，D为垂足．若AB＝2，AC＝BD＝1，则CD＝___2_____14.直线a是平面α的斜线，b在平α内，已知a与b成60°的角，且b与a在平α内的射影成45°角时，a与α所成角的大小是__45°______.15.已知三个球的半径1R，2R，3R满足32132RRR，则它们的表面积1S，2S，3S，满足的等量关系是__12323SSS_________.三．题解答316.等差数列na中,71994,2,aaa(I)求na的通项公式;(II)设1,.nnnnbbnSna求数列的前项和【答案】(Ⅰ)设等差数列{}na的公差为d,则1(1)naand因为719942aaa,所以11164182(8)adadad.解得,111,2ad.所以{}na的通项公式为12nna.1222(1)1nnbnannnn,所以2222222()()()122311nnSnnn.17.在△ABC中,角A,B,C对应的边分别是a,b,c.已知cos23cos()1ABC.(Ⅰ)求角A的大小;(Ⅱ)若△ABC的面积53S,5b,求sinsinBC的值.【答案】(Ⅰ)由cos23cos()1ABC,得22cos3cos20AA,即(2cos1)(cos2)0AA,解得1cos2A或cos2A(舍去).因为0πA,所以π3A.(Ⅱ)由1133sin53,2224SbcAbcbc得20bc.又5b,知4c.由余弦定理得2222cos25162021,abcbcA故21a.又由正弦定理得222035sinsinsinsinsin2147bcbcBCAAAaaa.18.如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，E、F分别为PC、BD的中点，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA＝PD＝22AD.(1)求证：EF∥平面PAD；(2)求证：平面PAB⊥平面PCD.【答案】证明(1)连接AC，则F是AC的中点，E为PC的中点，4故在△CPA中，EF∥PA，∴EF∥平面PAD.(2)∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，又∵CD⊥AD，∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥PA.又PA＝PD＝22AD，∴△PAD是等腰直角三角形，且∠APD＝π2，即PA⊥PD.又∵CD∩PD＝D，∴PA⊥平面PCD.又∵PA⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面PCD.19.如图，在△ABC中，∠ABC=60，∠BAC90，AD是BC上的高，沿AD把△ABD折起，使∠BDC90．（Ⅰ）证明：平面ADB⊥平面BDC；（Ⅱ）设E为BC的中点，求异面直线AE与BD夹角的余弦值．解：（Ⅰ）∵折起前AD是BC边上的高，∴当△ABD折起后，AD⊥DC，AD⊥DB，又DB∩DC=D，∴AD⊥平面BDC，∵AD平面ABD，∴平面ABD⊥平面BDC．（Ⅱ）由∠BDC90及（1）知DA，DB，DC两两垂直，不妨设|DB|=1，以D为坐标原点，以DB，DC，DA所在直线为,,xyz轴建立如图5所示的空间直角坐标系，易得：D(0,0,0),B(1,0,0),由△ABD∽△CBA得CD=3，AC=23,∴C(0,3,0),A(0,0,3),E(12,32,0)，所以13(,,3)22AE，(1,0,0)DB，∴1222cos,222214AEDBAEDBAEDB所以AE与BD夹角的余弦值是2222．20．如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD.(Ⅰ)证明：PA⊥BD；(Ⅱ)若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值.解：（Ⅰ）因为60,2DABABAD,由余弦定理得3BDAD从而BD2+AD2=AB2，故BDAD;又PD底面ABCD，可得BDPD所以BD平面PAD.故PABD（Ⅱ）如图，以D为坐标原点，AD的长为单位长，射线DA为x轴的正半轴射线DB为y轴的正半轴，射线DP为z轴的正半轴，建立空间直角坐标系D-xyz，zxPCBADy6则1,0,0A,03,0B，,1,3,0C,0,0,1P.(1,3,0),(0,3,1),(1,0,0)ABPBBCuuuvuuvuuuv设平面PAB的法向量为n=（x,y,z），则00nABnPB,即3030xyyz因此可取n=(3,1,3)设平面PBC的法向量为m，则00mPBmBC可取m=（0，-1，3），427cos.727m,n故二面角A-PB-C的余弦值为277.21.若圆C过点P(1,1)，且与圆M：(x＋2)2＋(y＋2)2＝r2(r0)关于直线x＋y＋2＝0对称．(1)求圆C的方程；(2)设Q为圆C上的一个动点，求PQ·MQ的最小值；(3)过点P作两条相异直线分别与圆C相交于A、B，且直线PA与直线PB的倾斜角互补．O为坐标原点，试判断直线OP和AB是否平行？请说明理由．【答案】.解：(1)设圆心C(a，b)，则a－22＋b－22＋2＝0，b＋2a＋2＝1，解得a＝0，b＝0.则圆C的方程为x2＋y2＝r2.将点P的坐标代入得r2＝2，故圆C的方程为x2＋y2＝2.(2)设Q(x，y)，则x2＋y2＝2，且PQ·MQ＝(x－1，y－1)(x＋2，y＋2)＝x2＋y2＋x＋y－4＝x＋y－2，所以PQ·MQ的最小值为－4(可由线性规划或三角代换求得)．(3)由题意知，直线PA和直线PB的斜率存在，且互为相反数，故可设PA：y－1＝k(x－1)，PB：y－1＝－k(x－1)，7由y－1＝kx－1，x2＋y2＝2，得(1＋k2)x2＋2k(1－k)x＋(1－k)2－2＝0，因为点P的横坐标x＝1一定是该方程的解，故可得xA＝k2－2k－11＋k2.同理，xB＝k2＋2k－11＋k2，所以kAB＝yB－yAxB－xA＝－kxB－－kxA－xB－xA＝2k－kxB＋xAxB－xA＝1＝kOP，所以，直线AB和OP一定平行．