天津市天津一中1112学年高二数学上学期期中考试试题理高中数学练习试题

-1-ABCSEF天津一中2011—2012学年第一学期期中高二数学试卷(理科)一、选择题（每题3分，共30分）1．如图是一个几何体的三视图，侧视图与正视图均为矩形，俯视图为正三角形，尺寸如图，则该几何体的侧面积为（）A．6B．123C．24D．32．已知正方体的外接球的体积为323π，则该正方体的表面积为（）A．433B．163C．643D．323．一个三棱锥，如果它的底面是直角三角形，那么它的三个侧面（）A．至多只能有一个是直角三角形B．至多只能有两个是直角三角形C．可能都是直角三角形D．必然都是非直角三角形4．对于平面和直线l，内至少有一条直线与直线l（）A．平行B．垂直C．异面D．相交5．已知mn，是两条不同直线,，，是三个不同平面，正确命题的个数是（）①若，，则//②若m，n，则m//n③若，m，则m④若m//，n//，则m//n⑤若m//，m//，则//A．1B．2C．3D．46．如图:正四面体S－ABC中，如果E，F分别是SC，AB的中点，那么异面直线EF与SA所成的角等于（）A．90°B．45°C．60°D．30°7．如图，ABCD－A1B1C1D1为正方体，下面结论错误．．的是（）A．BD∥平面CB1D1B．AC1⊥BDC．AC1⊥平面CB1D1D．异面直线AD与CB1所成的角为60°8．已知点A(1，－2,11)，B(4,2,3)，C(6，－1,4)，则△ABC的形状是（）A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形9．已知平行六面体1111OABCOABC，OAa，OCc，1OOb，D是四边形OABC的中心，则（）A．1ODabcB．11122ODbacC．11122ODabcD．11122ODabc10．如图所示，在斜三棱柱ABC－A1B1C1的底面△ABC中，∠A＝90°，且BC1⊥AC，过C1作C1H⊥底面ABC，垂足为H，则点H在（）A．直线AB上B．直线AC上C．直线BC上-2-CADBEFD．△ABC内部二、填空题（每题4分，共24分）11．RtABC中，3,4,5ABBCAC，将三角形绕AC边旋转一周所成的几何体的体积为__________．12．在△ABC中，C＝90°，AB＝8，B＝30°，PC⊥平面ABC，PC＝4，P′是AB边上动点，则PP′的最小值为．13．如右图，E、F分别为正方形ABCD的边BC，CD的中点，沿图中虚线将边长为2的正方形折起来，围成一个三棱锥，则此三棱锥的体积是．14．如图，在长方体1111ABCDABCD中，2ABBC，11AA，则1BC与平面11BBDD所成角的正弦值为．15．正方体ABCD－A1B1C1D1中，截面A1BD与底面ABCD所成二面角A1－BD－A的正切值等于．16．正三棱柱111ABCABC的各棱长都为1，M为1CC的中点，则点1B到截面1ABM的距离为．三、解答题(共4题，46分)17．如图，在四棱锥ABCDP中，平面PAD⊥平面ABCD，AB=AD，∠BAD=60°，E、F分别是AP、AD的中点求证：（1）直线EF//平面PCD；（2）平面BEF⊥平面PAD18．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面为直角梯形,AD∥BC,∠BAD=90°，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD=AB=2BC，M、N分别为PC、PB的中点.（1）求证：PB⊥DM；（2）求CD与平面ADMN所成角的正弦值．19．如图，在五面体ABCDEF中，FA平面ABCD,AD//BC//FE，ABAD，M为EC的中点，AF=AB=BC=FE=12AD（1）求异面直线BF与DE所成的角的大小；（2）证明平面AMD平面CDE；（3）求二面角A-CD-E的余弦值．-3-ABCDEA1B1C1D120．如图，正四棱柱1111ABCDABCD中，124AAAB，点E在1CC上且ECEC31．（1）证明：1AC平面BED；（2）求二面角1ADEB的余弦值大小．参考答案：一、选择题：1．C2．D3．C4．B5．A6．B7．D8．C9．D10．A二、填空题：11．48512．2713．1314．10515．216．22三、解答题：17．证明：-4-（1）因为E、F分别是AP、AD的中点，,EFPD又,,PDPCDEPCD面面直线EF‖平面PCD（2）AB=AD,BAD=60,F是AD的中点，,BFAD又平面PAD⊥平面ABCD，PADABCDAD,面面＝,BFPAD面所以，平面BEF⊥平面PAD。18．（1）证明：设BC=1P（0，0，2）B（2，0，0）D（0，2，0）C（2，1，0）M（1，12，1）(2,0,2)PB3(1,,1)2DM0PBDM∴PB⊥DM（2）(2,1,0)CD(0,2,0)AD1(1,,1)2AM设平面ADMN的法向量(,,)nxyz0002002ynADyyxxznAM取z=-1(1,0,1)n设直线CD与平面ADMN成角为θ-5-sin|cos,||2|52105nCD19．（1）BC//FE……………………1分∴BCEF是□∴BF//CE∴∠CED或其补角为BF与DE所成角……………………2分取AD中点P连结EP和CP∵FE//AP∴FA//EP同理AB//PC又FA⊥平面ABCD∴EF⊥平面ABCD∴EP⊥PC、EP⊥AD由AB⊥ADPC⊥AD设FA=a，则EP=PC=PD=aCD=DE=EC=2a∴△ECD是正三角形∴∠CED=60o∴BF与DE成角60o……………………2分（2）∵DC=DE，M为EC中点∴DM⊥EC连结MP，则MP⊥CE又DMMP=M∴DE⊥平面ADM……………………3分又CE平面CDE∴平面AMD⊥平面CDE……………………1分（3）取CD中点Q，连结PQ和EQ∵PC=DQ∴PQ⊥CD，同理EQ⊥CD∴∠PQE为二面角的平面角……………………2分在Rt△EPQ中，26,22PQaEQa-6-3cos3PQPQEEQ∴二面角A-CD-E的余弦值为33方法二：以A为原点以AB、AD、AF所在直线为x轴、y轴、z轴设AB=1A（0，0，0）B（1，0，0）C（1，1，0）D（0，2，0）E（0，1，1）F（0，0，1）M（12，1，12）（1）(1,0,1)BF(0,1,1)11cos,222,60异面直线成角为oDEBFDEBFDE（2）1111(,1,)(,1,)2222AMDM(0,2,0)AD(1,0,1)CE可得00CEAMCEAD∴CE⊥AM，CE⊥AD又AMAD=A∴CE⊥平面ADM，而平面CDECE，所以平面AMD⊥平面CDE（3）平面CDE的法向量(,,)nxyz(1,1,0)(1,0,1)(0,1,1)00001,(1,1,1)(0,0,1)取为平面的另一个法向量CDCEDEnDEyzyzxzzxnCExnAFACD-7-所以cosn,AF=||||nAFnAF=33因为二面角A－CD－E为锐角，所以其余弦值为3320．以D为原点，分别以DA、DC、DD余弦值所在直线为x轴、y轴、z轴，建系如图所示D（0，0，0）A1（2，0，4）B（2，2，0）E（0，2，1）C（0，2，0）1(2,2,4)(2,2,0)(0,2,1)ACDBDE（1）10ACDB10ACDE∴A1C⊥DBA1C⊥DE又DBDE=D∴A1C⊥平面BDE（2）由（1）知1AC是平面BDE的一个法向量1AC=（-2，2，-4）设平面A1DE的一个法向量n=（x，y，z）11(2,0,4)(0,2,1)2024020022,(4,1,2)DADExznDAxzzyzynDEzn取-8-1118814cos,424416161426211442zznACADEBDEB二面角是锐二面角二面角A的余弦值为