实数与向量的积

第五教时教材：实数与向量的积目的：要求学生掌握实数与向量的积的定义、运算律，理解向量共线的充要条件。过程：一、复习：向量的加法、减法的定义、运算法则。二、1．引入新课：已知非零向量a作出a+a+a和(a)+(a)+(a)OC=BCABOA=a+a+a=3aPN=MNQMPQ=(a)+(a)+(a)=3a讨论：13a与a方向相同且|3a|=3|a|23a与a方向相反且|3a|=3|a|2．从而提出课题：实数与向量的积实数λ与向量a的积，记作：λa定义：实数λ与向量a的积是一个向量，记作：λa1|λa|=|λ||a|2λ0时λa与a方向相同；λ0时λa与a方向相反；λ=0时λa=03．运算定律：结合律：λ(μa)=(λμ)a①第一分配律：(λ+μ)a=λa+μa②第二分配律：λ(a+b)=λa+λb③结合律证明：如果λ=0，μ=0，a=0至少有一个成立，则①式成立如果λ0，μ0，a0有：|λ(μa)|=|λ||μa|=|λ||μ||a||(λμ)a|=|λμ||a|=|λ||μ||a|∴|λ(μa)|=|(λμ)a|如果λ、μ同号，则①式两端向量的方向都与a同向；如果λ、μ异号，则①式两端向量的方向都与a反向。从而λ(μa)=(λμ)a第一分配律证明：如果λ=0，μ=0，a=0至少有一个成立，则②式显然成立如果λ0，μ0，a0当λ、μ同号时，则λa和μa同向，∴|(λ+μ)a|=|λ+μ||a|=(|λ|+|μ|)|a||λa+μa|=|λa|+|μa|=|λ||a|+|μ||a|=(|λ|+|μ|)|a|∵λ、μ同号∴②两边向量方向都与a同向即：|(λ+μ)a|=|λa+μa|当λ、μ异号，当λμ时②两边向量的方向都与λa同向当λμ时②两边向量的方向都与μa同向还可证：|(λ+μ)a|=|λa+μa|∴②式成立第二分配律证明：如果a=0，b=0中至少有一个成立，或λ=0，λ=1则③式显然成立当a0，b0且λ0，λ1时1当λ0且λ1时在平面内任取一点O，作OAaABb1OAλa11BAλb则OBa+b1OBλa+λb由作法知：AB∥11BA有OAB=OA1B1|AB|=λ|11BA|∴||||||||111ABBAOAOAλ∴△OAB∽△OA1B1aaaaOABCaaaaNMQPOABB1A1∴||||1OBOBλAOB=A1OB1因此，O，B，B1在同一直线上，|1OB|=|λOB|1OB与λOB方向也相同λ(a+b)=λa+λb当λ0时可类似证明：λ(a+b)=λa+λb∴③式成立4．例一（见P104）略三、向量共线的充要条件（向量共线定理）1．若有向量a(a0)、b，实数λ，使b=λa则由实数与向量积的定义知：a与b为共线向量若a与b共线(a0)且|b|：|a|=μ，则当a与b同向时b=μa当a与b反向时b=μa从而得：向量b与非零向量a共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ使b=λa2．例二（P104-105略）三、小结：四、作业：课本P105练习P107-108习题5.31、2AOBB1A1