必修2全册同步检测231高中数学练习试题

12-3-1直线与平面垂直的判定一、选择题1．下列命题中，正确的有()①如果一条直线垂直于平面内的两条直线，那么这条直线和这个平面垂直．②过直线l外一点P，有且仅有一个平面与l垂直．③如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面．④垂直于角的两边的直线必垂直角所在的平面．⑤过点A垂直于直线a的所有直线都在过点A垂直于a的平面内．A．2个B．3个C．4个D．5个2．如果一条直线垂直于一个平面内的：①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正六边形的两条边．则能保证该直线与平面垂直()A．①③B．①②C．②④D．①④3．下面条件中，能判定直线l⊥α的是()A．l与平面α内的两条直线垂直B．l与平面α内的无数条直线垂直C．l与平面α内的某一条直线垂直D．l与平面α内的任意一条直线垂直4．在正方体ABCD－A1B1C1D1的六个面中，与AA1垂直的面的个数是()A．1B．2C．3D．65．直线a与平面α所成的角为50°，直线b∥a，则直线b与平面α所成的角等于()A．40°B．50°C．90°D．150°6．下列条件中，能使直线m⊥平面α的是()A．m⊥b，m⊥c，b⊥α，c⊥αB．m⊥b，b∥αC．m∩b＝A，b⊥αD．m∥b，b⊥α7．已知m、n为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是()2A．m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β⇒α∥βB．α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥nC．m⊥α，m⊥n⇒n∥αD．n∥m，n⊥α⇒m⊥α8．(2011－2012·吉安高二检测)如图，已知四棱锥的侧棱长与底面边长都是2，且SO⊥平面ABCD，O为底面的中心，则侧棱与底面所成的角为()A．75°B．60°C．45°D．30°9．(2011－2012·武安中学高二检测)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为()A.63B.255C.155D.10510．(09·四川文)如图，已知六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，则下列结论正确的是()3A．PB⊥ADB．平面PAB⊥平面PBCC．直线BC∥平面PAED．直线PD与平面ABC所成的角为45°[答案]D二、填空题11．已知l，m，n是不同的直线，α，β，γ是不同的平面，给出下列说法：①若m∥l，且l⊥α，则m⊥α；②若m∥l，且l∥α，则m∥α；③若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，则l∥m∥n；④若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，n∥β，则m∥l.其中表述正确的有________．12．已知PA垂直于平行四边形ABCD所在的平面，若PC⊥BD，则平行四边形ABCD一定是________．13．如图，已知△ABC为等腰直角三角形，P为空间一点，且AC＝BC＝52，PC⊥AC，PC⊥BC，PC＝5，AB的中点为M，则PM与平面ABC所成的角为________．414．如图，ABCD－A1B1C1D1为正方体，下面结论错误．．的是________．①BD∥平面CB1D1；②AC1⊥BD；③AC1⊥平面CB1D1；④异面直线AD与CB1所成的角为60°.三、解答题15．如图所示，已知PA垂直于⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上任意一点，过点A作AE⊥PC于点E.求证：AE⊥平面PBC.[分析]只要证AE垂直于平面PBC内两相交直线即可，已知AE⊥PC，再证AE⊥BC，则可证AE垂直于平面PBC.16．如下图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，且PA⊥平面ABCD，PA＝5，AB＝4，AD＝3.求直线PC与平面ABCD所成的角．5[分析]找到PC在平面ABCD上的射影AC，则∠PCA为直线PC与平面ABCD所成的角．17．如图，在底面为直角梯形的四棱锥P－ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，PA⊥平面ABCD，PA＝3，AD＝2，AB＝23，BC＝6.求证：BD⊥平面PAC.18．(09·广东文)某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图1所示，墩的上半部分是正四棱锥P－EFGH，下半部分是长方体ABCD－EFGH.图2、图3分别是该标识墩的正(主)视图和俯视图．6(1)求该安全标识墩的体积；(2)证明：直线BD⊥平面PEG.详解答案1[答案]C[解析]②③④⑤正确，①中当这无数条直线都平行时，结论不成立．2[答案]A[解析]三角形的两边，圆的两条直径一定是相交直线，而梯形的两边，正六边形的两条边不一定相交，所以保证直线与平面垂直的是①③.3[答案]D4[答案]B[解析]仅有平面AC和平面A1C1与直线AA1垂直．5[答案]B[解析]根据两条平行直线和同一平面所成的角相等，知b与α所成的角也是50°.6[答案]D[解析]见课本P65例1.7[答案]D[解析]B中，m，n可能异面，C中n可能在α内，A中，m，n可能不相交．78[答案]C9[答案]D[解析]取B1D1中点O，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，∵A1B1＝B1C1＝2，∴C1O⊥B1D1，又C1O⊥BB1，C1O⊥平面BB1D1D，∴∠C1BO为直线C1B与平面BB1D1D所成的角，在Rt△BOC1中，C1O＝2，BC1＝BC2＋CC21＝5，∴sin∠OBC1＝105.10[解析]设AB长为1，由PA＝2AB得PA＝2，又ABCDEF是正六边形，所以AD长也为2，又PA⊥平面ABC，所以PA⊥AD，所以△PAD为直角三角形．∵PA＝AD，∴∠PDA＝45°，∴PD与平面ABC所成的角为45°，故选D.11[答案]①④[解析]①中，两条平行直线m，l中一条直线l垂直于平面α，则另一条直线m也垂直于平面α，所以①正确；②中，还可能m⊂α，所以②错误；③中，还可能l，m，n相交于一点，所以③错误；④中，根据直线与平面平行的性质定理可以证明m∥l，所以④正确．12[答案]菱形[解析]由于PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以PA⊥BD.又PC⊥BD，且PC⊂平面PAC，PA⊂平面PAC，PC∩PA＝P，所以BD⊥平面PAC.8又AC⊂平面PAC，所以BD⊥AC.又四边形ABCD是平行四边形，所以四边形ABCD是菱形．13[答案]45°[解析]由PC⊥AC，PC⊥BC，AC∩BC＝C，知PC⊥平面ACB，所以∠PMC为PM与平面ABC所成的角．又∵M是AB的中点，∴CM＝12AB＝5.又PC＝5，∴∠PMC＝45°.14[答案]④[解析]由于BD∥B1D1，BD⊄平面CB1D1，B1D1⊂平面CB1D1，则BD∥平面CB1D1，所以①正确；由于BD⊥AC，BD⊥CC1，AC∩CC1＝C，所以BD⊥平面ACC1，所以AC1⊥BD.所以②正确；可以证明AC1⊥B1D1，AC1⊥B1C，所以AC1⊥平面CB1D1，所以③正确；由于AD∥BC，则∠BCB1＝45°是异面直线AD与CB1所成的角，所以④错误．15[证明]∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC.又∵AB是⊙O的直径，∴BC⊥AC.而PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC.又∵AE⊂平面PAC，∴BC⊥AE.又∵PC⊥AE，且PC∩BC＝C，∴AE⊥平面PBC.[点评]利用直线与平面垂直的判定定理判定直线与平面垂直的步骤是：①在这个平面内找两条直线，使它和已知直线垂直；②确定这个平面内的两条直线是相交直线；③根据判定定理得出结论．16[解析]如图，连接AC，因为PA⊥平面ABCD，则AC是PC在平面ABCD上的射影，所以∠PCA是PC与平面ABCD所成的角．在△PAC中，PA⊥AC，PA＝5，AC＝AB2＋AD2＝42＋32＝5.9则∠PCA＝45°，即直线PC与平面ABCD所成的角为45°.[点评]求斜线与平面所成的角的步骤：(1)作图：作(或找)出斜线在平面上的射影，将空间角(斜线与平面所成的角)转化为平面角(两条相交直线所成的锐角)，作射影要过斜线上一点作平面的垂线，再过垂足和斜足(有时可以是两垂足)作直线，注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与问题中已知量有关，才能便于计算．(2)证明：证明某平面角就是斜线与平面所成的角．(3)计算：通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算．17[证明]∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴BD⊥PA.∵∠BAD和∠ABC都是Rt∠，∴tan∠ABD＝ADAB＝33，tan∠BAC＝BCAB＝3，∴∠ABD＝30°，∠BAC＝60°.∴∠AEB＝90°，即BD⊥AC，又PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC.18[解析](1)该安全标识墩的体积为：V＝VP－EFGH＋VABCD－EFGH＝13×402×60＋402×20＝32000＋32000＝64000(cm3)(2)如图，连接EG、HF及BD，EG与HF相交于O，连接PO.由正四棱锥的性质可知，PO⊥平面EFGH，10∴PO⊥HF，又EG⊥HF，且BD∥HF∴BD⊥GE又PO∩EG＝0，∴BD⊥PO，∴BD⊥平面PEG.