排列组合问题的转化方法

高考网排列组合问题的转化方法班级学号姓名有些排列组合问题，直接考虑不易解决，分类讨论又十分麻烦，如果运用转化思想，转换角度，将其转化为等价的问题，不但能拓宽思路，还能避繁就简，变难为易.1.转换角色有些排列组合题，从表面上看是可重复元素的问题，若交换元素与位置的关系，就可以化为相异元素的排列组合问题.例1有两个a，三个b，四个c共九个字母排成一排，有多少种排法?练习：（1）一排6张椅子上坐3人，每2人之间至少有一张空椅子，求共有多少种不同的坐法?（2）有6个座位连成一排，现安排3人就坐，其中恰有两个空位相连的不同的坐法有多少种？2.换位思考把过程与结果换位思考，可以使问题更易操作.例2某人射击8枪，共命中4枪，并且这4枪中有且仅有3枪连中，那么对于该人射击8枪，按“中”与“不中”报告结果，不同的结果共有多少种?练习：（1）马路上有编号为1，2，3，…，8，9的九只路灯，为节约用电，可以把其中的三只路灯关掉，但不能同时关掉相邻的两只或三只，也不能关掉两端的路灯，满足条件的关灯方法有多少种?（2）从1，2，3，…，2000这两千个自然数中，取出10个互不相邻的自然数，有多少种方法?3.化归处理通过构造模型可以将陌生问题，转化为常见题型的方法来处理。例36人带10瓶汽水参加春游，每人至少带1瓶汽水，有多少种不同的带法？练习：（1）求方程10zyx的正整数解的个数。（2）有9名实习老师准备分到高二年级的6个班中实习，每班至少1名，共有多少种不同的分法？浙师大附中假日活动材料高二数学高考网．构造模型例4共10级台阶，一人准备用8步走完，每步可走一级、二级或三级，共有多少种不同的走法？练习：甲、乙两队各出7名队员，按事先排好的顺序出场参加围棋擂台赛，双方先由1号队员比赛，负者淘汰，胜者再与负方2号队员比赛，…，直到有一方队员全被淘汰为止，另一方获胜，形成一种比赛过程，那么所有可能出现的比赛过程有多少种？☆5.转换说法转换语言和变换说法，可以把比较隐晦的问题转化为直观问题，把抽象问题转化为具体的问题.例5已知集合A和集合B各含有12个元素，A∩B含有4个元素，试求同时满足下列两个条件的集合C的个数.(1)CA∪B，且C中含有3个元素；(2)C∩A≠(表示空集).等价说法1集合A有12个元素，集合B有8个元素，且A∩B＝，求在集合A∪B中取3个元素，其中至少含有A的1个元素构成的集合C的个数.为了更形象地理解题意，找出相应的实际问题作为模型，这样更有利于推进问题的解决。显然，本题与下列实际问题等价.等价说法2某建筑队只会瓦工或只会木工的各有8人，同时既会瓦工又会木工的有4人，现从中挑选3人，至少有一人会瓦工，有多少种不同选法?由于对于集合C中所含有的集合A的元素，无需考虑它是否属于A∩B，故本题还有另一等价说法.等价说法3有男生12人，女生8人，从中选取3人作代表出席一次会议，代表中至少有1名男生，问有多少种选法?解法1(分类法)10843121821228112CCCCC.解法2(排除法).108438320CC即集合C有1084个。