数列存在性问题的分析与解答教案

数列存在性问题的分析与解答教案1.问题呈现题目：已知正项数列的前项和为，且.（1）求的值及数列的通项公式；（2）是否存在非零整数，使不等式对一切都成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.2.分析与解答分析：第（1）问根据数列通项12nnnaSSn很容易求出；关键是第（2）问中根据第（1）问的结论2nan，可得11coscos(1)(1)2nnan，则可考虑分离参数，令121111(1)(1)(1)1nnnbaaaa则需要分析nb的单调性以确定nb的最值.最后，需要考虑n为奇数和偶数进行分类讨论.解（1）由(2)4nnnaaS.当1n时，1111(2)4aaaS，解得12a或10a（舍去）．当2n时，由111(2)(2)44nnnnnnnaaaaaSS22112()nnnnaaaa，∵0na，∴10nnaa，则12nnaa，∴na是首项为2，公差为2的等差数列，故2nan．（2）由2nan，得11coscos(1)(1)2nnan，设121111(1)(1)(1)1nnnbaaaa，则不等式等价于1(1)nnb.111121221(21)(23)11231122nnnnnabnnbnnnana224841483nnnn，∵0nb，∴1nnbb，数列nb单调递增.假设存在这样的实数，使得不等式1(1)nnb对一切*nN都成立，则①当n为奇数时，得min123()3nbb；②当n为偶数时，得min285()15nbb，即8515.综上，8523(,)153，由是非零整数，知存在1满足条件．3.题后反思针对这类数列的存在性问题，往往需要进行分类参数并构造数列，判断数列的单调性可用比商法或作差法，题目中出现三角函数往往要考虑其周期性，涉及1n往往需要对n为奇数和偶数进行分类讨论.