数学人教A版选修22章末测试第一章导数及其应用AWord版含解析

第一章测评A(基础过关卷)(时间：90分钟满分：100分)第Ⅰ卷(选择题共50分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知f(x)＝lnxx2，则f′(e)＝()A．1e3B．1e2C．－1e2D．－1e32．曲线f(x)＝ex＋x在(1，f(1))的切线方程为()A．(1＋e)x－y＝0B．ex－y＋1＝0C．(1＋e)x＋y－2(1＋e)＝0D．x－(1＋e)y＝03．函数f(x)＝alnx＋x在x＝1处取得极值，则a的值为()A．12B．－1C．0D．－124．函数f(x)＝x2x－1()A．在(0,2)上单调递减B．在(－∞，0)和(2，＋∞)上单调递增C．在(0,2)上单调递增D．在(－∞，0)和(2，＋∞)上单调递减5．已知函数f(x)的导函数为f′(x)＝2x2，x∈(－1,1)．如果f(x)＜f(1－x)，则实数x的取值范围为()A．－∞，12B．(－1,1)C．－1，12D．0，126．13π4π4cos2xdx＝()A．13B．23C．23D．－237．已知函数y＝f(x)，其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则y＝f(x)()A．在(－∞，0)上为减函数B．在x＝0处取极小值C．在(4，＋∞)上为减函数D．在x＝2处取极大值8．已知函数f(x)的导数f′(x)＝a(x＋1)(x－a)，且f(x)在x＝a处取得极大值，则实数a的取值范围是()A．a＞－1B．－1＜a＜0C．0＜a＜1D．a＞19．如果圆柱的轴截面的周长l为定值，则体积的最大值为()A．l63πB．l33πC．l43πD．14l43π10．若f(x)＝－12x2＋bln(x＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，则实数b的取值范围是()A．[－1，＋∞)B．(－1，＋∞)C．(－∞，－1]D．(－∞，－1)第Ⅱ卷(非选择题共50分)二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中的横线上)11．由曲线y＝ex＋x与直线x＝0，x＝1，y＝0所围成图形的面积等于__________．12．在平面直角坐标系xOy中，点P在曲线C：y＝x3－10x＋3上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线的斜率为2，则点P的坐标为__________．13．函数f(x)＝(x2－3)ex在[0,2]上的最大值为__________．14．若f(x)＝x2＋3，x≥0，－x，x0，则11f(x)dx＝__________.15．函数f(x)＝x3－3ax＋b(a＞0)的极大值为6，极小值为2，则f(x)的减区间是__________．三、解答题(本大题共4小题，共25分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16．(本小题6分)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx在x＝－23与x＝1处都取得极值．(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数f(x)在区间[－2,2]的最大值与最小值．17．(本小题6分)已知函数f(x)＝ax3＋bx2的图象过点M(1,4)，曲线在点M处的切线恰好与直线x＋9y＝0垂直．(1)求实数a，b的值；(2)若函数f(x)在区间[m，m＋1]上单调递增，求m的取值范围．18．(本小题6分)已知函数f(x)＝lnxx.(1)判断函数f(x)的单调性；(2)若y＝xf(x)＋1x的图象总在直线y＝a的上方，求实数a的取值范围．19．(本小题7分)某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为30元，并且每件产品须向总公司缴纳a元(a为常数，2≤a≤5)的管理费，根据多年的统计经验，预计当每件产品的售价为x元时，产品一年的销售量为kex(e为自然对数的底数)万件，已知每件产品的售价为40元时，该产品一年的销售量为500万件．经物价部门核定每件产品的售价x最低不低于35元，最高不超过41元．(1)求分公司经营该产品一年的利润L(x)万元与每件产品的售价x元的函数关系式；(2)当每件产品的售价为多少元时，该产品一年的利润L(x)最大，并求出L(x)的最大值．参考答案一、1．解析：∵f′(x)＝x2x－2xlnxx4＝1－2lnxx3，∴f′(e)＝1－2lnee3＝－1e3.答案：D2．解析：f′(x)＝1＋ex，k＝f′(1)＝1＋e.∵f(1)＝1＋e，∴切线方程为y－(1＋e)＝(1＋e)(x－1)，即(1＋e)x－y＝0.答案：A3．解析：f′(x)＝ax＋1，令f′(x)＝0，得x＝－a，所以函数f(x)在x＝－a处取得极值，所以a＝－1.答案：B4．解析：f′(x)＝2x(x－1)－x2(x－1)2＝x2－2x(x－1)2＝x(x－2)(x－1)2.令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝2.∴x∈(－∞，0)和x∈(2，＋∞)时，f′(x)＞0，x∈(0,1)和x∈(1,2)时，f′(x)＜0，故选B．答案：B5．解析：∵f′(x)＝2x2≥0，∴f(x)在(－1,1)上单调递增，故x＜1－x，又－1＜x＜1，－1＜1－x＜1，解得0＜x＜12.答案：D6．解析：13π4π4cos2xdx＝13×12sin2xπ4π4|＝13.答案：A7．解析：由图可知f(x)在(0,2)和(4，＋∞)上单调递减，在(－∞，0)和(2,4)上单调递增，∴f(x)在x＝0时取极大值，x＝2取极小值，故C正确．答案：C8．解析：∵f(x)在x＝a处取得极大值，∴f(x)在x＝a附近左增右减，分a＞0，a＝0，a＜0讨论易知－1＜a＜0.答案：B9．解析：设圆柱的底面半径为r，高为h，体积为V，则4r＋2h＝l，∴h＝l－4r2.V＝πr2h＝l2πr2－2πr30rl4.则V′＝lπr－6πr2，令V′＝0，得r＝0或r＝l6，而r＞0，∴r＝l6是其唯一的极值点．∴当r＝l6时，V取得最大值，最大值为l63π.答案：A10．解析：f′(x)＝－x＋bx＋2.∵f(x)在(－1，＋∞)上是减函数，∴f′(x)＝－x＋bx＋2≤0在(－1，＋∞)上恒成立，∴b≤x(x＋2)在(－1，＋∞)上恒成立．又∵x(x＋2)＝(x＋1)2－1＜－1，∴b≤－1.答案：C二、11．解析：由已知面积S＝10(ex＋x)dx＝ex＋12x210|＝e＋12－1＝e－12.答案：e－1212．解析：∵y′＝3x2－10＝2，∴x＝±2.又点P在第二象限，∴x＝－2.∴点P的坐标为(－2,15)．答案：(－2,15)13．解析：f′(x)＝2xex＋ex(x2－3)＝ex(x2＋2x－3)，令f′(x)＝0，得x＝1或x＝－3(舍)，∴在x∈[0,1]上，f(x)递减，在[1,2]上，f(x)递增．又∵f(0)＝－3，f(2)＝e2，∴f(x)max＝e2.答案：e214．解析：11f(x)dx＝01(－x)dx＋10(x2＋3)dx＝－12x201|＋13x3＋3x10|＝236.答案：23615．解析：f′(x)＝3x2－3a，令f′(x)＝0，得x＝±a.∴f(x)在(－∞，－a)，(a，＋∞)上单调递增，在(－a，a)上单调递减．∴f(－a)＝6，f(a)＝2.∴(－a)3－3a(－a)＋b＝6，(a)3－3aa＋b＝2，解得a＝1，b＝4.∴f′(x)＝3x2－3.∴令f′(x)＜0，得－1＜x＜1.答案：(－1,1)三、16．解：(1)f′(x)＝3x2＋2ax＋b，由题意f′－23＝0，f′(1)＝0，即43－4a3＋b＝0，3＋2a＋b＝0，解得a＝－12，b＝－2，经检验符合题意，∴f(x)＝x3－12x2－2x.(2)由(1)知f′(x)＝3x＋23(x－1)，令f′(x)＝0，得x1＝－23，x2＝1，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x－2－2，－23－23－23，11(1,2)2f′(x)＋0－0＋f(x)－6极大值2227极小值－322由上表知fmax(x)＝f(2)＝2，fmin(x)＝f(－2)＝－6.17．解：(1)∵f(x)＝ax3＋bx2的图象经过点M(1,4)，∴a＋b＝4.①f′(x)＝3ax2＋2bx，则f′(1)＝3a＋2b.由已知得f′(1)·－19＝－1，即3a＋2b＝9.②由①②，得a＝1，b＝3.(2)f(x)＝x3＋3x2，f′(x)＝3x2＋6x，令f′(x)＝3x2＋6x≥0，得x≥0或x≤－2，故由f(x)在[m，m＋1]上单调递增，得[m，m＋1]⊆[0，＋∞)或[m，m＋1]⊆(－∞，－2]，∴m≥0或m＋1≤－2，即m≥0或m≤－3.∴m的取值范围为(－∞，－3]∪[0，＋∞)．18．解：(1)f′(x)＝1－lnxx2.当0＜x＜e时，f′(x)＞0，f(x)为增函数；当x＞e时，f′(x)＜0，f(x)为减函数．(2)依题意得，不等式a＜lnx＋1x对于x＞0恒成立．令g(x)＝lnx＋1x，则g′(x)＝1x－1x2＝1x1－1x.当x∈(1，＋∞)时，g′(x)＝1x1－1x＞0，则g(x)是(1，＋∞)上的增函数；当x∈(0,1)时，g′(x)＜0，则g(x)是(0,1)上的减函数．所以g(x)的最小值是g(1)＝1，从而a的取值范围是(－∞，1)．19．解：(1)由题意，该产品一年的销售量y＝kex，将x＝40，y＝500代入，得k＝500e40.该产品一年的销售量y(万件)关于x(元)的函数关系式为y＝500e40－x.L(x)＝(x－30－a)y＝500(x－30－a)e40－x(35≤x≤41)．(2)L′(x)＝500[e40－x－(x－30－a)e40－x]＝500e40－x(31＋a－x)．①当2≤a≤4时，L′(x)≤500e40－x(31＋4－35)＝0，当且仅当a＝4，x＝35时取等号．所以L(x)在[35,41]上单调递减．因此，L(x)max＝L(35)＝500(5－a)e5.②当4＜a≤5时，L′(x)＞0⇔35≤x＜31＋a；L′(x)＜0⇔31＋a＜x≤41.所以L(x)在[35,31＋a)上单调递增，在(31＋a,41]上单调递减．因此，L(x)max＝L(31＋a)＝500e9－a.答：当2≤a≤4时，每件产品的售价为35元，该产品一年的利润L(x)最大，最大为500(5－a)e5万元；当4＜a≤5时，每件产品的售价为(31＋a)元，该产品一年的利润L(x)最大，最大为500e9－a万元．