数学人教A版选修22自我小测13导数在研究函数中的应用第3课时Word版含解析

自我小测1．函数f(x)＝13x3－2x2在区间[－1,5]上()A．有最大值0，无最小值B．有最大值0，最小值－323C．有最小值－323，无最大值D．既无最大值也无最小值2．函数f(x)＝x＋2sinx在区间[－π，0]上的最小值是()A．－π2B．2C．π6＋3D．－2π3－33．已知函数f(x)＝x2＋2xf′(1)，则当x∈[－2,3]时，f(x)的值域是()A．[－4，－3]B．[－3,12]C．[－4,12]D．[－8,2]4．函数f(x)＝x·2x，则下列结论正确的是()A．当x＝1ln2时，f(x)取最大值B．当x＝1ln2时，f(x)取最小值C．当x＝－1ln2时，f(x)取最大值D．当x＝－1ln2时，f(x)取最小值5．对于R上可导的任意函数f(x)，若满足x≠1时(x－1)·f′(x)＞0，则必有()A．f(0)＋f(2)＞2f(1)B．f(0)＋f(2)＜2f(1)C．f(0)＋f(2)≥2f(1)D．f(0)＋f(2)≤2f(1)6．函数f(x)＝x3－3ax－a在(0,1)内有最小值，则a的取值范围为__________．7．已知a＞0，函数f(x)＝x3－ax在[1，＋∞)上单调递增，则a的最大值为________．8．函数f(x)＝12ex(sinx＋cosx)在区间0，π2上的值域为__________．9．试求函数y＝4x2＋1x在(0，＋∞)上的最值．10．已知函数f(x)＝a2x2－lnx，(1)若a＝1，证明f(x)没有零点；(2)若f(x)≥12恒成立，求a的取值范围．参考答案1．解析：f′(x)＝x2－4x＝x(x－4)．令f′(x)＝0，得x＝0或x＝4，∴f(0)＝0，f(4)＝－323，f(－1)＝－73，f(5)＝－253，∴f(x)max＝f(0)＝0，f(x)min＝f(4)＝－323.答案：B2．解析：f′(x)＝1＋2cosx．令f′(x)＝0得x＝－2π3，又f(－π)＝－π，f－2π3＝－2π3－3，f(0)＝0，故最小值为－2π3－3.答案：D3．C4．解析：f′(x)＝2x＋x·(2x)′＝2x＋x·2x·ln2.令f′(x)＝0，得x＝－1ln2.当x∈－∞，－1ln2时，f′(x)＜0；当x∈－1ln2，＋∞时，f′(x)＞0，故函数在x＝－1ln2处取极小值，也是最小值．答案：D5．解析：当x＞1时，f′(x)＞0，函数f(x)在(1，＋∞)上是增函数；当x＜1时，f′(x)＜0，f(x)在(－∞，1)上是减函数，故f(x)在x＝1处取得最小值，即有f(0)＞f(1)，f(2)＞f(1)，得f(0)＋f(2)＞2f(1)．答案：A6．解析：∵f′(x)＝3(x2－a)，f(x)在(0,1)内有最小值，∴f′(0)＜0且f′(1)＞0.∴－a0，1－a0.∴0＜a＜1.答案：0＜a＜17．解析：∵f′(x)＝3x2－a≥0(x≥1)，∴a≤3x2，∴a≤3.答案：38．解析：∵f′(x)＝12ex(sinx＋cosx)＋12ex(cosx－sinx)＝excosx，当x∈0，π2时，f′(x)＝excosx≥0，∴f(x)在0，π2上单调递增．∴f(x)min＝f(0)＝12，f(x)max＝π21e2.∴f(x)的值域为π211,e22.答案：π211,e229．解：y′＝8x－1x2，令y′＝0，解得x＝12.当x变化时，y′，y的变化情况如下表：x0＜x＜12x＝12x＞12y′－0＋y极小值所以由上表可知，函数在x＝12处取得最小值，最小值为3，无最大值．10．(1)证明：a＝1时，f(x)＝12x2－lnx(x＞0)，f′(x)＝x－1x，由f′(x)＝0，得x＝1，可得f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，故f(x)的最小值fmin(x)＝f(1)＝12＞0，所以f(x)没有零点．(2)解：f′(x)＝ax－1x＝ax2－1x.①若a＞0，令f′(x)≥0，则x≥1a，故f(x)在0，1a上单调递减，在1a，＋∞上单调递增，故f(x)在(0，＋∞)上的最小值为f1a＝12＋12lna，要使f(x)≥12恒成立，只需12＋12lna≥12，得a≥1.②若a≤0，f′(x)＜0恒成立，f(x)在(0，＋∞)单调递减，f(1)＝a2≤0，故不可能f(x)≥12恒成立．综上所述，a≥1.