数学经典易错题会诊与高考试题预测13高中数学练习试题

1经典易错题会诊与2012届高考试题预测（十三）考点13概率与统计►求某事件的概率►离散型承受机变量的分存列、期望与方差►统计►与比赛有关的概率问题►以概率与统计为背景的数列题►利用期望与方差解决实际问题经典易错题会诊命题角度1求某事件的概率1．（典型例题Ⅰ）从数字1，2，3，4，5中，随机抽取3个数字（允许重复）组成一个三位数，其各位数字之和等于9的概率为（）12519.12518.12516.12513.DCBA[考场错解]基本事件总数为53=125，而各位数字之和等于9的情况有：（1）这三个数字为1，3，5；（2）这三个数字为2，3，4；（3）这三个数字都为3。第（1）种情况有A33个，第（2）种情况有A33个，第（3）种情况只有1个。∴各位数字之各等于9的概率为12513。选A[专家把脉]考虑问题不全面，各位数字之和等于9的情况不只三种情况，应该有五种情况，考虑问题的分类情况，应有一个标准，本题应这样来划分：（1）三人数字都不相同；（2）三个数字有两个相同；（3）三个数字都相同。这样就不会出现错解中考虑不全面的错误。[对症下药]基本事件总数为5×5×5=125，而各位数字之和等于9分三类：（1）三个数字都不相同，有（1，3，5），（2，3，4）；共2A33=12个；（2）三个数字有两个相同，有（2，2，5），（4，4，1），共2C13个三位数；（3）三个数字都相同，有（3，3，3），共1个三位数。∴所求概率为125191251612。选D。2．（典型例题）甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其中的8题，规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题才算合格。（1）分别求甲、乙两人考试合格的概率；（2）求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率。2[考场错解]（1）由已知从10道题中，任选一道，甲答对的概率为53,那么选3道题甲至少答对2道相当于三次独立重复试验发生两次或三次.∴甲合格的概率为.125112)54(52)53(333232CC[专家把脉]相互独立事件的概念理解错误,只有当事件A发生与否对事伯B没有任何影响时,才能说A与B相互独立.而错解中,答对第一题这个事件发生与不发生对“答对第二题”这人事件有影响。所以它们之间不独立。[对症下药]（1）设甲、乙两人考试合格的事件分别为A、B，那么对于A：基本事件总数为C310，而考试合格的可能有：（1）答对2题，共C26C14；（2）答对3题，共C36。.1514)(.32)(103416263BPCCCCAP同理（2）由（1）知A与B相互独立，∴甲、乙两人考试均不合格的概率为P（BA）=,451)15141)(321()()(BPAP∴甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为P=1-P)(BA=1-.45444513．（典型例题）某人有5把钥匙，其中有1把可以打开房门，但忘记了开门的是哪一把，于是他逐把不重复地试开，那么恰好第三次打开房门的概率是____________.[考场错解]基本事件总数为A55=120，而恰好第三次打开房门的可能为A24=12，故所求概率为.101[专家把脉]在利用等可能事件的概率公式P（A）=nm时，分子、分母的标准不一致，分母是将五把钥匙全排列，而分子只考虑前三次，导致错误。正确的想法是：要么分子分母都考虑5次，要么都只考虑前三次，或者干脆都只考虑第三次。[对诊下药]（方法一）5把钥匙的次序共有A55种等可能结果。第三次打开房门，看作正确的钥匙恰好放在第三的位置，有A44种，∴概率P=.515544AA（方法二）只考虑前3把的次序，概率P=.515542AA（方法三）只考虑第3把钥匙，概率P=.514．（典型例题）20典型例题）甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是4332和。假设两人射击中目标，相互之间没有影响；每次射击是否击中目标，相互之间没有影响。（1）求甲射击4次，至少1次未击中目标的概率；（2）求两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率；（3）假设某人连续2次未击中目标，则停止射击。问：乙恰好射击5次后，被中止射击的概率是多少？[考场错解]第（3）问，乙恰好射击5次后，被中止，则乙前3次都击中，4、5次未击中，3∴所求概率为.1024274141)43(3[专家把脉]乙恰好射击5次后，被中止射击，则4、5次未击中，但前3次不一定全部击中，可能有1次未击中，也可能有2次未击中。[对症下药]（1）甲射击4次，全部击中的概率为4)32(，则至少1次未击中的概率为.8165)32(14（2）甲恰好击中目标2次的概率为2224)31()32(C乙恰好击中目标3次的概率为,)41()43(134C∴甲恰好击中2次且乙恰好击中3次的概率为.8141)43()31()32(3432224CC(3)依题意，乙恰好射击5次后，被中止射击，则4、5两次一定未击中，前3次若有1次未击中，则一定是1、2两次中的某一次；前3次若有2次未击中，则一定是1、3两次，但此时第4次也未中，那么射击4次后就被停止，∴这种情况不可能；前三次都击中也符合题意。∴所求事件的概率为.102445])43()43(41[)41(32122C考场思维训练1（典型例题）掷三枚骰子，求所得点数中最大点数是最小点数两倍的概率是（）31.61.32.31.55DCBA答案：C解析：基本事件总数是：63，而这数点数是最小数点数的两倍包括：(1，1，2)，(1，2，2)，(2，2，4)，(2，3，4)，(2，4,4)，(3，3，6)，(3，4，6)，(3，5，6)，(3，6，6)．其中(1，1，2)，(1，2，2)，(2，2，4)，(2，4，4)，(3，3，6)，(3，6，6)各包含13C种结果，共有613C种结果；(2，3，4)，(3，4，6)，(3，5，6)各包含33A种结果，共有333A种结果．∴所求概率为6163633313AC∴选C2（典型例题）同时抛掷3枚均匀硬币16次，则这三枚硬币至少出现一次两个正面一个反而的概率__________（用式子作答）。答案：1-（85）16解析：事件A：出现两个正面一个反面的概率为85)(,83)21(323ApC则，而事件B:“至少出现一次两个正面一个反面”的对立事件B：“没有一次出现两个正面一个反面”的概率P(B)=(85)16．∴所求事件的概率为1-(85)16.3（典型例题）设棋子在正四面体ABCD的表面从一个顶点向另外三个顶点移动是等可能的，现抛掷骰子根据其点数决定棋子是否移动，若抛出的点数是奇数，则棋子不动；若抛出的点数是偶数，棋子移动到另一顶点，若棋子的初始位置为A，则：4（1）投掷2次骰子，棋子才到达顶点BA的概率；答案：“棋子才到达顶点B”包括两种可能：(1)第一次掷出奇数，第二次掷出偶数；(2)第一次掷出偶数，第二次掷出偶数．它们的概率分别为P1=.213132212,312121P∴所求事件的概率为P=Pl+P2=365.（2）投掷次骰子，棋子恰巧在顶点B的概率是多少？答案：设Pn表示掷n次骰子，棋子恰巧在顶点B的概率，Pn-1表示掷n-1次骰子，棋子恰巧在顶点B的概率，掷n次骰子，“棋子恰巧在顶点B”包括两种可能：①掷n-1次骰子，棋子恰巧在顶点B，第n次掷出奇数，棋子在B处不动；②掷n-1次骰子，棋子不在B，第n次掷出偶数，棋子从别的顶点移向B．∴Pn=21·pn-1+(1-Pn-1)·613131211nP,而P1=613121.∴P2=5413,923P∴所求事件的概率为：5413.专家会诊对于等可能性事件的概率，一定要注意分子分母算法要一致，如分母考虑了顺序，则分子也应考虑顺序等；将一个较复杂的事件进行分解时，一定要注意各事件之间是否互斥，还要注意有无考虑全面；有时正面情况较多，应考虑利用公式P（A）=1-P（A）；对于A、B是否独立，应充分利用相互独立的定义，只有A、B相互独立，才能利用公式P（A·B）=P（A）·P（B），还应注意独立与互斥的区别，不要两者混淆。命题角度2离散型随机变量的分布列、期望与方差1．（典型例题）盒子中有大小相同的球10个，其中标号为1的球3个，标号为2的球4个，标号为5的球3个。第一次从盒子中任取1个球，放回后第二次再任取1个球（假设取到每个球的可能性都相同）。记第一次与第二次取得球的标号之和为ξ。（1）求随机变量ξ的分布列；（2）求随机变量ξ的期望。[考场错解]（1）依题意，ξ的取值是3，6，7，它们所对应的概率分别为0.24,0.18,0.24,故随机变量ξ的分布列如下：ξ367P0．240．180．24[专家把脉]随机变量ξ的取值不正确，当然随之概率之和不等于1，由于两次可能取到同标号的球，所以承受机变量ξ的取值应为2，3，4，6，7，10。[对症下药]（1）由题意可得，随机变量ξ的取值是2，3，4，6，7，10。且P（ξ=2）=0.3×0.3=0.09,P(ξ=3)=C12×0.3×0.4=0.24,P(ξ=4)=0.4×0.4=0.16,P(ξ=6)=2×0.3×0.3=0.18,P(ξ=7)2×0.4×0.3=0.24,P(ξ=10)=0.3×0.3=0.09.故随机变量ξ的分布列如下：ξ2345710P0．090．240．160．180．240．09（2）随机变量ξ的数学期望Eξ=2×0.09+3×0.24+4×0.16+6×0.18+7×0.24+10×0.09=5.2.52．（典型例题Ⅱ）某同学参加科普知识竞赛，需回答三个问题竞赛规则规定：每题回答正确得100分，回答不正确得-100分，假设这名同学每题回答正确的概率均为0.8，且各题回答正确与否相互之间没有影响。（1）求这名同学回答这三个问题的总得分ξ的概率分布和数学期望；（2）求这名同学总得分不为负分（即ξ≥0）的概率。[考场错解]（1）由于这名同学每题回答正确的概率均为0.8，且各题回答正确与否相互之间没有影响，∴ξ服从二项分布。∴Eξ=100×0.8。[专家把脉]二项分布的概念理解错误，把n次独立重复试验事件A发生的次数作为随机变量，则这个随机变量服从二项分布，而本题中的得分不是这种随机变量，所以不服从二项分布，实际上本题中回答正确的个数服从二项分布。[对症下药]（1）设这名同学回答正确的个数为随机变量η，则依题意η~B（3，0.8）,∴Eη=2.4,又ξ=-300=180.η=0时，ξ=-300;η=1时，ξ=-100;η=2时,ξ=100;η=3时，ξ=300.所以ξ的分布列如下表所示：ξ-300-100100300P0．0080．0960．3840．512（2）这名同学总得分不为负分的概率为P（ξ≥0）=0.384+0.512=0.986.3．（典型例题）某电器商经过多年经验发现本店每个月售出的电冰箱的台数ξ是一个随机变量，它的分布列如下：ξ123…12P121121121…121设每售出一台电冰箱，电器商获利300元，如销售不出而囤积于仓库，则每台每月需花保养费100元，问电器商月初购进多少台电冰箱才能使自己平均收益最大？[考场错解]（解答1）由题意，ξ的期望Eξ=121（1+2+…+12）=213，由期望的意义知：电器商月初购进6台或7台电冰箱才能使自己平均收益最大。（解答2）设月初购进x台电冰箱，则获利也是随机变量，取值为300-（x-1）·100，600-（x-2）·100,…，300x，它们的概率均为121，∴获利的期望为),2(3251212)300100400(2xxxxx∵1≤x≤2.∴x=12时期望最大，∴月初购进12台电冰箱。[专家把脉]解答1，错把期望当作与实际等同，Eξ=213表示平均能卖213台，不是一定能卖213台，总之是期望理解错误；解答2中当获利的取值为300x时，概率也为121是错误的，错误认为只有x台，卖出比x大的台数不可能。实际上获利的取值为300