江苏高考解析几何压轴题30题

1.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆222210xyabab的离心率为22，且右焦点F到左准线l的距离为3.（1）求椭圆的标准方程；（2）过F的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P，C，若PC=2AB，求直线AB的方程.解：（1）由题意得，22ca，且23acc，解得2,1,ac则1b，所以椭圆的标准方程为2212xy（2）当ABx轴时，2AB，又3CP，不合题意．当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为1ykx，11,xy，22,xy，将AB的方程代入椭圆方程，得2222124210kxkxk，则221,2222112kkxk，C的坐标为2222,1212kkkk，且222222121212221112kABxxyykxxk．若0k，则线段AB的垂直平分线为y轴，与左准线平行，不合题意．从而0k，故直线PC的方程为222121212kkyxkkk，则P点的坐标为22522,12kkk，从而222231112kkPCkk．因为2PCAB，所以2222223114211212kkkkkk，解得1k．此时直线AB方程为1yx或1yx．2.已知椭圆2222:1(0)xyMabab的离心率为12，一个交点到相应的准线的距离为3，圆N的方程为2222()(xcyacc为半焦距）直线:(0)lykxmk与椭圆M和圆N均只有一个公共点，分别设为A、B.（1）求椭圆方程和直线方程；（2）试在圆N上求一点P，使22PBPA。BAOxylPC3.如图，已知椭圆O：x24＋y2＝1的右焦点为F，点B，C分别是椭圆O的上、下顶点，点P是直线l：y＝－2上的一个动点（与y轴交点除外），直线PC交椭圆于另一点M．（1）当直线PM过椭圆的右焦点F时，求△FBM的面积；（2）①记直线BM，BP的斜率分别为k1，k2，求证：k1·k2为定值；②求PBPM的取值范围．解：（1）由题意(0,1),(0,1)BC，焦点(3,0)F，当直线PM过椭圆的右焦点F时，则直线PM的方程为113xy，即313yx，联立，221,431,3xyyx解得83,71,7xy或0,1xy（舍），即831(,)77M．………………2分连BF，则直线BF：113xy，即330xy，而2BFa，2283123|33|3777271(3)d．…4分故113322277MBFSBFd．………………………5分（2）解法一：①设(,2)Pm，且0m，则直线PM的斜率为1(2)10kmm，则直线PM的方程为11yxm，联立2211,1,4yxmxy化简得2248(1)0xxmm，解得22284(,)44mmMmm，…8分所以22212412148844mmmkmmmm，21(2)30kmm，所以1231344kkmm为定值．………10分②由①知，(,3)PBm，2322222841212(,2)(,)4444mmmmmPMmmmmm，所以324222212121536(,3)(,)444mmmmmPBPMmmmm，…………………13分令244mt，故22(4)15(4)367887ttttPBPMtttt，因87ytt在(4,)t上单调递增，故8874794PBPMtt，即PBPM的取值范围为(9,)．…16分解法二：①设点000(,)0Mxyx，则直线PM的方程为0011yyxx，令2y，得00(,2)1xPy.……7分所以0101ykx，0200031211ykxxy，所以2200001222000031313113441yyyykkxxxy（定值）.…10分②由①知，00(,3)1xPBy，0000(,2)1xPMxyy，所以20000000200023212311xyxxPBPMxyyyyy=200000200412723211yyyyyyy．…13分（第4题图）令010,2ty，则8187ttPBPMttt，因为87ytt在(0,2)t上单调递减，所以8872792PBPMtt，即PBPM的取值范围为(9,)．……16分4.如图，已知椭圆12222byax（0＞＞ba）的左、右焦点为1F、2F，P是椭圆上一点，M在1PF上，且满足MPMF1（R），MFPO2，O为坐标原点.（1）若椭圆方程为14822yx，且），（22P，求点M的横坐标；（2）若2，求椭圆离心率e的取值范围.解：（1）22184xy12(2,0),(2,0)FF2122,2,24OPFMFMkkk直线2FM的方程为：2(2)yx，直线1FM的方程为：2(2)4yx…………4分由2(2)2(2)4yxyx解得：65x点M的横坐标为65…………6分（2）设00(,),(,)MMPxyMxy12FMMPuuuuruuurQ1002(,)(,)3MMFMxcyxcy00200212242(,),(,)333333MxcyFMxcy2POFM，00(,)OPxy2000242()0333xcxy即220002xycx…9分联立方程得：2200022002221xycxxyab，消去0y得：222222002()0cxacxaac，解得：0()aacxc或0()aacxc…12分0axa0()(0,)aacxac20aacac解得：12e，综上，椭圆离心率e的取值范围为1(,1)2．…15分5.如图，在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆C：)0(12222babyax的离心率21e，左顶点为)0,4(A，过点A作斜率为)0(kk的直线l交椭圆C于点D，交y轴于点E.（1）求椭圆C的方程;（2）已知P为AD的中点，是否存在定点Q，对于任意的)0(kk都有EQOP，若存在，求出点Q的坐标；若不存在说明理由;（3）若过O点作直线l的平行线交椭圆C于点M，求OMAEAD的最小值.解：（1）因为左顶点为(40)A，，所以4a，又12e，所以2c.…………………2分又因为22212bac，所以椭圆C的标准方程为2211612xy.…………………………4分（2）直线l的方程为(4)ykx，由2211612(4),xyykx，消元得，22[(4)]11612xkx.化简得，22(4)[(43)1612)]0xkxk，所以14x，222161243kxk.………………………6分当22161243kxk时，222161224(4)4343kkykkk，所以222161224,4343()Dkkkk.因为点P为AD的中点，所以P的坐标为2221612,4343()kkkk，则3(0)4OPkkk.…8分直线l的方程为(4)ykx，令0x，得E点坐标为(0,4)k，假设存在定点(,)(0)Qmnm，使得OPEQ，PDMAOxyE则1OPEQkk，即3414nkkm恒成立，所以(412)30mkn恒成立，所以412030mn，，即30mn，，因此定点Q的坐标为(3,0).…………………………………10分（3）因为OMl，所以OM的方程可设为ykx，由2211612xyykx，得M点的横坐标为24343xk，………12分由OMl，得2DAEADAMMxxxxxxADAEOMxx2222216121494343343483kkkkk…………14分2216)2(243343kk≥，当且仅当2264343kk即32k时取等号，所以当32k时，ADAEOM的最小值为22．…………………………16分6.如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆22221xyab(a＞b＞0)的两焦点分别为F1(3，0)，F2(3，0)，且经过点(3，12)．（1）求椭圆的方程及离心率；（2）设点B，C，D是椭圆上不同于椭圆顶点的三点，点B与点D关于原点O对称．设直线CD，CB，OB，OC的斜率分别为k1，k2，k3，k4，且k1k2k3k4．①求k1k2的值；②求OB2+OC2的值．解：（1）方法一：依题意，c3，a2b2+3，…………………………2分由2213413bb，解得b21(b234，不合，舍去)，从而a24．故所求椭圆方程为：2214xy．离心率e32．…5分方法二由椭圆的定义知，2a222211(33)(0)(33)(0)224，即a2．又因c3，故b21．下略．（2）①设B(x1，y1)，C(x2，y2)，则D(x1，y1)，于是k1k221212121yyyyxxxx12222221yyxx22212221(1)(1)44xxxx14．8分②方法一由①知，k3k4k1k214，故x1x2124yy．所以，(x1x2)2(4y1y2)2，即(x1x2)2221216(1)(1)44xx22221212164()xxxx，所以，2212xx4．………11分又222221212()()44xxyy222212124xxyy，故22121yy．所以，OB2+OC222221122xyxy5．………14分方法二由①知，k3k4k1k214．将直线yk3x方程代入椭圆2214xy中，得2123414xk．……………………9分同理，2224414xk．所以，22122234441414xxkk22334411414()4kk4．………11分下同方法一．7.如图，已知椭圆),0(1:2222babyaxM其率心率为,23两条准线之间的距离为CB,,338分别为椭圆M的上、下顶点，过点)0)(2,(ttT的直线TCTB,分别与椭圆M交于FE,两点.（1）椭圆M的标准方程；（2）若△TBC的面积是△TEF的面积的k倍，求k的最大值.解：（1）由题意23283,23caac，解得2,3ac，所以1b，椭圆方程为2214xy．…………………4分（2）解法一：12TBCSBCtt△，……………6分yxOF1F2BC（第17题）D直线TB方程为：11yxt，联立221411xyyxt，得284Etxt，所以22284,44ttEtt到:TC30xtyt的距离222222242444212994ttttttttdttt，直线TC方程为：31yxt，联立221431xyyxt，得22436Ftxt…8分所以2222436,