江苏省南通市平潮高中高二期末数学模拟试卷理科

高考帮——帮你实现大学梦想！1/202015-2016学年江苏省南通市平潮高中高二（下）期末数学模拟试卷（理科）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．1．若复数z=（x+i）（1+i）是纯虚数，其中x为实数，i为虚数单位，则z的共轭复数=．2．随机变量ξ的概率分布如表：ξ﹣101Pabc其中a，b，c成等差数列，则b=．3．用反证法证明命题“若a2+b2=0，则a，b全为0（a，b为实数）”，其反设为．4．若抛物线y2=8x的焦点F与双曲线﹣=1的一个焦点重合，则n的值为．5．已知直线l1：ax+（a+2）y+1=0，l2：ax﹣y+2=0．则“a=﹣3”是“l1∥l2”的条件．6．有4名优秀学生A，B，C，D全部被保送到甲，乙，丙3所学校，每所学校至少去一名，则不同的保送方案共有种．7．若圆柱的侧面积和体积的值都是12π，则该圆柱的高为．8．曲线y=x﹣cosx在点（，）处的切线方程为．9．二项式（﹣x2）10的展开式中的常数项是．10．设α，β，γ是三个不重合的平面，l是直线，给出下列四个命题：①若α⊥β，l⊥β，则l∥α；②若l⊥α，l∥β，则α⊥β；③若l上有两点到α的距离相等，则l∥α；④若α⊥β，α∥γ，则γ⊥β．其中正确命题的序号是．11．记等差数列{an}得前n项和为Sn，利用倒序相加法的求和办法，可将Sn表示成首项a1，末项an与项数的一个关系式，即Sn=；类似地，记等比数列{bn}的前n项积为Tn，bn＞0（n∈N*），类比等差数列的求和方法，可将Tn表示为首项b1，末项bn与项数的一个关系式，即公式Tn=．12．已知椭圆+=1（a＞b＞0），点A，B1，B2，F依次为其左顶点、下顶点、上顶点和右焦点，若直线AB2与直线B1F的交点恰在椭圆的右准线上，则椭圆的离心率为．13．已知可导函数f（x）（x∈R）的导函数f′（x）满足f′（x）＞f（x），则不等式ef（x）＞f（1）ex的解集是．高考帮——帮你实现大学梦想！2/2014．在平面直角坐标系xOy中，过点P（﹣5，a）作圆x2+y2﹣2ax+2y﹣1=0的两条切线，切点分别为M（x1，y1），N（x2，y2），且+=0，则实数a的值为．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知，圆C：x2+y2﹣8y+12=0，直线l：ax+y+2a=0．（1）当a为何值时，直线l与圆C相切；（2）当直线l与圆C相交于A、B两点，且AB=2时，求直线l的方程．16．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是平行四边形，平面PBD⊥平面ABCD，PB=PD，PA⊥PC，CD⊥PC，O，M分别是BD，PC的中点，连结OM．求证：（1）OM∥平面PAD；（2）OM⊥平面PCD．17．某校开设8门校本课程，其中4门课程为人文科学，4门为自然科学，学校要求学生在高中三年内从中选修3门课程，假设学生选修每门课程的机会均等．（1）求某同学至少选修1门自然科学课程的概率；（2）已知某同学所选修的3门课程中有1门人文科学，2门自然科学，若该同学通过人文科学课程的概率都是，自然科学课程的概率都是，且各门课程通过与否相互独立．用ξ表示该同学所选的3门课程通过的门数，求随机变量ξ的概率分布列和数学期望．18．如图所示，有一块半径长为1米的半圆形钢板，现要从中截取一个内接等腰梯形部件ABCD，设梯形部件ABCD的面积为y平方米．（I）设CD=2x（米），将y表示成x的函数关系式；（II）求梯形部件ABCD面积y的最大值．高考帮——帮你实现大学梦想！3/2019．如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆+=1（a＞b＞0）的两焦点分别为F1（﹣，0），F2（，0），且经过点（，）．（1）求椭圆的方程及离心率；（2）设点B，C，D是椭圆上不同于椭圆顶点的三点，点B与点D关于原点O对称．设直线CD，CB，OB，OC的斜率分别为k1，k2，k3，k4，且k1k2=k3k4．①求k1k2的值；②求OB2+OC2的值．20．已知函数f（x）=lnx﹣ax2+x．（1）若f（1）=0，求函数f（x）的单调减区间；（2）若关于x的不等式f（x）≤ax﹣1恒成立，求整数a的最小值；（3）若a=﹣2，正实数x1，x2满足f（x1）+f（x2）+x1x2=0，证明：x1+x2≥．数学附加题部分.本部分共4题，每小题0分，计40分．[选修4-2：矩阵与变换]21．在直角标系xOy中，点（2，﹣2）在矩阵M=（）对应变换作用下得到点（﹣2，4），曲线C：x2+y2=1在矩阵M对应变换作用下得到曲线C′，求曲线C′的方程．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合．若直线l的极坐标方程为ρcos（θ﹣）=3（1）把直线l的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）已知P为曲线C：=1上一点，求点P到直线l的距离的最小值．23．用数学归纳法证明：对一切大于1的自然数n，不等式成立．24．已知p（p≥2）是给定的某个正整数，数列{an}满足：a1=1，（k+1）ak+1=p（k﹣p）ak，其中k=1，2，3，…，p﹣1．（Ⅰ）设p=4，求a2，a3，a4；高考帮——帮你实现大学梦想！4/20（Ⅱ）求a1+a2+a3+…+ap．高考帮——帮你实现大学梦想！5/202015-2016学年江苏省南通市平潮高中高二（下）期末数学模拟试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．1．若复数z=（x+i）（1+i）是纯虚数，其中x为实数，i为虚数单位，则z的共轭复数=﹣2i．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数代数形式的乘法运算展开并整理，由复数为纯虚数求得x值，则z可求，可求．【解答】解：由z=（x+i）（1+i）=（x﹣1）+（x+1）i是纯虚数，得，即x=1，∴z=2i，则．故答案为：﹣2i．2．随机变量ξ的概率分布如表：ξ﹣101Pabc其中a，b，c成等差数列，则b=．【考点】离散型随机变量及其分布列．【分析】利用分布列的特征，概率和为1，以及等差数列求解即可．【解答】解：由题意可知：，可得b=．故答案为：．3．用反证法证明命题“若a2+b2=0，则a，b全为0（a，b为实数）”，其反设为a，b不全为0．【考点】反证法与放缩法．【分析】把要证的结论否定之后，即得所求的反设．【解答】解：用反证法证明命题的真假，先假设命题的结论不成立，所以用反证法证明命题“若a2+b2=0，则a，b全为0（a，b为实数）”，其反设为a，b不全为0，故答案为：a，b不全为0．高考帮——帮你实现大学梦想！6/204．若抛物线y2=8x的焦点F与双曲线﹣=1的一个焦点重合，则n的值为1．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求得抛物线的焦点为（2，0），由双曲线的a，b，c的关系，可得=2，解方程可得n=1．【解答】解：抛物线y2=8x的焦点F为（2，0），双曲线﹣=1的右焦点为（，0），由题意可得，=2，解得n=1，故答案为：1．5．已知直线l1：ax+（a+2）y+1=0，l2：ax﹣y+2=0．则“a=﹣3”是“l1∥l2”的充分不必要条件．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】对a分类讨论，利用两条直线相互平行与斜率之间的关系即可得出．【解答】解：当a=﹣2时，两条直线分别化为﹣2x+1=0，﹣2x﹣y+2=0，此时两条直线不平行，舍去，当a≠﹣2时，两条直线分别化为：y=﹣x﹣，y=ax+2，∵l1∥l2，∴﹣=a，﹣≠2，解得a=0，或a=﹣3，则“a=﹣3”是“l1∥l2”的充分不必要条件，故答案为：充分不必要．6．有4名优秀学生A，B，C，D全部被保送到甲，乙，丙3所学校，每所学校至少去一名，则不同的保送方案共有36种．【考点】排列、组合的实际应用．【分析】分两步进行，先把4名学生分为2﹣1﹣1的三组，再将3组对应3个学校，有A33=6种情况，进而由分步计数原理，计算可得答案．【解答】解：分两步进行，先把4名学生分为2﹣1﹣1的三组，有C42=6种分法，再将3组对应3个学校，有A33=6种情况，则共有6×6=36种保送方案．故答案为：36．7．若圆柱的侧面积和体积的值都是12π，则该圆柱的高为3．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．高考帮——帮你实现大学梦想！7/20【分析】设圆柱的底面半径为r，高为h，则2πrh=πr2h=12π，即可求出圆柱的高．【解答】解：设圆柱的底面半径为r，高为h，则2πrh=πr2h=12π，∴r=2，h=3，故答案为：3．8．曲线y=x﹣cosx在点（，）处的切线方程为2x﹣y﹣=0．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出函数的导数，求得切线的斜率，再由点斜式方程即可得到所求切线方程．【解答】解：y=x﹣cosx的导数为y′=1+sinx，即有在点（，）处的切线斜率为k=1+sin=2，则曲线在点（，）处的切线方程为y﹣=2（x﹣），即为2x﹣y﹣=0．故答案为：2x﹣y﹣=0．9．二项式（﹣x2）10的展开式中的常数项是45．【考点】二项式定理的应用．【分析】利用二项式的通项公式即可得出x的指数幂为0，即可得出r的值，就能够求解常数项．【解答】解：由通项公式Tr+1=（）r（﹣x2）10﹣r=（﹣1）10﹣r（x），令20﹣=0=0，解得r=8．∴常数项为T8=×（﹣1）2=45故答案为：45．10．设α，β，γ是三个不重合的平面，l是直线，给出下列四个命题：①若α⊥β，l⊥β，则l∥α；②若l⊥α，l∥β，则α⊥β；③若l上有两点到α的距离相等，则l∥α；④若α⊥β，α∥γ，则γ⊥β．其中正确命题的序号是②④．【考点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．【分析】根据直线与平面平行的判断定理及其推论对①、②、③、④四个命题进行一一判断；【解答】解：①错误，l可能在平面α内；②正确，l∥β，l⊂γ，β∩γ=n⇒l∥n⇒n⊥α，则α⊥β；高考帮——帮你实现大学梦想！8/20③错误，直线可能与平面相交；④∵α⊥β，α∥γ，⇒γ⊥β，故④正确．故答案为②④；11．记等差数列{an}得前n项和为Sn，利用倒序相加法的求和办法，可将Sn表示成首项a1，末项an与项数的一个关系式，即Sn=；类似地，记等比数列{bn}的前n项积为Tn，bn＞0（n∈N*），类比等差数列的求和方法，可将Tn表示为首项b1，末项bn与项数的一个关系式，即公式Tn=．【考点】类比推理．【分析】由等差和等比数列的通项和求和公式及类比推理思想可得结果，在运用类比推理时，通常等差数列中的求和类比等比数列中的乘积．【解答】解：在等差数列{an}的前n项和为Sn=，因为等差数列中的求和类比等比数列中的乘积，所以各项均为正的等比数列{bn}的前n项积Tn==，故答案为：12．已知椭圆+=1（a＞b＞0），点A，B1，B2，F依次为其左顶点、下顶点、上顶点和右焦点，若直线AB2与直线B1F的交点恰在椭圆的右准线上，则椭圆的离心率为．【考点】椭圆的简单性质．【分析】作简图，结合图象可得CD==（a+），从而解得．【解答】解：作简图如下，则=，=；即CD==（a+），即=1+；即（）2﹣﹣2=0；高考帮——帮你实现大学梦想！9/20即（﹣2）（+1）=0；故=2；故离心率e=；故答案为：．13．已知可导函数f（x）（x∈R）的导函数f′（x）满足f′（x）＞f（x），则不等式ef（x）＞f（1）ex的解集是（1，+∞）．【考点】导数的运算；其他不等式的解法．【分析】由题目要求解的不等式是ef（x）＞f（1）ex，变性后得：，由此想到构造函数g（x）=，求导后结合f'（x）＞f（x），可知函数g（x）是实数集上的增函数，然后利用函数的单调性可求得不等式的解集．【解答】解：令g（x）=，则=，因为f'（x）＞f（x），所以g′（x）＞0，所以，函数g（x）=为（﹣