江苏省扬州中学20172018年高一上月考数学试卷

第1页（共17页）2017-2018学年江苏省扬州中学高一（上）10月月考数学试卷一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．答案写在答题卡上）1．集合{x|0＜x＜3且x∈Z}的非空子集个数为．2．函数y=+的定义域是．3．定义在R上的奇函数f（x），当x＜0时，，则=．4．若函数f（x）=（p﹣2）x2+（p﹣1）x+2是偶函数，则实数p的值为．5．函数f（x）=﹣图象的对称中心横坐标为3，则a=．6．已知A={x|2a≤x≤a+3}，B=（5，+∞），若A∩B=∅，则实数a的取值范围为．7．已知集合A={﹣1，1}，B={x|mx=1}，且A∩B=B，则实数m的值为．8．函数f（x）是奇函数，g（x）是偶函数且f（x）+g（x）=（x≠±1），则f（﹣3）=．9．已知函数，若f（x）＜f（﹣1），则实数x的取值范围是．10．已知偶函数f（x）在[0，+∞）单调递减，f（2）=0，若f（x﹣1）＞0，则x的取值范围是．11．已知定义在R上的函数f（x）在[﹣4，+∞）上为增函数，且y=f（x﹣4）是偶函数，则f（﹣6），f（﹣4），f（0）的大小关系为（从小到大用“＜”连接）12．已知函数f（x）=x2+2x+a和函数，对任意x1，总存在x2使g（x1）=f（x2）成立，则实数a的取值范围是．13．设函数f（x）=（其中|m|＞1），区间M=[a，b]（a＜b），集合N={y|y=f（x），x∈M）}，则使M=N成立的实对数（a，b）有对．14．已知函数f（x）满足f（x+1）=f（x）+1，当x∈[0，1]时，f（x）=|3x﹣1|﹣1，若对任意实数x，都有f（x+a）＜f（x）成立，则实数a的取值范围是．第2页（共17页）二、解答题：（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．答案写在答题卡上）15．已知集合A={x||x﹣a|＜4}，B={x|x2﹣4x﹣5＞0}．（1）若a=1，求A∩B；（2）若A∪B=R，求实数a的取值范围．16．已知定义在R上的奇函数f（x），当x＞0时，f（x）=﹣x2+2x（Ⅰ）求函数f（x）在R上的解析式；（Ⅱ）若函数f（x）在区间[﹣1，a﹣2]上单调递增，求实数a的取值范围．17．已知函数f（x）=|x2﹣1|+x2+kx．（1）当k=2时，求方程f（x）=0的解；（2）若关于x的方程f（x）=0在（0，2）上有两个实数解x1，x2，求实数k的取值范围．18．学校欲在甲、乙两店采购某款投影仪，该款投影仪原价为每台2000元，甲店用如下方法促销：买一台价格为1950元，买两台价格为1900元，每多买台，每多买一台，则所买各台单价均再减50元，但最低不能低于1200元；乙店一律按原售价的80%促销．学校需要购买x台投影仪，若在甲店购买费用记为f（x）元，若在乙店购买费用记为g（x）元．（1）分别求出f（x）和g（x）的解析式；（2）当购买x台时，在哪家店买更省钱？19．设函数（其中a∈R）．（1）讨论函数f（x）的奇偶性，并证明你的结论；（2）若函数f（x）在区间[1，+∞）上为增函数，求a的取值范围．20．已知二次函数f（x）=ax2+bx+c（其中a≠0）满足下列3个条件：①f（x）的图象过坐标原点；②对于任意x∈R都有成立；③方程f（x）=x有两个相等的实数根，令g（x）=f（x）﹣|λx﹣1|（其中λ＞0），（1）求函数f（x）的表达式；（2）求函数g（x）的单调区间（直接写出结果即可）；（3）研究函数g（x）在区间（0，1）上的零点个数．第3页（共17页）第4页（共17页）2017-2018学年江苏省扬州中学高一（上）10月月考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．答案写在答题卡上）1．集合{x|0＜x＜3且x∈Z}的非空子集个数为3．【考点】16：子集与真子集．【分析】根据题意，用列举法表示集合A，可得集合A中元素的个数，进而由集合的元素数目与非空子集数目的关系，计算可得答案．【解答】解：集合A={x|0＜x＜3，x∈Z}={1，2}，有2个元素，则其非空子集有22﹣1=3个；故答案为：3．2．函数y=+的定义域是{x|x≥﹣3且x≠2}．【考点】33：函数的定义域及其求法．【分析】由题意可得，解不等式可求函数的定义域【解答】解：由题意可得∴x≥﹣3且x≠2故答案为：{x|x≥﹣3且x≠2}3．定义在R上的奇函数f（x），当x＜0时，，则=．【考点】3L：函数奇偶性的性质；3T：函数的值．【分析】利用函数奇偶性的定义和性质，先求f（﹣），然后求f（）即可．【解答】解：∵f（x）是奇函数，且当x＜0时，，∴f（﹣）=，第5页（共17页）又f（﹣）=﹣f（），∴f（）=﹣f（﹣）=﹣（）=．故答案为：．4．若函数f（x）=（p﹣2）x2+（p﹣1）x+2是偶函数，则实数p的值为1．【考点】3L：函数奇偶性的性质．【分析】当p=2时，函数f（x）显然不是偶函数．当p≠2时，函数是二次函数，对称轴为x=，由=0，求得p的值．【解答】解：当p=2时，函数f（x）=x+2，显然不是偶函数．当p≠2时，函数是二次函数，对称轴为x=，要使函数为偶函数，必须满足=0，即p=1，故答案为1．5．函数f（x）=﹣图象的对称中心横坐标为3，则a=﹣4．【考点】3O：函数的图象．【分析】分离变量，将解析式变为反比例函数式的形式，利用反比例函数的对称中心求a．【解答】解：f（x）=﹣=﹣1+，变形为f（x）+1=，∵y=的对称中心为（0，0），∴f（x）+1=的对称中心坐标为（﹣a﹣1，﹣1），∴﹣a﹣1=3，解得a=﹣4；故答案为：﹣4．6．已知A={x|2a≤x≤a+3}，B=（5，+∞），若A∩B=∅，则实数a的取值范围为（﹣∞，2]∪（3，+∞）．【考点】1C：集合关系中的参数取值问题．第6页（共17页）【分析】当A=∅时，2a＞a+3，解得a的取值范围．当A≠∅时，有2a≤a+3，且a+3≤5，解得a的取值范围．再把这两个a的取值范围取并集，即得所求．【解答】解：∵A={x|2a≤x≤a+3}，B=（5，+∞），若A∩B=∅，当A=∅时，2a＞a+3，解得a＞3．当A≠∅时，有2a≤a+3，且a+3≤5，解得a≤2．综上可得，实数a的取值范围为a≤2或a＞3，故答案为（﹣∞，2]∪（3，+∞）．7．已知集合A={﹣1，1}，B={x|mx=1}，且A∩B=B，则实数m的值为1，0，﹣1．【考点】1C：集合关系中的参数取值问题．【分析】由集合A={﹣1，1}，B={x|mx=1}={}，且A∩B=B，知B={1}，或B={﹣1}，或B=∅，故，或，或不存在，由此能求出实数m的值．【解答】解：∵集合A={﹣1，1}，B={x|mx=1}={}，且A∩B=B，∴B={1}，或B={﹣1}，或B=∅，∴，或，或不存在，解得m=1，或m=﹣1，或m=0．故答案为：1，0，﹣1．8．函数f（x）是奇函数，g（x）是偶函数且f（x）+g（x）=（x≠±1），则f（﹣3）=﹣．【考点】3L：函数奇偶性的性质．【分析】先由f（x）+g（x）=①得f（﹣x）+g（﹣x）=，再利用（x）是奇函数，g（x）是偶函数得到﹣f（x）+g（x）=②；①②相结合求出函数f（x）的解析式，把﹣3代入即可求出结果．【解答】解：因为f（x）+g（x）=①，所以f（﹣x）+g（﹣x）=，第7页（共17页）又因为f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，故可转化为﹣f（x）+g（x）=②①﹣②整理得：f（x）=（）．所以f（﹣3）=（）=﹣．故答案为﹣．9．已知函数，若f（x）＜f（﹣1），则实数x的取值范围是x＞﹣1．【考点】75：一元二次不等式的应用；3B：分段函数的解析式求法及其图象的作法．【分析】由已知，先计算出f（﹣1）=11，根据分段函数的意义，逐段求解，最后合并即可．【解答】解：f（﹣1）=11，当x≤0时，由x2﹣4x+6＜11，得出x2﹣4x﹣5＜0，解得﹣1＜x＜5，所以﹣1＜x≤0①当x＞0时，由﹣x+6＜11，得出x＞﹣5，所以x＞0②①②两部分合并得出数x的取值范围是x＞﹣1故答案为：x＞﹣1．10．已知偶函数f（x）在[0，+∞）单调递减，f（2）=0，若f（x﹣1）＞0，则x的取值范围是（﹣1，3）．【考点】3L：函数奇偶性的性质；3F：函数单调性的性质．【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系将不等式等价转化为f（|x﹣1|）＞f（2），即可得到结论．【解答】解：∵偶函数f（x）在[0，+∞）单调递减，f（2）=0，∴不等式f（x﹣1）＞0等价为f（x﹣1）＞f（2），即f（|x﹣1|）＞f（2），第8页（共17页）∴|x﹣1|＜2，解得﹣1＜x＜3，故答案为：（﹣1，3）11．已知定义在R上的函数f（x）在[﹣4，+∞）上为增函数，且y=f（x﹣4）是偶函数，则f（﹣6），f（﹣4），f（0）的大小关系为f（﹣4）＜f（﹣6）＜f（0）（从小到大用“＜”连接）【考点】3N：奇偶性与单调性的综合．【分析】根据y=f（x﹣4）为偶函数，可得函数y=f（x）的图象关于直线x=﹣4对称，故f（0），f（﹣4），f（﹣6）大小关系可转化为判断f（﹣8），f（﹣4），f（﹣6）大小关系，由函数y=f（x）在[﹣4，+∞）上为增函数，可得函数y=f（x）在（﹣∞，﹣4]上是减函数，进而得到答案．【解答】解：∵y=f（x﹣4）为偶函数，即有f（﹣x﹣4）=f（x﹣4），∴函数y=f（x）的图象关于直线x=﹣4对称，∴f（0）=f（﹣8），又由函数y=f（x）在[﹣4，+∞）上为增函数，故函数y=f（x）在（﹣∞，﹣4]上是减函数，故f（﹣8）＞f（﹣6）＞f（﹣4），即f（0）＞f（﹣6）＞f（﹣4），故答案为：f（﹣4）＜f（﹣6）＜f（0）．12．已知函数f（x）=x2+2x+a和函数，对任意x1，总存在x2使g（x1）=f（x2）成立，则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1]．【考点】3W：二次函数的性质；3R：函数恒成立问题．【分析】对于任意的x1，总存在x2使g（x1）=f（x2）成立成立，只需函数y=g（x）的值域为函数y=f（x）的值域的子集即可．【解答】解：若对任意的x1，总存在x2使g（x1）=f（x2）成立，只需函数y=g（x）的值域为函数y=f（x）的值域的子集．∵在[﹣1，+∞）上单调递增第9页（共17页）∴g（x）≥﹣2∵f（x）=x2+2x+a=（x+1）2+a﹣1∴f（x）≥a﹣1∴a﹣1≤﹣2∴a≤﹣1故答案为：（﹣∞，﹣1]13．设函数f（x）=（其中|m|＞1），区间M=[a，b]（a＜b），集合N={y|y=f（x），x∈M）}，则使M=N成立的实对数（a，b）有1或3对．【考点】19：集合的相等．【分析】先判断函数f（x）是奇函数，进而从认知集合切入．这里的集合N为函数f（x），（x∈M）的值域．注意到f（x）的表达式中含有|x|，为求f（x）的值域，先将f（x）化为分段函数的形式，以便于化整为零，逐段分析．最后综合讨论结果，可得答案．【解答】解：由函数f（x）=（x∈R），可得f（﹣x）==﹣=﹣f（x），故函数f（x）是奇函数．当x=0时，f（0）=0，当x≠0时，f（x）=，当m＜﹣1时，若x＞0，f（x）=为减函数，若x＜0，f（x）=为减函数，故函数f（x）在区间[a，b]上为减函数，若M=N，则f（a）=b，且f（b）=a，由点（a，b）与点（b，a）关于y=x对称，则a＜0＜b，∴f（﹣a）=﹣f（a）=﹣b，若b＜﹣a，则f（b）＞f（﹣a），a＞﹣b，﹣a＜b矛盾，若b＞﹣a，则f（b）＜f（﹣a），a＜﹣b，﹣a＞b矛盾，第10页（共17页）故b=﹣a，x＞0时，f（x）=﹣x，即=﹣x，解得x=﹣1﹣m＞0，x＜0时，f（x）=﹣x，即=﹣x，解得x=1+m＜0，故M=[1+m，﹣1﹣m]，当m＞1时，若x＞0，f（x）=为增函数，若x＜0，f（x）=为增函数，故函数f（x）