江西省景德镇一中20182019学年高二上学期期末考试数学文试题解析版

江西省景德镇一中2018-2019学年高二上学期期末考试数学（文）试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.下列命题中的假命题是()A.存在x∈R，log2x=0B.存在x∈R，ex=1C.任意x∈R，cosx+10D.任意x∈R，exx【答案】C【解析】解：存在x∈R，例如x=1，log2x=0，所以A正确；存在x∈R，ex=1，例如x=0，可知，B正确；任意x∈R，cosx+10，x=π时，不成立，所以C不正确；任意x∈R，exx，如图：，所以D正确；故选：C．利用全称命题以及特称命题判断真假即可．本题考查命题的真假的判断与应用，全称命题与特称命题的真假的判断，是基本知识的考查．2.已知函数f(x)=23x3+ax2在x=2处取得极值，则实数a=()A.−2B.1C.0D.−1【答案】A【解析】解：f′(x)=2x2+2ax，∵f(x)在x=2处取得极值，∴8+4a=0，∴a=−2．故选：A．先求f′(x)，根据极值的概念即可求出a即可．考查极值的概念以及导函数在极值点处的取值情况．3.如图所示的程序框图，若输入的x值为1，则输出的y值为()A.32B.0C.1D.32或0【答案】C【解析】解：模拟程序框图的运行过程如下，输入x=1，x1，否；x1，否；则y=1，即输出y=1．故选：C．模拟程序框图的运行过程，即可得出输入x=1时输出的y值．本题考查了程序框图的应用问题，是基础题．4.已知函数f(x)=x2−5x+2lnx，则函数f(x)的单调递减区间是()A.(0,12)和(1,+∞)B.(0,1)和(2,+∞)C.(0,12)和(2,+∞)D.(12,2)【答案】D【解析】解：函数f(x)=x2−5x+2lnx，其定义域{x|x0}，则f′(x)=2x−5+2×1x=2x2−5x+2x，令f′(x)=0，可得x1=12，x2=2，当x∈(12,2)时，f′(x)0，∴函数f(x)在(12,2)是单调递减．故选：D．利用导函数的符号，研究原函数的单调性，求解即可．本题考查函数的单调区间的求法，考查导数的应用，考查运算能力，属于中档题．5.中心在坐标原心、焦点在x轴，且长轴长为18、焦距为12的椭圆的标准方程为()A.x281+y272=1B.x281+y29=1C.x281+y245=1D.x281+y236=1【答案】C【解析】解：中心在坐标原心、焦点在x轴，且长轴长为18、焦距为12，可得a=9，c=6，则b=√81−36=√45．所求的椭圆方程为：x281+y245=1．故选：C．利用已知条件求出a，c，得到b，然后求解椭圆方程即可．本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查．6.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a0,b0)的一条渐近线方程为y=43x，则双曲线的离心率为()A.53B.√213C.54D.√72【答案】A【解析】解：∵双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，∴设双曲线的方程为x2a2−y2b2=1，(a0,b0)由此可得双曲线的渐近线方程为y=±bax，结合题意一条渐近线方程为y=43x，得ba=43，设b=4t，a=3t，则c=√a2+b2=5t(t0)∴该双曲线的离心率是e=ca=53．故选：A．由题意设出双曲线的方程，得到它的一条渐近线方程y=bax即y=43x，由此可得b：a=4：3，结合双曲线的平方关系可得c与a的比值，求出该双曲线的离心率．本题给出双曲线的一条渐近线方程，求双曲线的离心率，着重考查了双曲线的标准方程、基本概念和简单几何性质等知识，属于基础题．7.已知定义在区间[−3,3]上的函数f(x)=2x+m满足f(2)=6，在[−3,3]上任取一个实数x，则使得f(x)的值不大于3的概率为()A.56B.12C.13D.16【答案】B【解析】解：由题意，22+m=6，∴m=2，2x+2≤3，∴x≤0，∵在[−3,3]上随机取一个实数x，∴−3≤x≤0，∴所求概率为0+33+3=12，故选：B．以长度为测度，根据几何概型的概率公式即可得到结论．本题主要考查几何概型的概率的计算，根据对数的性质是解决本题的关键．8.设x，y满足约束条件{8x−y−4≤0x+y+1≥0y−4x≤0，目标函数z=ax+by(a0,b0)的最大值为2，则1a+1b的最小值为()A.5B.52C.92D.9【答案】C【解析】解：不等式表示的平面区域如图所示阴影部分，当直线ax+by=z(a0,b0)过直线8x−y−4=0与y=4x的交点B(1,4)时，目标函数z=ax+by(a0,b0)取得最大2，即a+4b=2，则1a+1b=12(a+4b)(1a+1b)=12(5+4ba+ab)≥12(5+4)=92；当且仅当a=2b时等号成立；故选：C．先根据条件画出可行域，设z=ax+by，再利用几何意义求最值，将最大值转化为y轴上的截距，只需求出直线z=ax+by，过可行域内的点(1,4)时取得最大值，从而得到一个关于a，b的等式，最后利用基本不等式求最小值即可本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用、简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于中档题．9.命题p：“∃x0∈[0,π4]，sin2x0+cos2x0a”是假命题，则实数a的取值范围是()A.a1B.a√2C.a≥1D.a≥√2【答案】D【解析】解：“∃x0∈[0,π4]，sin2x0+cos2x0a”是假命题，即∀x∈[0,π4]，sin2x+cos2x≤a是真命题，由sin2x+cos2x=√2sin(2x+π4)≤a，得：sin(2x+π4)≤a√2，由x∈[0,π4]得：2x+π4∈[π4,3π4]，故sin(2x+π4)的最大值是1，故只需a√2≥1，解得：a≥√2，故选：D．特称命题转化为全称命题，求出sin(2x+π4)的最大值，从而求出a的范围即可．本题考查了特称命题转化为全称命题，考查三角函数问题，是一道中档题．10.若点P是曲线y=x2−1nx上任一点，则点P到直线y=x−1的最小距离是()A.√2B.1C.√22D.√3【答案】C【解析】解：∵点P是曲线y=x2−lnx上的任意一点，求点P到直线y=x−1的最小距离，∴y′=2x−1x(x0)，令y′=2x−1x=1，解得x=1或x=−12(舍去)，∴x=1，当x=1，y=1，点p(1,1)，此时点p到直线y=x−1的最小距离dmin=|1−1−1|√2=√22．故选：C．对曲线y进行求导，求出点p的坐标，分析知道过点p直线与直线y=x−1平行且与曲线相切于点p，从而求出p点坐标，根据点到直线的距离进行求解；此题主要考查导数研究曲线上某点的切线方程以及点到直线的距离公式，利用了导数与斜率的关系，这是高考常考的知识点，此题是一道基础题；11.定义在R上的函数f(x)满足f(4)=1，f′(x)为f(x)的导函数，已知函数y=f′(x)的图象如图所示.若正数a，b满足f(2a+b)1，则a+2b+2的取值范围是()A.(13,2)B.(−∞,12)∪(3,+∞)C.(12,3)D.(−∞,3)【答案】A【解析】解：由图可知，当x0时，导函数0'/，原函数单调递增∵两正数a，b满足f(2a+b)1，∴02a+b4，∴b4−2a，0a2∴b+2a+24−2a+2a+2=10−(2a+4)a+2=−2+10a+2∵0a2，∴12−2+10a+23，从而13a+2b+22故选：A．先根据导函数的图象判断原函数的单调性，从而确定a、b的范围得到答案本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减12.函数g(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(2)=0，当x0时，xg(x)−f(x)0，则使得f(x)0成立的x的取值范围是()A.(−∞,−2)∪(0,2)B.(0,2)∪(2,+∞)C.(−∞,−2)∪(−2,0)D.(−2,0)∪(2,+∞)【答案】D【解析】解：构造函数𝐹(𝑥)=𝑓(𝑥)𝑥，则𝐹(𝑥)为偶函数且𝑥≠0，求导数可得𝐹′(𝑥)=𝑥𝑓′(𝑥)−𝑓(𝑥)𝑥2=𝑥𝑔(𝑥)−𝑓(𝑥)𝑥2，∵当𝑥0时，𝑥𝑔(𝑥)−𝑓(𝑥)0，∴𝐹′(𝑥)0，∴函数𝐹(𝑥)在(0,+∞)单调递减，由函数为偶函数可得𝐹(𝑥)在(−∞,0)单调递增，由𝑓(2)=0，可得𝐹(,2)=0，∴𝑓(𝑥)0⇔𝑥𝐹(𝑥)0⇔{𝐹(𝑥)0𝑥0或{𝐹(𝑥)0𝑥0，解得𝑥∈(−2,0)∪(2,+∞)．故选：D．由题意构造函数𝐹(𝑥)=𝑓(𝑥)𝑥，求导后可知函数𝐹(𝑥)在(0,+∞)单调递减，再由奇偶性可得𝐹(𝑥)在(−∞,0)单调递增，把𝑓(𝑥)0转化为{𝐹(𝑥)0𝑥0或{𝐹(𝑥)0𝑥0求解．本题考查函数的单调性和导数的关系，构造函数并利用函数的性质是解决问题的关键，属中档题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知x、y的取值如表所示：x0134y2.24.34.86.7从散点图分析，y与x线性相关，且𝑦^=0.95𝑥+𝑎，则𝑎=______．【答案】2.6【解析】解：根据表中数据得：𝑥−=2,𝑦−=14×(2.2+4.3+4.8+6.7)=92；又由回归方程知回归方程的斜率为0.95；∴截距𝑎=92−0.95×2=2.6．故答案为：2.6．根据表中的数据可以分别求出变量x，y的算术平均值，而根据回归方程知道直线的斜率为0.95，然后带入求截距的公式即可求出a．考查线性相关的概念，回归方程中直线的斜率和截距的计算公式，以及变量的算术平均值的计算．14.设椭圆C：𝑥236+𝑦29=1的左、右焦点分别为𝐹1，𝐹2，A是C上任意一点，则△𝐴𝐹1𝐹2的周长为______【答案】12+6√3【解析】解：根据题意，椭圆C：𝑥236+𝑦29=1，其中𝑎=6，𝑏=3，则𝑐=√36−9=3√3，A是C上任意一点，则△𝐴𝐹1𝐹2的周长𝑙=|𝐴𝐹1|+|𝐴𝐹2|+|𝐹1𝐹2|=2𝑎+2𝑐=12+6√3；故答案为：12+6√3．根据题意，由椭圆的方程求出a、b的值，计算可得c的值，而△𝐴𝐹1𝐹2的周长𝑙=|𝐴𝐹1|+|𝐴𝐹2|+|𝐹1𝐹2|，计算可得答案．本题考查椭圆的定义，注意由椭圆的方程求出a、c的值.然后求解即可．15.函数𝑓(𝑥)=𝑥2−𝑥l𝑛𝑥+2过原点的切线方程为______．【答案】𝑦=(3−𝑙𝑛2)𝑥【解析】解：设切点(𝑚,𝑓(𝑚))，可得，所以切线斜率𝑘=2𝑚−𝑙𝑛𝑚−1=𝑚2−𝑚𝑙𝑛𝑚+2𝑚，可得𝑚2−𝑚−2=0，解得𝑚=2，𝑚=−1(舍去)切线的斜率为：3−𝑙𝑛2．所以函数𝑓(𝑥)图象上的点𝑃(2,6−2𝑙𝑛2)处的切线方程为𝑦=(3−𝑙𝑛2)𝑥，故答案为：𝑦=(3−𝑙𝑛2)𝑥．求出切点坐标，利用导数的几何意义求切线斜率，然后利用点斜式方程求切线方程．本题主要考查导数的基本运算以及导数的几何意义，要求熟练掌握常见函数的导数公式．16.已知函数𝑓(𝑥)=𝑥2+2𝑥，𝑔(𝑥)=(12)𝑥+𝑚.若∀𝑥1∈[1,2]，∃𝑥2∈[−1,1]使𝑓(𝑥1)≥𝑔(𝑥2)，则实数m的取值范围是______．【答案】𝑚≤52【解析】解：𝑥∈[1,2]时，𝑓(𝑥)=𝑥2+2𝑥，𝑓′(𝑥)=2𝑥−2𝑥2=2(𝑥3−1)𝑥2≥0，∴𝑓(𝑥)为递增函数，𝑓(𝑥)𝑚𝑖𝑛=𝑓(1)=1+2=3，𝑔(𝑥)=(12)𝑥+𝑚在[−1,1]上是递减函数，∴𝑔(𝑥)𝑚𝑖𝑛=(12)1+𝑚=12+𝑚，∴∀𝑥1∈[1,2]，∃𝑥2∈[−1,1]使𝑓(𝑥1)≥