河北省张家口市20182019学年高二上学期期末考试数学理试题解析版

河北省张家口市2018-2019学年高二上学期期末考试数学（理）试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.从已经编号的180(1～180)名学生中抽取20人进行调查，采用系统抽样法.若第1组抽取的号码是2，则第10组抽取的号码是()A.74B.83C.92D.96【答案】B【解析】解：样本间隔为180÷20=9，第10组抽取的号码是2+9×9=83，故选：B．求出样本间隔，结合系统抽样的定义进行求解即可．本题主要考查系统抽样的应用，求出样本间隔是解决本题的关键．2.命题“∃𝑥0∈𝑅，𝑒𝑥0≤log2𝑥0+𝑥02”的否定是()A.“∃𝑥0∈𝑅，𝑒𝑥0log2𝑥0+𝑥02B.“∃𝑥0∈𝑅，𝑒𝑥0≥log2𝑥0+𝑥02C.∀𝑥∈𝑅，𝑒𝑥≤log2𝑥+𝑥2D.∀𝑥∈𝑅，𝑒𝑥log2𝑥+𝑥2【答案】D【解析】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以：命题“∃𝑥0∈𝑅，𝑒𝑥0≤log2𝑥0+𝑥02”的否定是：∀𝑥∈𝑅，𝑒𝑥log2𝑥+𝑥2．故选：D．直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．本题考查命题的否定.特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查．3.甲在微信群中发布5元“拼手气”红包一个，被乙、丙、丁三人依次抢完.若三人均领到整数元，且每人至少领到1元，则乙获得“手气最佳”(即乙领取的钱数不少于丙、丁)的概率是()A.12B.13C.14D.16【答案】A【解析】解：如下图，利用隔板法，得到共计有𝑛=𝐶42=6种领法，乙领2元获得“最佳手气”的情况有2种，乙领3元获得“最佳手气”的情况有1种，乙获得“最佳手气”的情况总数𝑚=3，∴乙获得“最佳手气”的概率𝑝=𝑚𝑛=36=12．故选：A．利用隔板法得到共计有𝑛=𝐶42=6种领法，乙获得“最佳手气”的情况总数𝑚=3，由此能求出乙获得“最佳手气”的概率．本题考查概率的求法，考查隔板法等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．4.对甲、乙两个大学生一周内每天的消费额进行统计，得到样本的茎叶图，如图所示，则下列判断错误的是()A.甲消费额的众数是57，乙消费额的众数是63B.甲消费额的中位数是57，乙消费额的中位数是56C.甲消费额的平均数大于乙消费额的平均数D.甲消费额的方差小于乙消费额的方差【答案】D【解析】解：由茎叶图可得：对于A，甲组数据中的众数为57，乙组数据中的众数为63，可得正确；对于B，甲消费额的中位数是57，乙消费额的中位数是56，可得正确；对于C，甲=17(40+53+57+57+60+62+63)=56，乙=17(45+47+52+56+59+63+63)=55，可得甲乙，可得正确；对于D，𝑆甲2=17[(40−56)2+(53−56)2+(57−56)2+(57−56)2+(60−56)2+(62−56)2+(63−56)2]=52.5858，𝑆乙2=17[(45−55)2+(47−55)2+(52−55)2+(56−55)2+(59−55)2+(63−55)2+(63−55)2]=45.428，可得：𝑆甲2𝑆乙2，可得甲消费额的方差大于乙消费额的方差，故D错误；故选：D．由茎叶图计算两组的众数，中位数，平均数，方差即可得解．本题考查茎叶图的应用，考查数据的几个常见的量，本题是一个基础题，解题时注意对于数据的个数不要弄丢数据，属于基础题．5.抛物线C：𝑦2=16𝑥的焦点为F，点M为C上第一象限内一点，|𝑀𝐹|=8，y轴上一点N位于以MF为直径的圆上，则N的纵坐标为()A.2B.3C.4D.5【答案】C【解析】解：抛物线C：𝑦2=16𝑥的焦点为𝐹(4,0)，点M为C上第一象限内一点，|𝑀𝐹|=8，y轴上一点N位于以MF为直径的圆上，即(𝑥−4)2+(𝑦−4)2=16，𝑥=0时，𝑦=4．故选：C．利用已知条件，求出圆的方程，然后求解即可．本题考查抛物线的简单性质的应用，是基本知识的考查．6.已知𝑎∈𝑅，函数𝑓(𝑥)=𝑎𝑒𝑥−1−𝑥ln𝑥的图象在点(1,𝑓(1))处的切线为l，则l在y轴上的截距为()A.−2B.−1C.2D.1【答案】D【解析】解：函数𝑓(𝑥)=𝑎𝑒𝑥−1−𝑥ln𝑥，可得𝑓′(𝑥)=𝑎𝑒𝑥−1−ln𝑥−1，切线的斜率为：𝑘=𝑓′(1)=𝑎−1，切点坐标(1,𝑎)，切线方程l为：𝑦−𝑎=(𝑎−1)(𝑥−1)，l在y轴上的截距为：𝑎+(𝑎−1)(−1)=1．故选：D．求出函数的导数，然后求解切线斜率，求出切点坐标，然后求解切线方程，推出l在y轴上的截距．本题考查曲线的切线方程的求法，考查转化思想以及计算能力．7.已知双曲线C：𝑥2𝑎2−𝑦24=1(𝑎0)的一个焦点和抛物线𝑦2=−8√3𝑥的焦点相同，则双曲线C的渐近线方程为()A.𝑦=±√24𝑥B.𝑦=±√22𝑥C.𝑦=±√2𝑥D.𝑦=±𝑥【答案】B【解析】解：抛物线𝑦2=−8√3𝑥的焦点(−2√3,0)，双曲线C：𝑥2𝑎2−𝑦24=1(𝑎0)的一个焦点和抛物线𝑦2=−8√3𝑥的焦点相同，可得𝑐=2√3，可得𝑎2+4=12，解得𝑎=2√2，所以双曲线C的渐近线方程：𝑦=±√22𝑥.故选：B．求出双曲线的焦点坐标与抛物线的焦点坐标，然后求解即可．本题考查双曲线以及抛物线的简单性质的应用，考查计算能力．8.正方体𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1中，O为底面ABCD的中心，则直线𝑂𝐷1与平面𝑂𝐴1𝐵1所成角的正弦值为()A.2√3015B.√10515C.2√55D.√55【答案】A【解析】解：正方体𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1中，O为底面ABCD的中心，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，𝐷𝐷1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1中棱长为2，则𝑂(1,1，0)，𝐷1(0,0，2)，𝐴1(2,0，2)，𝐵1(2,2，2)，𝑂𝐷1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(−1,−1,2)，𝑂𝐴1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(1,−1,2)，𝑂𝐵1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(1,1，2)，设平面𝑂𝐴1𝐵1的法向量𝑛⃗⃗=(𝑥,y，𝑧)，则{𝑛⃗⃗⋅𝑂𝐴1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝑥−𝑦+2𝑧=0𝑛⃗⃗⋅𝑂𝐵1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝑥+𝑦+2𝑧=0，取𝑧=1，得𝑛⃗⃗=(−2,0，1)，设直线𝑂𝐷1与平面𝑂𝐴1𝐵1所成角为𝜃，则sin𝜃=|𝑂𝐷1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝑛⃗⃗||𝑂𝐷1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|⋅|𝑛⃗⃗|=4√6⋅√5=2√3015．∴直线𝑂𝐷1与平面𝑂𝐴1𝐵1所成角的正弦值为2√3015．故选：A．以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，𝐷𝐷1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线𝑂𝐷1与平面𝑂𝐴1𝐵1所成角的正弦值．本题考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．9.函数𝑓(𝑥)=𝑥3−3𝑎𝑥2+𝑏𝑥−2𝑎2在𝑥=2时有极值0，那么𝑎+𝑏的值为()A.14B.40C.48D.52【答案】B【解析】解：函数𝑓(𝑥)=𝑥3−3𝑎𝑥2+𝑏𝑥−2𝑎2，，若在𝑥=2时有极值0，可得，则{12−12𝑎+𝑏=08−12𝑎+2𝑏−2𝑎2=0，解得：𝑎=2，𝑏=12.或𝑎=4，𝑏=36，当𝑎=4，𝑏=36时，，满足题意函数𝑓(𝑥)=𝑥3−3𝑎𝑥2+𝑏𝑥−2𝑎2在𝑥=2时有极值0．当𝑎=2，𝑏=12时，，不满足题意：函数𝑓(𝑥)=𝑥3−3𝑎𝑥2+𝑏𝑥−2𝑎2在𝑥=2时有极值0．∴𝑎+𝑏=40．故选：B．，若在𝑥=−1时有极值0，可得，解得a，b，并且验证即可得出．本题考查了利用导数研究函数的极值、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10.执行如图所示的程序框图，若输入的𝑛=8，则输出的s，k依次是()A.15，4B.15，5C.31，6D.31，7【答案】A【解析】解：模拟程序的运行，可得𝑛=8，𝑖=1，𝑠=0，𝑘=0第1次执行循环体，𝑟=0，𝑠=1，𝑘=1，𝑖=2第2次执行循环体，𝑟=0，𝑠=3，𝑘=2，𝑖=3第3次执行循环体，𝑟=2，𝑖=4第4次执行循环体，𝑟=0，𝑠=7，𝑘=3，𝑖=5第5次执行循环体，𝑟=3，𝑖=6第6次执行循环体，𝑟=2，𝑖=7第7次执行循环体，𝑟=1，𝑖=8第8次执行循环体，𝑟=0，𝑠=15，𝑘=4，𝑖=9此时，满足条件𝑖8，退出循环，输出s，k的值分别为：15，4．故选：A．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量s，k的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．11.已知双曲线C：𝑥2−𝑦24=1，P是双曲线C上不同于顶点的动点，经过P分别作曲线C的两条渐近线的平行线，与两条渐近线围成平行四边形OAPB，则四边形OAPB的面积是()A.2B.1C.√52D.√5【答案】B【解析】解：设𝑃(𝑚,𝑛)，则4𝑚2−𝑛2=4，设PA和渐近线𝑦=2𝑥平行，PB和渐近线𝑦=−2𝑥平行，由PA：𝑦=2(𝑥−𝑚)+𝑛，PB：𝑦=−2(𝑥−𝑚)+𝑛，且PA和渐近线𝑦=2𝑥的距离为𝑑=|𝑛−2𝑚|√5，由𝑦=2𝑥和𝑦=−2(𝑥−𝑚)+𝑛，求得𝐵(2𝑚+𝑛4,2𝑚+𝑛2)，可得|𝑂𝐵|=√54|2𝑚+𝑛|，即有四边形OAPB的面积是𝑑|𝑂𝐵|=|𝑛−2𝑚|√5⋅√54|2𝑚+𝑛|=14⋅|4𝑚2−𝑛2|=14⋅4=1．故选：B．设𝑃(𝑚,𝑛)，则4𝑚2−𝑛2=4，求得渐近线方程，设出PA，PB的方程，运用点到直线的距离公式求得渐近线𝑦=2𝑥和PA的距离，以及B的坐标，再由平行四边形的面积公式，计算可得所求值．本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程的运用，考查点到直线的距离公式和化简运算能力，属于中档题．12.已知抛物线C：𝑦2=4𝑥，过点𝑃(2,0)的直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，设𝑄(−2,0)，𝜆=|𝑄𝑀||𝑄𝑁|，且𝜆∈[12,1)∪(1,2]时，则直线MN斜率的取值范围是()A.(−∞,−2]∪[2,+∞)B.(−∞,−3]∪[3,+∞)C.[−2,0)∪(0,2]D.[−3,0)∪(0,3]【答案】A【解析】解：设直线l的方程为𝑥=𝑚𝑦+2，则𝑚≠0，设点𝑀(𝑥1,𝑦1)、𝑁(𝑥2,𝑦2).将直线l的方程与抛物线C的方程联立{𝑦2=4𝑥𝑥=𝑚𝑦+2，消去x得，𝑦2−4𝑚𝑦−8=0，由韦达定理得{𝑦1𝑦2=−8𝑦1+𝑦2=4𝑚．∵1𝑘𝑀𝑄+1𝑘𝑁𝑄=𝑥1+2𝑦1+𝑥2+2𝑦2=𝑦124+2𝑦1+𝑦224+2𝑦2=𝑦14+2𝑦1+𝑦24+2𝑦2=𝑦1+𝑦24+2(𝑦1+𝑦2)𝑦1𝑦2=4𝑚4+2×4𝑚−8=0．所以，𝑘𝑀𝑄+𝑘𝑁𝑄=0，所以，x轴为∠𝑀𝑄𝑁的角平分线，∴𝜆=|𝑄𝑀||𝑄𝑁|=|𝑃𝑀||𝑃𝑁|=−𝑦1𝑦2，所以，𝑦1=−𝜆𝑦2.①将①式代入韦达定理得𝑦1+𝑦2=(1−𝜆)𝑦2=4𝑚，∴𝑦2=4𝑚1−𝜆.②𝑦1𝑦2=−𝜆𝑦22=−8，则𝑦22=16𝑚2(1−𝜆)2=8𝜆，所以，𝑚2=(1−𝜆)22𝜆=12(𝜆+1𝜆−2)，∵𝜆∈[12,1)∪(1,2]