河北省石家庄市第一中学20132014学年高二数学上学期期中试题理新人教A版高中数学练习试题

-1-河北省石家庄市第一中学2013-2014学年高二数学上学期期中试题理新人教A版第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合211{|log,2},{|(),01}22xAyyxxByyx，则AB为A．)21,0(B．(0,2)C．),21(D．1(,1)22．已知(,)2，3tan4，则sin()等于A．35B．35C．45D．453．已知函数123,1,()log,1.xxfxxx若30xf，则0x的取值范围是A．80xB．001x或80xC．800xD．-100x或800x．4．已知10.20.7321.5,1.3,()3abc，则,,abc的大小关系为A．cabB．cbaC．abcD．acb5．平面外有两条直线m和n，如果m和n在平面内的射影分别是m和n，给出下列四个命题：①mnmn；②mnmn；③m与n相交m与n相交或重合；④m与n平行m与n平行或重合．其中不正确的命题个数是Ａ．1Ｂ．2Ｃ．3Ｄ．46．直线1cossinyx与圆9)1(22yx的公共点的个数为（）A．0、1或2B．2C．1D．07．设点P、Q为ABC边或内部的两点，且2155APABAC，AQ=23AB+13AC，则ABP的面积与ABQ的面积之比为A．15B．35C．14D．138．在△ABC中，角,,ABC的对边分别为,,abc，已知274sincos222ABC，且7c，则△ABC的面积的最大值为-2-A．734B．34C．738D．389．已知A、B、C是圆O：221xy上三点，且OAOBOC，则ABOAA．23B．23C．23D．2310．设离心率为e的双曲线2222:1(0,0)xyCabab的右焦点为F，直线l过焦点F，且斜率为k，则直线l与双曲线C的左、右两支都相交的充要条件是A．221keB．221keC．221ekD221ek11．有下面四个判断：①命题：“设a、bR，若6ab，则33ab或”是一个假命题；②若“p或q”为真命题，则p、q均为真命题；③命题“a、22,2(1)bRabab”的否定是：“a、22,2(1)bRabab”；④若函数2()ln()1fxax的图象关于原点对称，则3a，其中正确的个数共有（）A．0个B．1个C．2个D．3个12．已知双曲线2213yx上存在两点,MN关于直线yxm对称，且MN的中点在抛物线29yx上，则实数m的值为A．4B．4C．0或4D．0或4第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为＊＊＊．14．执行如图的程序框图，如果输入的N是6，那么输出的p是＊＊＊．-3-15．设1m，在约束条件1yxmxyxy下，目标函数yxz5的最大值为4，则m的值为__＊＊＊___．三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤．17．（本小题满分10分）设命题p：实数x满足03422aaxx)0(a；命题:q实数x满足0608222xxxx，若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围？18．（本小题满分12分）已知公差不为０的等差数列{}na的前n项和为nS，346Sa=+，且1413,,aaa成等比数列．（Ⅰ）求数列{}na的通项公式；（Ⅱ）求数列1{}nS的前n项和公式．19．（本小题满分12分）已知O为坐标原点，2(2sin,)OAaxa，(1,23sincos1)OBxx，()fxOAOBb（ab且0a）．（1）求()yfx的单调递增区间；（2）若()fx的定义域为[,]2，值域[2,5]，求,ab的值．-4-20．（本小题满分12分）如图，设P是圆2522yx上的动点，点D是P在x轴上的投影，M为PD上一点，且PDMD54．（1）当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程；（2）求过点)0,3(且斜率为54的直线被C所截线段的长度．21．（本小题满分12分）如图，在四棱锥ABCDP中，PC底面ABCD，ABCD是直角梯形，ADAB，CDAB//，222CDADAB．E是PB的中点．（1）求证：平面EAC⊥平面PBC；（2）若二面角EACP的余弦值为63，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．22．（本小题满分12分）已知椭圆22122:10xyCabab的右焦点与抛物线22:4Cyx的焦点F重合，椭圆1C与抛物线2C在第一象限的交点为P，53PF．（1）求椭圆1C的方程；（2）若过点1,0A的直线与椭圆1C相交于M、N两点，求使FMFNFR成立的动点R的轨迹方程；（3）若点R满足条件（2），点T是圆2211xy上的动点，求RT的最大值．13.DACEPB-5-14.、72015.316.①③④17.解：由命题p得(3)()0xaxa，由命题q得2228042,2323,60xxxxxxxx或由此分析，只有0a才可能，所以对于p：3axa设(,3),2,3AaaBp是q的必要不充分条件故AB，23aa且3又0a，故12a18.-6-所以数列1{}nS的前n项和为2354(1)(2)nnnn+++.…………………12分19.解：（1）2()2sin23sincosfxOAOBbaxaxxab2sin(2)26axab。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。2分当0a时，由3222,()262kxkkz，得()yfx的单调递增区间为2[,],()63kkkz。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。4分当0a时，222,()262kxkkz，得()yfx的单调递增区间[,],()36kkkz。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。6分（2）()2sin(2)26fxaxab，[,]2x，71312[,],sin(2)[1,]66662xx。。。。。。。。。。。。。。。。。。。8分当0a时，22512222aabaab，解得11ab，不满足ab，舍去。。。。。10分当0a时，22212252aabaab，解得16ab，符合条件，综上，1,6ab。。12分20.(1)设M的坐标为(x，y)，P的坐标为(xP，yP)，由已知得xP＝x，yP＝54y，∵P在圆上，-7-∴x2＋54y2＝25，即轨迹C的方程为x225＋y216＝1.(2)过点(3,0)且斜率为45的直线方程为y＝45(x－3)，设直线与C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，.21.（Ⅰ）∵PC⊥平面ABCD，AC平面ABCD，∴AC⊥PC，∵AB＝2，AD＝CD＝2，∴AC＝BC＝2，∴AC2＋BC2＝AB2，∴AC⊥BC，又BC∩PC＝C，∴AC⊥平面PBC，∵AC平面EAC，∴平面EAC⊥平面PBC．…4分（Ⅱ）如图，以C为原点，DA→、CD→、CP→分别为x轴、y轴、z轴正向，建立空间直角坐标系，则C(0，0，0)，A(1，1，0)，B(1，－1，0)．设P(0，0，a)（a＞0），则E(12，－12，a2)，…6分CA→＝(1，1，0)，CP→＝(0，0，a)，CE→＝(12，－12，a2)，取m＝(1，－1，0)，则m·CA→＝m·CP→＝0，m为面PAC的法向量．设n＝(x，y，z)为面EAC的法向量，则n·CA→＝n·CE→＝0，即x＋y＝0，x－y＋az＝0，取x＝a，y＝－a，z＝－2，则n＝(a，－a，－2)，依题意，|cosm，n|＝|m·n||m||n|＝aa2＋2＝63，则a＝2．…10分于是n＝(2，－2，－2)，PA→＝(1，1，－2)．设直线PA与平面EAC所成角为θ，DACEPBxyz-8-则sinθ＝|cosPA→，n|＝|PA→·n|__________|PA→||n|＝23，即直线PA与平面EAC所成角的正弦值为23．…12分22.又1c，且22221abcb，……………4分解得224,3ab.∴椭圆1C的方程为22143xy.……………5分解法2:抛物线22:4Cyx的焦点F的坐标为1,0，设点P的坐标为00xy,,0000xy,.∵53PF,∴22002519xy.①……………1分∵点P在抛物线22:4Cyx上,∴2004yx.②解①②得023x,0263y.-9-∴点P的坐标为226,33.……………2分∵点P在椭圆22122:1xyCab上，∴2248193ab.……………3分又1c，且22221abcb，……………4分解得224,3ab.∴椭圆1C的方程为22143xy.……………5分(2)解法1：设点M11,xy、22,Nxy、,Rxy，则11221,,1,,1,FMxyFNxyFRxy.∴12122,FMFNxxyy.∵FMFNFR,∴121221,xxxyyy.①……………6分∵M、N在椭圆1C上，∴222211221,1.4343xyxy上面两式相减得12121212043xxxxyyyy.②把①式代入②式得12121043xxxyyy.当12xx时，得1212314xyyxxy.③……………7分设FR的中点为Q，则Q的坐标为1,22xy.∵M、N、Q、A四点共线，∴MNAQkk,即121221312yyyyxxxx.④……………8分-10-把④式代入③式，得3134xyxy，化简得2243430yxx.……………9分当12xx时，可得点R的坐标为3,0，经检验，点3,0R在曲线2243430yxx上.∴动点R的轨迹方程为2243430yxx.……………10分解法2：当直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为1ykx，由221143ykxxy,,消去y，得22223484120kxkxk.设点M11,xy、22,Nxy、,Rxy，则2122834kxxk,②……………7分①②得314xky，③……………8分把③代入②化简得2243430yxx.(*)……………9分当直线MN的斜率不存在时，设直线MN的方程为1x,-11-依题意,可得点R的坐标为3,0，经检验，点3,0R在曲线2243430yxx上.∴动点R的轨迹方程为2243430yxx.……………10分∴当3x时,4RFmax,……………13分此时,415RTmax.……………