河北邯郸永年县第二中学20172018年高二上月考理数试题

永年二中高二10月份月考理科数学试题一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．数列1,3,7,15，…的通项an可能是()A．2nB．2n＋1C．2n－1D．2n－12．若a1，b1，那么下列命题中正确的是()A.1a1bB.ba1C．a2b2D．aba＋b3．全称命题“∀x∈R，x2＋5x＝4”的否定是()A．∃x0∈R，x20＋5x0＝4B．∀x∈R，x2＋5x≠4C．∃x0∈R，x20＋5x0≠4D．以上都不正确4．某服装制造商有10m2的棉布料，10m2的羊毛料和6m2的丝绸料，做一条裤子需要1m2的棉布料，2m2的羊毛料和1m2的丝绸料，做一条裙子需要1m2的棉布料，1m2的羊毛料和1m2的丝绸料，做一条裤子的纯收益是20元，一条裙子的纯收益是40元，为了使收益达到最大，若生产裤子x条，裙子y条，利润为z，则生产这两种服装所满足的数学关系式与目标函数分别为()A.x＋y≤10，2x＋y≤10，x＋y≤6，x，y∈N，z＝20x＋40yB.x＋y≥10，2x＋y≥10，x＋y≤6，x，y∈N，z＝20x＋40yC.x＋y≤10，2x＋y≤10，x＋y≤6，z＝20x＋40yD.x＋y≤10，2x＋y≤10，x＋y≤6，x，y∈N，z＝40x＋20y5．在正项等比数列{an}中，a1和a19为方程x2－10x＋16＝0的两根，则a8·a10·a12等于()A．16B．32C．64D．2566．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，ac＝3，且a＝3bsinA，则△ABC的面积等于()A.12B.32[来源:学科网ZXXK]C．1D.347．若实数a，b满足1a＋2b＝ab，则ab的最小值为()A.2B．2C．22D．48．已知命题p：若不等式x2＋x＋m0恒成立，则m14；命题q：在△ABC中，AB是sinAsinB的充要条件，则()A．p假q真B．“p且q”为真C．“p或q”为假D．p假q真9．若不等式x2＋ax＋10对一切x∈0，12恒成立，则a的最小值为()A．0B．－2C．－52D．－310．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若B＝2A，a＝1，b＝3，则c＝()A．23B．2C.2D．111．不等式组x＋y≥1，x－2y≤4的解集记为D.有下面四个命题：p1：∀(x，y)∈D，x＋2y≥－2；p2：∃(x，y)∈D，x＋2y≥2；p3：∀(x，y)∈D，x＋2y≤3；p4：∃(x，y)∈D，x＋2y≤－1.其中真命题是()A．p2，p3B．p1，p4C．p1，p2D．p1，p312、我国古代数学名著《九章算术》中，有已知长方形面积求一边的算法，其方法的前两步为：第一步：构造数列1，12，13，14，…，1n。①第二步：将数列①的各项乘以n，得数列(记为)a1，a2，a3，…，an。则a1a2＋a2a3＋…＋an－1an等于()A．n2B．(n－1)2C．n(n－1)D．n(n＋1)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．命题“设a，b，c∈R，若ab，则ac2bc2”，以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题共有________个。11．某公司租地建仓库，每月土地费用与仓库到车站距离成反比，而每月货物的运输费用与仓库到车站距离成正比．如果在距离车站10km处建仓库，则土地费用和运输费用分别为2万元和8万元，那么要使两项费用之和最小，仓库应建在离车站________。4．已知实数x，y满足条件x≥0，y≤1，2x－2y＋1≤0，若目标函数z＝mx－y(m≠0)取得最大值时的最优解有无穷多个，则实数m的值为________。16．在△ABC中，B＝120°，AB＝2，A的角平分线AD＝3，则AC＝________。三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知数列{an}中，a1＝35，an＝2－1an－1(n≥2，n∈N*)，数列{bn}满足bn＝1an－1(n∈N*)。(1)求证：数列{bn}是等差数列；(2)求数列{an}中的通项公式an。18．(本小题满分12分)设命题p：实数x满足x2－4ax＋3a2＜0，其中a＞0，命题q：实数x满足x2－x－6≤0，x2＋2x－8＞0.(1)若a＝1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；(2)p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．19．(本小题满分12分)某城市有一块不规则的绿地如图所示，城建部门欲在该地上建造一个底座为三角形的环境标志，小李、小王设计的底座形状分别为△ABC、△ABD，经测量AD＝BD＝14，BC＝10，AC＝16，∠C＝∠D.(1)求AB的长度；(2)若建造环境标志的费用与用地面积成正比，不考虑其他因素，小李、小王谁的设计建造费用最低？请说明理由．20．(本小题满分12分)已知函数y＝ax2＋2ax＋1的定义域为R.(1)求a的取值范围；(2)解关于x的不等式x2－x－a2＋a0.21．(本小题满分12分)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.[来源:学科网ZXXK]已知2(tanA＋tanB)＝tanAcosB＋tanBcosA.(1)证明：a＋b＝2c；(2)求cosC的最小值．[来源:Zxxk.Com]22．(本小题满分12分)设数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an＋1＝λSn＋1(n∈N*，λ≠－1)，且a1,2a2，a3＋3为等差数列{bn}的前三项．(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；(2)求数列{anbn}的前n项和．[来源:学科网ZXXK]永年二中高二10月份月考理科数学试题答案1．【解析】取n＝1时，a1＝1，排除A、B，取n＝2时，a2＝3，排除D.【答案】C2．【解析】利用特值法，令a＝－2，b＝2.则1a1b，A错；ba0，B错；a2＝b2，C错．【答案】D3．解析：选C全称命题的否定为特称命题．4．【解析】由题意易知选A.5．【解析】∵{an}是等比数列且由题意得a1·a19＝16＝a210(an0)，∴a8·a10·a12＝a310＝64.答案C6．【解析】∵a＝3bsinA，∴由正弦定理得sinA＝3sinBsinA，∴sinB＝13.∵ac＝3，∴△ABC的面积S＝12acsinB＝12×3×13＝12，故选A.7．【解析】由1a＋2b＝ab知a0，b0，所以ab＝1a＋2b≥22ab，即ab≥22，当且仅当1a＝2b，1a＋2b＝ab即a＝42，b＝242时取“＝”，所以ab的最小值为22.【答案】C8．解析：选B易判断出命题p为真命题，命题q为真命题，所以p为假，q为假．结合各选项知B正确．9．【解析】x2＋ax＋10在x∈0，12上恒成立⇔ax≥－x2－1⇔a－x＋1xmax，∵x＋1x52，∴－x＋1x－52，∴a－52.【答案】C10．【解析】由正弦定理得：asinA＝bsinB，∵B＝2A，a＝1，b＝3，∴1sinA＝32sinAcosA.∵A为三角形的内角，∴sinA≠0.∴cosA＝32.又0＜A＜ð，∴A＝ð6，∴B＝2A＝ð3.∴C＝ð－A－B＝ð2，∴△ABC为直角三角形．由勾股定理得c＝12＋32＝2.【答案】B11[解析]画出可行域如图中阴影部分所示，由图可知，当目标函数z＝x＋2y经过可行域内的点A(2，－1)时，取得最小值0，故x＋2y≥0，因此p1，p2是真命题，选C.12、【解析】a1a2＋a2a3＋…＋an－1an＝n1·n2＋n2·n3＋…＋nn－1·nn＝n211·2＋12·3＋…＋1n－1n＝n21－12＋12－13＋…＋1n－1－1n＝n2·n－1n＝n(n－1)，故选C。二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．2解析：若c＝0，则ac2bc2不成立，故原命题为假命题．由等价命题同真同假，知其逆否命题也为假命题．逆命题“设a，b，c¡ÊR，若ac2bc2，则ab”为真命题，由等价命题同真同假，知原命题的否命题也为真命题，所以共有2个真命题.14．5【解析】设车站到仓库距离为x，土地费用为y1，运输费用为y2，由题意得y1＝k1x，y2＝k2x，∵x＝10时，y1＝2，y2＝8，∴k1＝20，k2＝45，∴费用之和为y＝y1＋y2＝20x＋45x≥220x×45x＝8，当且仅当20x＝4x5，即x＝5时取等号．15．1【解析】作出不等式组表示的平面区域如图阴影部分(包含边界)所示，由图可知当直线y＝mx－z(m≠0)与直线2x－2y＋1＝0重合，即m＝1时，目标函数z＝mx－y取最大值的最优解有无穷多个，故选A.16．解析如图，在¡¡ÂABD中，由正弦定理，得sin¡ÏADB＝ABsinBAD＝2×323＝22。由题意知0°¡ÏADB60°，所以¡ÏADB＝45°，则¡ÏBAD＝180°－¡ÏB－¡ÏADB＝15°，所以¡ÏBAC＝2¡ÏBAD＝30°，所以¡ÏC＝180°－¡ÏBAC－¡ÏB＝30°，所以BC＝AB＝2，于是由余弦定理，得AC＝AB2＋BC2－2AB·BCcos120°＝22＋22－22×2×－12＝6。三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．【解析】(1)证明：因为an＝2－1an－1(n≥2，n¡ÊN*)，bn＝1an－1。所以n≥2时，bn－bn－1＝1an－1－1an－1－1＝12－1an－1－1－1an－1－1＝an－1an－1－1－1an－1－1＝1。又b1＝1a1－1＝－52，所以数列{bn}是以－52为首项，1为公差的等差数列。(2)由(1)知，bn＝n－72，则an＝1＋1bn＝1＋22n－7。18．解析：(1)由x2－4ax＋3a2＜0，得(x－3a)(x－a)＜0.又a＞0，所以a＜x＜3a.当a＝1时，1＜x＜3，即p为真命题时，1＜x＜3.由x2－x－6≤0，x2＋2x－8＞0，解得－2≤x≤3，x＜－4或x＞2，即2＜x≤3.所以q为真时，2＜x≤3.若p∧q为真，则1＜x＜3，2＜x≤3⇔2＜x＜3，所以实数x的取值范围是(2,3)．(2)设A＝{x|x≤a，或x≥3a}，B＝{x|x≤2，或x＞3}，因为綈p是綈q的充分不必要条件，所以AB.所以0＜a≤2且3a＞3，即1＜a≤2.所以实数a的取值范围是(1,2]．19．解析：(1)在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcosC＝162＋102－2×16×10cosC，①在△ABD中，由余弦定理及∠C＝∠D，整理得AB2＝AD2＋BD2－2AD·BDcosD＝142＋142－2×142cosC.②由①②得：142＋142－2×142cosC＝162＋102－2×16×10×cosC，整理得cosC＝12.∵∠C为三角形的内角，∴∠C＝60°.又∠C＝∠D，AD＝BD，∴△ABD是等边三角形，故AB＝14，即A、B两点的距离为14.(2)小李的设计使建造费用最低．理由如下：S△ABD＝12AD·BDsinD，S△ABC＝12AC·BCsinC.∵AD·BD＞AC·BC，且sinD＝sinC，∴S△ABD＞S△ABC.由已知建造费用与用地面积成正比，故选择小李的设计使建造费用最低．20．【解】(1)∵函数y＝ax2＋2ax＋1的定义域为R，∴ax2＋2ax＋1≥0恒成立．①当a＝0时，1≥0，不等式恒成立；②当a≠0时，则a0，Ä＝4a2－4a≤0，解得0a≤1.综上可知，a的取值范围是[0,1]．(2)由x2－x－a2＋a0，得(x－a)[x－(1－a)]0.∵0