河南省20182019学年鹤壁市高一上学期期末考试数学试题

2018-2019学年河南省鹤壁市高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设全集U是实数集R，𝑀={𝑥|𝑥24}，𝑁={𝑥|1𝑥3}，则图中阴影部分所表示的集合是()A.{𝑥|−2≤𝑥1}B.{𝑥|−2≤𝑥≤2}C.{𝑥|1𝑥≤2}D.{𝑥|𝑥2}【答案】C【解析】解：由图可知，图中阴影部分所表示的集合是𝑁∩𝐶𝑈𝑀，又𝐶𝑈𝑀={𝑥|𝑥2≤4}={𝑥|−2≤𝑥≤2}，∴𝑁∩𝐶𝑈𝑀={𝑥|1𝑥≤2}．故选：C．欲求出图中阴影部分所表示的集合，先要弄清楚它表示的集合是什么，由图知，阴影部分表示的集合中的元素是在集合N中的元素但不在集合M中的元素组成的，即𝑁∩𝐶𝑈𝑀.本小题主要考查Venn图表达集合的关系及运算、二次不等式、不等式的解法等基础知识，属于基础题．2.下列函数中，既是偶函数又在区间(0,+∞)上单调递减的是()A.𝑦=1𝑥B.𝑦=𝑒−𝑥C.𝑦=lg|𝑥|D.𝑦=−𝑥2+1【答案】D【解析】解：A中，𝑦=1𝑥为奇函数，故排除A；B中，𝑦=𝑒−𝑥为非奇非偶函数，故排除B；C中，𝑦=lg|𝑥|为偶函数，在𝑥∈(0,1)时，单调递减，在𝑥∈(1,+∞)时，单调递增，所以𝑦=lg|𝑥|在(0,+∞)上不单调，故排除C；D中，𝑦=−𝑥2+1的图象关于y轴对称，故为偶函数，且在(0,+∞)上单调递减，故选：D．利用基本函数的奇偶性、单调性逐项判断即可．本题考查函数的奇偶i性、单调性的判断证明，属基础题，定义是解决该类题目的基本方法，熟记基本函数的有关性质可简化问题的解决．3.函数𝑓(𝑥)=lg(𝑥+1)𝑥−1的定义域为()A.(−1,+∞)B.[−1,+∞)C.(−1,1)∪(1,+∞)D.[−1,1)∪(1,+∞)【答案】C【解析】解：要使函数有意义需{𝑥−1≠0𝑥+10，解得𝑥−1且𝑥≠1．∴函数𝑓(𝑥)=lg(𝑥+1)𝑥−1的定义域是(−1,1)∪(1,+∞)．故选：C．依题意可知要使函数有意义需要𝑥+10且𝑥−1≠0，进而可求得x的范围．本题主要考查对数函数的定义域及其求法，熟练解不等式组是基础，属于基础题．4.已知函数𝑓(𝑥)={𝑥+1,𝑥≤02𝑥,𝑥0，若𝑓(𝑎)+𝑓(1)=0，则实数a的值等于()A.−3B.−1C.1D.3【答案】A【解析】解：∵函数𝑓(𝑥)={𝑥+1,𝑥≤02𝑥,𝑥0，∴𝑓(1)=2×1=2，∵𝑓(𝑎)+𝑓(1)=0，∴𝑓(𝑎)=−2，当𝑎0时，𝑓(𝑎)=2𝑎=−2，解得𝑎=−1，不成立，当𝑎≤0时，𝑓(𝑎)=𝑎+1=−2，解得𝑎=−3．∴实数a的值等于−3．故选：A．先求出𝑓(1)=2×1=2，从而𝑓(𝑎)=−2，当𝑎0时，𝑓(𝑎)=2𝑎=−2，当𝑎≤0时，𝑓(𝑎)=𝑎+1=−2，由此能求出实数a的值．本题考查函数值的求法及应用，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．5.已知𝑎=21.2，𝑏=(12)−0.2，𝑐=2log52，则a，b，c的大小关系为()A.𝑏𝑎𝑐B.𝑐𝑎𝑏C.𝑐𝑏𝑎D.𝑏𝑐𝑎【答案】C【解析】解：∵𝑏=(12)−0.2=20.221.2=𝑎，∴𝑎𝑏1．∵𝑐=2log52=log541，∴𝑎𝑏𝑐．故选：C．利用对数的运算法则、对数函数的单调性即可得出．本题考查了对数的运算法则、对数函数的单调性，属于基础题．6.下列说法中正确的个数是()(1)平面𝛼与平面𝛽，𝛾都相交，则这三个平面有2条或3条交线(2)如果平面𝛼外有两点A，B到平面𝛼的距离相等，则直线𝐴𝐵//𝛼(3)直线a不平行于平面𝛼，则a不平行于𝛼内任何一条直线A.0个B.1个C.2个D.3个【答案】A【解析】解：(1)平面𝛼与平面𝛽，𝛾都相交，当𝛼过平面𝛽与𝛾的交线时，这三个平面有1条交线，当𝛽//𝛾时，𝛼与𝛽和𝛾各有一条交线，共有2条交线．当𝛽∩𝛾=𝑏，𝛼∩𝛽=𝑎，𝛼∩𝛾=𝑐时，有3条交线则这三个平面有1条或2条或3条交线，故(1)错误；在(2)中，如果平面𝛼外有两点A，B到平面𝛼的距离相等，如图所示：若平面𝛼外有两点A、B到平面𝛼的距离相等，则直线AB和平面𝛼可能平行或可能相交，故(2)错误；在(3)中，直线a不平行于平面𝛼，则a可能在平面内，此时a与𝛼内任何一条直线相交、平行或异面，故(3)错误．故选：A．在(1)中，分平面𝛽与𝛾平行和不平行进行讨论，并且以棱柱或棱锥的侧面为例进行研究，即可得到此三个平面的交线条数可能是1条、2条或3条；在(2)中，若A、B在平面𝛼的同侧，可判断出直线AB和平面𝛼平行，若A、B在平面𝛼的异侧，可判断出直线AB和平面𝛼相交；在(3)中，直线a可能在平面内，此时a与𝛼内任何一条直线相交、平行或异面．本题考查命题真假的判断，考查空间向量夹角公式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．7.一个四面体的顶点在空间直角坐标系𝑂−𝑥𝑦𝑧中的坐标分别是(1,0，1)，(1,1，0)，(0,1，1)，(0,0，0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到正视图可以为()A.B.C.D.【答案】A【解析】解：因为一个四面体的顶点在空间直角坐标系𝑂−𝑥𝑦𝑧中的坐标分别是(1,0，1)，(1,1，0)，(0,1，1)，(0,0，0)，几何体的直观图如图，是正方体的顶点为顶点的一个正四面体，所以以zOx平面为投影面，则得到正视图为：故选：A．由题意画出几何体的直观图，然后判断以zOx平面为投影面，则得到正视图即可．本题考查几何体的三视图的判断，根据题意画出几何体的直观图是解题的关键，考查空间想象能力．8.若函数𝑓(𝑥)={𝑎𝑥,𝑥1(4−𝑎2)𝑥+2,𝑥≤1是R上的增函数，则实数a的取值范围为()A.(1,+∞)B.(1,8)C.[4,8)D.(4,8)【答案】C【解析】解：∵函数𝑓(𝑥)={𝑎𝑥,𝑥1(4−𝑎2)𝑥+2,𝑥≤1是R上的增函数，∴{𝑎14−𝑎20𝑎1≥4−𝑎2+2，解得4≤𝑎8故选：C．让两段都单调递增，且让𝑥=1时𝑎𝑥≥(4−𝑎2)𝑥+2，解关于a的不等式组可得．本题考查分段函数的单调性，涉及指数函数和一次函数的单调性，属中档题．9.直三棱柱𝐴𝐵𝐶−𝐴1𝐵1𝐶1中，若∠𝐵𝐴𝐶=90∘，𝐴𝐵=𝐴𝐶=𝐴𝐴1，则异面直线𝐵𝐴1与𝐴𝐶1所成的角等于()A.30∘B.45∘C.60∘D.90∘【答案】C【解析】解：延长CA到D，使得𝐴𝐷=𝐴𝐶，则𝐴𝐷𝐴1𝐶1为平行四边形，∠𝐷𝐴1𝐵就是异面直线𝐵𝐴1与𝐴𝐶1所成的角，又𝐴1𝐷=𝐴1𝐵=𝐷𝐵=√2𝐴𝐵，则三角形𝐴1𝐷𝐵为等边三角形，∴∠𝐷𝐴1𝐵=60∘故选：C．延长CA到D，根据异面直线所成角的定义可知∠𝐷𝐴1𝐵就是异面直线𝐵𝐴1与𝐴𝐶1所成的角，而三角形𝐴1𝐷𝐵为等边三角形，可求得此角．本小题主要考查直三棱柱𝐴𝐵𝐶−𝐴1𝐵1𝐶1的性质、异面直线所成的角、异面直线所成的角的求法，考查转化思想，属于基础题．10.圆𝑥2+𝑦2−2𝑥+6𝑦+5𝑎=0关于直线𝑦=𝑥+2𝑏成轴对称图形，则𝑎−𝑏的取值范围是()A.(−∞,4)B.(−∞,0)C.(−4,+∞)D.(4,+∞)【答案】A【解析】解：∵圆𝑥2+𝑦2−2𝑥+6𝑦+5𝑎=0关于直线𝑦=𝑥+2𝑏成轴对称图形，∴圆心(1,−3)在直线𝑦=𝑥+2𝑏上，故−3=1+2𝑏，∴𝑏=−2.对于圆𝑥2+𝑦2−2𝑥+6𝑦+5𝑎=0，有4+36−20𝑎0，∴𝑎2，𝑎−𝑏=𝑎+24，故选：A．由题意知，圆心在直线上，解出b，再利用圆的半径大于0，解出𝑎2，从而利用不等式的性质求出𝑎−𝑏的取值范围．本题考查圆关于直线对称的条件是圆心在直线上，以及圆的半径必须大于0．11.设点P是函数𝑦=−√4−(𝑥−1)2图象上的任意一点，点𝑄(2𝑎,𝑎−3)(𝑎∈𝑅)，则|𝑃𝑄|的最小值为()A.√5−2B.√5C.8√55−2D.7√55−2【答案】A【解析】解：由函数𝑦=−√4−(𝑥−1)2得(𝑥−1)2+𝑦2=4，(𝑦≤0)，对应的曲线为圆心在𝐶(1,0)，半径为2的圆的下部分，∵点𝑄(2𝑎,𝑎−3)，∴𝑥=2𝑎，𝑦=𝑎−3，消去a得𝑥−2𝑦−6=0，即𝑄(2𝑎,𝑎−3)在直线𝑥−2𝑦−6=0上，过圆心C作直线的垂线，垂足为A，则|𝑃𝑄|𝑚𝑖𝑛=|𝐶𝐴|−2=|1−0−6|√5−2=√5−2，故选：A．将函数进行化简，得到函数对应曲线的特点，利用直线和圆的性质，即可得到结论．本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，根据函数的表达式确定对应曲线是解决本题的关键．12.设函数𝑓(𝑥)={1−|𝑥|,𝑥∈[−1,1]2𝑓(𝑥−2),𝑥∈(1,+∞)，若关于x的方程𝑓(𝑥)−log𝑎(𝑥+1)=0(𝑎0且𝑎≠1)在区间[0,5]内恰有5个不同的根，则实数a的取值范围是()A.(1,√3)B.(√54,+∞)C.(√3,+∞)D.(√54,√3)【答案】C【解析】解：函数𝑓(𝑥)={1−|𝑥|,𝑥∈[−1,1]2𝑓(𝑥−2),𝑥∈(1,+∞)，x在区间[−1,5]上的图象如图：关于x的方程𝑓(𝑥)−log𝑎(𝑥+1)=0(𝑎0且𝑎≠1)在区间[0,5]内恰有5个不同的根，就是𝑓(𝑥)=log𝑎(𝑥+1)恰有5个不同的根，函数𝑦=𝑓(𝑥)与函数𝑦=log𝑎(𝑥+1)恰有5个不同的交点，由图象可得：{log𝑎54log𝑎32，解得𝑎√3．故选：C．画出函数的图象，利用数形结合，推出不等式，即可得到结果．本题考查函数零点个数的判断，考查数形结合，分析问题解决问题的能力．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.函数𝑦=log𝑎(2𝑥−3)+4的图象恒过定点A，且点A在幂函数𝑓(𝑥)的图象上，则𝑓(3)=______．【答案】9【解析】解：∵log𝑎1=0，∴当2𝑥−3=1，即𝑥=2时，𝑦=4，∴点M的坐标是𝑃(2,4)．幂函数𝑓(𝑥)=𝑥𝛼的图象过点𝑀(2,4)，所以4=2𝛼，解得𝛼=2；所以幂函数为𝑓(𝑥)=𝑥2则𝑓(3)=9．故答案为：9．由log𝑎1=0得2𝑥−3=1，求出x的值以及y的值，即求出定点的坐标.再设出幂函数的表达式，利用点在幂函数的图象上，求出𝛼的值，然后求出幂函数的表达式即可得出答案．本题考查对数函数的性质和特殊点，主要利用log𝑎1=0，考查求幂函数的解析式，同时考查了计算能力，属于基础题．14.正方体的棱长为2，则该正方体的体积与其内切球表面积的比为______．【答案】2：𝜋【解析】解：正方体的体积为：8；内切球半径为1，故内切球表面积为4𝜋，∴正方体的体积与其内切球表面积的比为8：4𝜋，即2：𝜋，故答案为：2：𝜋．正方体体积为棱长的立方，内切球半径为棱长的一半，容易求得二者之比．此题考查了正方体的内切球，属容易题．15.若两直线3𝑥+𝑦−3=0与6𝑥+𝑚𝑦+1=0平行，则𝑚=______．【答案】2【解析】解：由3𝑚−6=0，解得𝑚=2，经过验证满足两条直线平行．∴𝑚=2．故答案为：2．由3𝑚−6=0，解得m，经过验证即可得出．本题考查了两条直线平行的充要条件，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．