数列练习--含答案

课时作业4数列时间：45分钟满分：100分课堂训练1．下面四个结论：①数列可以看作是一个定义在正整数集(或它的有限子集{1,2,3，……，n})上的函数．②数列若用图象表示，从图象上看都是一群孤立的点．③数列的项数是无限的．④数列通项的表示式是唯一的．其中正确的是()A．①②B．①②③C．②③D．①②③④【答案】A【解析】数列的项可以是有限的也可以是无限的．数列通项的表示式可以不唯一．如数列1,0，－1,0,1,0，－1,0，…的通项公式可以是an＝sinnπ2，也可以是an＝cosn＋3π2等等．2．数列2，－4,6，－8，…的一个通项公式为()A．an＝2nB．an＝(－1)n·2nC．an＝(－1)n＋1·2nD．an＝(－1)n－1·2n＋2【答案】C【解析】通过观察代入可得an＝(－1)n＋1·2n，故选C.3．已知数列{an}，an＝an＋m(a0，n∈N＋)满足a1＝2，a2＝4，则a3＝__________.【答案】2【解析】∵2＝a＋m，4＝a2＋m，∴a＝－1，m＝3，∴an＝(－1)n＋3，∴a3＝(－1)3＋3＝2.4．写出下列各数列的一个通项公式．(1)12，34，78，1516，3132，…；(2)－1，32，－13，34，－15，36，…；(3)－23，－415，－635，－863，－1099，….【分析】(1)分母依次是2,4,8，…，即2n，而分子比分母少1.(2)将数列的每一项分为三部分：分子、分母、符号．奇数项都为负，且分子都是1，偶数项都为正，且分子都是3，各项分母依次为1,2,3,4，…，正负号可以用(－1)n来调节．(3)分子为偶数，即2n，分母为1×3,3×5,5×7,7×9,9×11，….【解析】(1)an＝2n－12n.(2)an＝－1nn＝2k－1，3nn＝2k(k∈N＋)，或an＝(－1)n·2＋－1nn.(3)an＝－2n2n－12n＋1.课后作业一、选择题(每小题5分，共40分)1．数列{an}的通项公式an＝2，n＝1，n2，n≥2，则这个数列的前三项是()A．1,4,9B．2,4,9C．2,1,4D．2,6,11【答案】B【解析】a1＝2，a2＝22＝4，a3＝32＝9.2．数列1，－13，17，－115，…的通项an是()A．(－1)n12n－1B．(－1)n12n－1C.－1n－12n－1D.－1n－12n－1【答案】D【解析】(观察法)通项符号为(－1)n－1，分子都是1，分母为1,3,7,15，…，其通项为2n－1，则数列的通项为an＝－1n－12n－1，故应选D.(特值法)考虑到选择题的特点，可采用验证法．取n＝1代入A、B的通项公式，得项为－1，不合题意，可排除A、B.再取n＝2,3代入C的通项公式，得项为－13，15，不合题意，可排除C，故应选D.3．下列四个数列中，既是无穷数列又是递增数列的是()A．1，12，13，14，…B．sin17π，sin27π，sin37π，…C．－1，－12，－14，－18，…D．1，2，3，…，21【答案】C【解析】D是有穷数列，A是递减数列，B是摆动数列，故选C.解答这类问题，要紧扣概念，考查项与序号之间的关系．4．已知数列2，10，4，…，23n－1，则8是此数列的第________项．()A．10B．11C．12D．13【答案】B【解析】令23n－1＝8，解得n＝11.5．数列1,0,1,0，…的一个通项公式是()A．an＝1＋－1n2B．an＝－1＋－1n2C．an＝1－－1n＋12D．an＝1－－1n2【答案】D【解析】选项A、C表示数列0,1,0,1，….选项B表示数列－1,0，－1,0，….故选D.6．设an＝－n2＋10n＋11，则数列{an}的最大项为()A．5B．11C．10或11D．36【答案】D【解析】∵an＝－n2＋10n＋11＝－(n－5)2＋36，∴当n＝5时，数列{an}的最大项为a5＝36.7．数列53，108，17a＋b，a－b24，…中，有序数对(a，b)可以是()A．(21，－5)B．(16，－1)C．(－412，112)D．(412，－112)【答案】D【解析】通项公式为n＋12＋1nn＋2，故a＋b＝15，a－b＝26.∴a＝412，b＝－112.8．已知{an}是递增数列，且对任意n∈N＋，都有an＝n2＋λn恒成立，则实数λ的取值范围是()A．(－72，＋∞)B．(0，＋∞)C．(－2，＋∞)D．(－3，＋∞)【答案】D【解析】由{an}为递增数列，得an＋1－an＝2n＋1＋λ0恒成立，即λ－2n－1，在n≥1时恒成立，只需λ(－2n－1)max＝－3，故选D.二、填空题(每小题10分，共20分)9．在数列{an}中，a1＝3，a10＝21，通项公式为an＝An＋B，则a2010＝________，a2n＝________.【答案】4021,4n＋1【解析】由已知得A＋B＝3，10A＋B＝21，解得A＝2，B＝1.∴an＝2n＋1.∴a2010＝2×2010＋1＝4021，a2n＝2(2n)＋1＝4n＋1.10．在数列1,1,2,3,5,8,13，x,34,55，…中x的值是________．【答案】21【解析】由题意可知，该数列从第3项起每一项都等于它的前2项的和．故x＝8＋13＝21.三、解答题(每小题20分，共40分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)11．已知数列2，74，2…的通项公式为an＝an2＋bcn，求a4，a5.【解析】将a1＝2，a2＝74代入通项公式，得a＋bc＝2，4a＋b2c＝74，解得b＝3a，c＝2a，所以an＝an2＋bcn＝n2＋32n，将n＝4,5代入，得a4＝198，a5＝145.12．已知函数f(x)＝1－2xx＋1，点(n，an)在函数f(x)的图象上(n∈N＋)．(1)求a5，a6；(2)数列{an}是递增数列还是递减数列？(3)求数列{an}项的最值．【解析】由题意知，点(n，an)在函数f(x)＝1－2xx＋1的图象上，∴an＝1－2nn＋1.(1)a5＝1－2×55＋1＝－96＝－32；a6＝1－2×66＋1＝－117.(2)∵an＝1－2nn＋1＝－2＋3n＋1，∴an－an－1＝(－2＋3n＋1)－(－2＋3n)＝3n＋1－3n＝－3nn＋10(n≥2)，∴anan－1(n≥2)，故数列{an}为递减数列．(3)由(2)知数列{an}有最大值a1＝1－2×11＋1＝－12，无最小值．