河南省信阳市高二期末数学试卷理科

高考帮——帮你实现大学梦想！1/222016-2017学年河南省信阳市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．命题“∃x0∈R，x02+sinx0+e＜1”的否定是（）A．∃x0∈R，x02+sinx0+e＞1B．∃x0∈R，x02+sinx0+e≥1C．∀x∈R，x2+sinx+ex＞1D．∀x∈R，x2+sinx+ex≥12．抛物线y=9x2的焦点坐标为（）A．（，0）B．（0，）C．（，0）D．（0，）3．不等式3+5x﹣2x2＞0的解集为（）A．（﹣3，）B．（﹣∞，﹣3）∪（，+∞）C．（﹣，3）D．（﹣∞，﹣）∪（3，+∞）4．设=（3，﹣2，﹣1）是直线l的方向向量，=（1，2，﹣1）是平面α的法向量，则（）A．l⊥αB．l∥αC．l⊂α或l⊥αD．l∥α或l⊂α5．已知正数a，b满足4a+b=3，则e•e的最小值为（）A．3B．e3C．4D．e46．已知等差数列{an}前n项和为Sn，若S15=75，a3+a4+a5=12，则S11=（）A．109B．99C．D．7．已知各项均不为零的数列{an}满足an+12=anan+2，且32a8﹣a3=0，记Sn是数列{an}的前n项和，则的值为（）A．﹣B．C．﹣9D．98．已知抛物线C与双曲线x2﹣y2=1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C的方程为（）A．y2=±2xB．y2=±2xC．y2=±4xD．y2=±4x高考帮——帮你实现大学梦想！2/229．已知命题p：x2+2x﹣3＞0；命题q：x＞a，且￢q的一个充分不必要条件是￢p，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，1]B．[1，+∞）C．[﹣1，+∞）D．（﹣∞，﹣3]10．如图，已知四边形ABCD是圆内接四边形，且∠BCD=120°，AD=2，AB=BC=1，现有以下结论：①B，D两点间的距离为；②AD是该圆的一条直径；③CD=；④四边形ABCD的面积S=．其中正确结论的个数为（）A．1B．2C．3D．411．已知双曲线C1：﹣=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点M在双曲线C1的一条渐近线上，且OM⊥MF2，若△OMF2的面积为16，且双曲线C1与双曲线C2：﹣=1的离心率相同，则双曲线C1的实轴长为（）A．32B．16C．8D．412．已知梯形CEPD如图（1）所示，其中PD=8，CE=6，A为线段PD的中点，四边形ABCD为正方形，现沿AB进行折叠，使得平面PABE⊥平面ABCD，得到如图（2）所示的几何体．已知当点F满足=（0＜λ＜1）时，平面DEF⊥平面PCE，则λ的值为（）高考帮——帮你实现大学梦想！3/22A．B．C．D．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．已知锐角△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若acosB=4csinC﹣bcosA，则cosC=．14．当x∈R时，一元二次不等式x2﹣kx+1＞0恒成立，则k的取值范围是．15．若△ABC的内角满足sinA+sinB=2sinC，则cosC的最小值是．16．已知实数x，y满足，若z=ax+y有最大值7，则实数a的值为．三、解答题（共5小题，满分60分）17．已知棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是棱B1C1，C1D1的中点．（I）求AD1与EF所成角的大小；（II）求AF与平面BEB1所成角的余弦值．18．已知数列{an}满足a2=，且an+1=3an﹣1（n∈N*）．（1）求数列{an}的通项公式以及数列{an}的前n项和Sn的表达式；（2）若不等式≤m对∀n∈N*恒成立，求实数m的取值范围．19．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足=．（I）求C的值；（II）若=2，b=4，求△ABC的面积．20．已知直棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=BC=CC1=AB，E是线段CC1的中点，连接AE，B1E，AB1，B1C，BC1，得到的图形如图所示．高考帮——帮你实现大学梦想！4/22（I）证明BC1⊥平面AB1C；（II）求二面角E﹣AB1﹣C的大小．21．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）过点（，﹣），且离心率为．（I）求椭圆C的标准方程；（II）若点A（x1，y1），B（x2，y2）是椭圆C上的亮点，且x1≠x2，点P（1，0），证明：△PAB不可能为等边三角形．请考生从22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分：22．在直角坐标系xOy中，圆C的方程为（x+6）2+y2=25．（I）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；（II）直线l的参数方程为（t为参数），α为直线l的倾斜角，l与C交于A，B两点，且|AB|=，求l的斜率．23．已知函数f（x）=|2x﹣a|+a．（1）当a=2时，求不等式f（x）≤6的解集；（2）设函数g（x）=|2x﹣1|，当x∈R时，f（x）+g（x）≥3，求a的取值范围．高考帮——帮你实现大学梦想！5/222016-2017学年河南省信阳市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．命题“∃x0∈R，x02+sinx0+e＜1”的否定是（）A．∃x0∈R，x02+sinx0+e＞1B．∃x0∈R，x02+sinx0+e≥1C．∀x∈R，x2+sinx+ex＞1D．∀x∈R，x2+sinx+ex≥1【考点】命题的否定．【分析】根据特称命题的否定是全称命题进行判断即可．【解答】解：命题是特称命题，则根据特称命题的否定是全称命题得命题的否定是：∀x∈R，x2+sinx+ex≥1，故选：D2．抛物线y=9x2的焦点坐标为（）A．（，0）B．（0，）C．（，0）D．（0，）【考点】抛物线的简单性质．【分析】先将方程化成标准形式，求出p的值，即可得到焦点坐标【解答】解：∵抛物线y=9x2，即x2=y，∴p=，=，∴焦点坐标是（0，），故选：B高考帮——帮你实现大学梦想！6/223．不等式3+5x﹣2x2＞0的解集为（）A．（﹣3，）B．（﹣∞，﹣3）∪（，+∞）C．（﹣，3）D．（﹣∞，﹣）∪（3，+∞）【考点】一元二次不等式的解法．【分析】把不等式化为一般形式，求出解集即可．【解答】解：不等式3+5x﹣2x2＞0可化为2x2﹣5x﹣3＜0，即（2x+1）（x﹣3）＜0，解得﹣＜x＜3，所以原不等式的解集为（﹣，3）．故选：C．4．设=（3，﹣2，﹣1）是直线l的方向向量，=（1，2，﹣1）是平面α的法向量，则（）A．l⊥αB．l∥αC．l⊂α或l⊥αD．l∥α或l⊂α【考点】平面的法向量．【分析】利用空间线面位置关系、法向量的性质即可判断出结论．【解答】解：∵•=3﹣4+1=0，∴．∴l∥α或l⊂α，故选：D．5．已知正数a，b满足4a+b=3，则e•e的最小值为（）A．3B．e3C．4D．e4【考点】基本不等式．【分析】利用基本不等式的性质、指数函数的运算性质即可得出．【解答】解：∵正数a，b满足4a+b=3，高考帮——帮你实现大学梦想！7/22∴==≥==3．当且仅当b=2a=1时取等号．则e•e=≥e3．故选：B．6．已知等差数列{an}前n项和为Sn，若S15=75，a3+a4+a5=12，则S11=（）A．109B．99C．D．【考点】等差数列的前n项和．【分析】利用等差数列的前n项和公式和通项公式，列出方程组，求出首项和公差，由此能求出S11．【解答】解：∵等差数列{an}前n项和为Sn，S15=75，a3+a4+a5=12，∴，S11=11a1+=11×+=．故选：C．7．已知各项均不为零的数列{an}满足an+12=anan+2，且32a8﹣a3=0，记Sn是数列{an}的前n项和，则的值为（）A．﹣B．C．﹣9D．9【考点】数列递推式．【分析】利用等比数列的通项公式可得公比q，再利用求和公式即可得出．【解答】解：各项均不为零的数列{an}满足an+12=anan+2，∴此数列是等比数列．设公比为q．∵32a8﹣a3=0，∴=0，解得q=．高考帮——帮你实现大学梦想！8/22则===﹣=﹣．故选：A．8．已知抛物线C与双曲线x2﹣y2=1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C的方程为（）A．y2=±2xB．y2=±2xC．y2=±4xD．y2=±4x【考点】抛物线的标准方程；双曲线的简单性质．【分析】由双曲线得焦点坐标，从而可得抛物线的焦点坐标，进而写出抛物线方程．【解答】解：由题意，双曲线x2﹣y2=1的焦点为（，0）∴抛物线的焦点坐标为（，0）设抛物线的方程为：y2=±2px（p＞0）∴=，∴p=2，∴抛物线方程是y2=x．故选D．9．已知命题p：x2+2x﹣3＞0；命题q：x＞a，且￢q的一个充分不必要条件是￢p，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，1]B．[1，+∞）C．[﹣1，+∞）D．（﹣∞，﹣3]【考点】命题的否定；必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由p转化到¬p，求出¬q，然后解出a．【解答】解：由p：x2+2x﹣3＞0，知x＜﹣3或x＞1，则¬p为﹣3≤x≤1，¬q为x≤a，又¬p是¬q的充分不必要条件，所以a≥1．故选：B．高考帮——帮你实现大学梦想！9/2210．如图，已知四边形ABCD是圆内接四边形，且∠BCD=120°，AD=2，AB=BC=1，现有以下结论：①B，D两点间的距离为；②AD是该圆的一条直径；③CD=；④四边形ABCD的面积S=．其中正确结论的个数为（）A．1B．2C．3D．4【考点】弦切角；圆周角定理．【分析】在①中，由余弦定理求出BD=；在②中，由AB⊥BD，知AD是该圆的一条直径；在③中，推导出CD=1；在④中，由四边形是梯形，高为，求出四边形ABCD的面积S=．【解答】解：在①中，∵∠BCD=120°，∴∠A=60°，∵AD=2，AB=1，∴BD==，故①正确；在②中，∵AB⊥BD，∴AD是该圆的一条直径，故②正确；在③中，3=1+CD2﹣2CD•（﹣），∴CD2+CD﹣2=0，∴CD=1，故③不正确；在④中，由③可得四边形是梯形，高为，四边形ABCD的面积S=，故④正确．故选：C．11．已知双曲线C1：﹣=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点M在双曲线C1的一条渐近线上，且OM⊥MF2，若△OMF2的面积为16，且双曲线C1与双曲线C2：﹣=1的离心率相同，则双曲线C1的实轴长为（）高考帮——帮你实现大学梦想！10/22A．32B．16C．8D．4【考点】双曲线的简单性质．【分析】由双曲线C1的一条渐近线为y=x，利用点到直线的距离公式可知：丨F2M丨==b，丨OM丨==a，△OMF2的面积S=丨F2M丨•丨OM丨=16，则ab=32，双曲线C2的离心率e=，即可求得a和b的值，双曲线C1的实轴长2a=16．【解答】解：由双曲线C1：﹣=1（a＞b＞0）的一条渐近线为y=x，∵OM⊥MF2，F2（c，0），∴丨F2M丨==b，∵丨OF2丨=c，丨OM丨==a△OMF2的面积S=丨F2M丨•丨OM丨=ab=16，则ab=32，双曲线C2：﹣=1的离心率e===，∴e===，解得：a=8，b=4，双曲线C1的实轴长2a=16，故选B．12．已知梯形CEPD如图（1）所示，其中PD=8，CE=6，A为线段PD的中点，四边形ABCD为正方形，现沿AB进行折叠，使得平面PABE⊥平面ABCD，得到如图（2）所示的几何体．已知当点F满足=（0＜λ＜1）时，平面DEF⊥平面PCE，则λ的值为（）高考帮——帮你实现大学梦想！11/22A．B．C．D．【考点】平面与平面垂直的性质．【分析】以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角从标系，利用向量法能求出λ的值．【解答】解：由题意，以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，则D（0，4，0），E（4，0，2），C（4，4，0），P（0，0，4），A（0，0，0），B（4，0，0），设F（t，0，0），0≤t≤4，=（0＜λ