河南省南阳市20182019学年高二上学期期末考试数学文试题解析版

河南省南阳市2018-2019学年高二上学期期末考试数学（文）试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知条件p：x1，q：1x1，则p是q的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】解：由x1，推出1x1，p是q的充分条件，由1x1，得1−xx0，解得：x0或x1.不是必要条件，故选：A．根据充分必要条件的定义，分别证明其充分性和必要性，从而得到答案．本题考查了充分必要条件，考查了不等式的解法，是一道基础题．2.已知命题p：∀x0，总有(x+1)ex1，则￢p为()A.∃x0≤0，使得(x0+1)ex0≤1B.∃x00，使得(x0+1)ex0≤1C.∀x00，使得(x0+1)ex0≤1D.∀x0≤0，使得(x0+1)ex0≤1【答案】B【解析】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题p：∀x0，总有(x+1)ex1，则￢p为：∃x00，使得(x0+1)ex0≤1．故选：B．直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题．3.已知Sn为等差数列{an}的前n项和，a3+a7=8，则S9等于()A.272B.36C.54D.108【答案】B【解析】解：∵Sn为等差数列{an}的前n项和，a3+a7=8，∴S9=92(a3+a7)=92×8=36．故选：B．由等差数列性质得S9=92(a3+a7)，由此能求出结果．本题考查等差数列的前9项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4.函数f(x)=x3−3x2−9x+2在[0,4]上的最大值和最小值分别是()A.2，−18B.−18，−25C.2，−25D.2，−20【答案】C【解析】解：由f′(x)=3x2−6x−9=3(x−3)(x+1)，x∈(−1,3)时，f′(x)0，函数是减函数，x∈(3,+∞)时，f′(x)0，函数是增函数，知f(x)在[0,3]递减，[3,4]递增，最小值f(3)=−25，又f(0)=2，f(4)=−18．故选：C．求出导函数，判断的函数在区间上的单调性，然后区间最值即可．本题考查函数在闭区间上的最值的求法，函数的导数的应用，考查计算能力．5.中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之栗五斗.羊主曰：“我羊食半马.”马主曰：“我马食半牛.”今欲哀偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗的主人要求赔偿5斗栗.羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半.”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半.”打算按此比率偿还，他们各应偿还多少？已知牛、马、羊的主人各应偿还栗a升，b升，c升，1斗为10升，则下列判断正确的是()A.a，b，c依次成公比为2的等比数列，且a=507B.a，b，c依次成公比为2的等比数列，且c=507C.a，b，c依次成公比为12的等比数列，且a=507D.a，b，c依次成公比为12的等比数列，且c=507【答案】D【解析】解：由题意可知a，b，c依次成公比为12的等比数列，则a+b+c=a+12a+14a=5×10，解得a=47×50，∴c=47×50×14=507，故选：D．由题意可知a，b，c依次成公比为12的等比数列，根据等比数列的求和公式即可求出本题考查了等比数列在数学文化中的应用，属于基础题．6.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c成等比数列，且c=2a，则cosB等于()A.14B.√24C.34D.√23【答案】C【解析】解：∵a，b，c成等比数列，∴b2=ac，又c=2a，∴b2=2a2，则cosB=a2+c2−b22ac=a2+4a2−2a22a×2a=34，故选：C．a，b，c成等比数列，可得b2=ac，又c=2a，可得b2=2a2，利用余弦定理即可得出．本题考查了等比数列的性质、余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7.已知变量x，y满足{x−y≥−2x+y≥−2x≥0，则z=−2x+y的取值范围为()A.[−2,2]B.(−∞,−2)C.(−∞,2]D.[2,+∞)【答案】C【解析】解：画出变量x，y满足{x−y≥−2x+y≥−2x≥0表示的平面区域：将目标函数变形为z=−2x+y，作出目标函数对应的直线，直线过A(0,2)时，直线的纵截距最大，z最大，最大值为2；则目标函数z=−2x+y的取值范围是(−∞,2]．故选：C．作出不等式组表示的平面区域；作出目标函数对应的直线；结合图象知当直线过A时，最大，从而得出目标函数z=−2x+y的取值范围．本题考查画不等式组表示的平面区域、考查数形结合求函数的最值．8.如图，设抛物线y2=4x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在抛物线上，点C在y轴上，则△BCF与△ACF的面积之比是()A.|BF|−1|AF|−1B.|BF|2−1|AF|2−1C.|BF|+1|AF|+1D.|BF|2+1|AF|2+1【答案】A【解析】解：如图所示，抛物线的准线DE的方程为x=−1，过A，B分别作AE⊥DE于E，交y轴于N，BD⊥DE于D，交y轴于M，由抛物线的定义知BF=BD，AF=AE，则|BM|=|BD|−1=|BF|−1，|AN|=|AE|−1=|AF|−1，则S△BCFS△ACF=|BC||AC|=|BM||AN|=|BF|−1|AF|−1，故选：A．根据抛物线的定义，将三角形的面积关系转化为|BC||AC|的关系进行求解即可．本题主要考查三角形的面积关系，利用抛物线的定义进行转化是解决本题的关键．9.已知y=f(x)是可导函数，如图，直线y=kx+2是曲线y=f(x)在x=3处的切线，令g(x)=f(x)x，g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)=()A.14B.−29C.−19D.−14【答案】B【解析】解：直线y=kx+2是曲线y=f(x)在x=3处的切线，可得f(3)=3k+2=1，f′(3)=k，即有k=−13，f′(3)=−13，g(x)=f(x)x，可得g′(x)=f′(x)x−f(x)x2，则g′(3)=3f′(3)−f(3)9=3×(−13)−19=−29，故选：B．由题意可得f(3)=3k+2=1，f′(3)=k，求得k，求出g(x)的导数，计算可得所求值．本题考查导数的几何意义，直线方程的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．10.已知抛物线y2=2px(p0)上一点M(1,m)(m0)到其焦点的距离为5，双曲线x2−ay2=a的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则实数a等于()A.19B.14C.13D.12【答案】A【解析】解：抛物线y2=2px的焦点F为(p2,0)，准线方程为x=−p2，由抛物线的定义可得|MF|=1+p2=5，解得p=8，可得抛物线的方程为y2=16x，M(1,4)，双曲线x2−ay2=a的左顶点为A(−√a,0)，直线AM的斜率为41+√a，又双曲线的渐近线方程为y=1√ax，由题意可得，1√a=41+√a，解得a=19，故选：A．求得抛物线的焦点和准线方程，运用抛物线的定义，可得p=8，进而求得M(1,4)，求出双曲线的左顶点和渐近线方程，由两直线平行的条件，解方程即可得到a的值．本题考查抛物线的定义、方程和性质，考查双曲线的渐近线方程，以及两直线平行的条件：斜率相等，考查运算能力，属于中档题．11.设直线x=t与函数f(x)=x2，g(x)=2lnx的图象分别交于点M，N，则当|MN|达到最小值时，t的值为()A.1B.12C.√22D.√32【答案】A【解析】解：设h(t)=f(t)−g(t)=t2−2lnt，则h′(t)=2t−2t=2(t−1)(t+1)t，当0t1时，h′(t)0，当t1时，h′(t)0，即函数h(t)在(0,1)为减函数，在(1,+∞)为增函数，即h(t)min=h(1)，即当|MN|达到最小值时，t的值为1，故选：A．先构造函数：设h(t)=f(t)−g(t)=t2−2lnt，再利用导数求函数的单调性及极值：由h′(t)=2t−2t=2(t−1)(t+1)t，即函数h(t)在(0,1)为减函数，在(1,+∞)为增函数，即h(t)min=h(1)，得解．本题考查了构造函数求距离的最值及导数的应用，属中档题．12.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(ab0)点A，B为长轴的两个端点，若在椭圆上存在点P，使kAP⋅kBP∈(−13,0)，则离心率e的取值范围为()A.(√22,1)B.(0,√63)C.(√63,1)D.(0,√32)【答案】C【解析】解：A(−a,0)，B(a,0).设M(x0,y0)，则y02=b2a2(a2−x02)．kAP⋅kBP=y0x0+a⋅y0x0−a=y02x02−a2=b2a2(a2−x02)x02−a2=−b2a2∈(−13,0)，可得：c2−a2a2=e2−1∈(−13,0)，∴e∈(√63,1)故选：C．由kAP⋅kBP=y0x0+a⋅y0x0−a=y02x02−a2=b2a2(a2−x02)x02−a2=−b2a2∈(−13,0)，可得：c2−a2a2=e2−1∈(−13,0)，即可求解．本题考查了椭圆的标准方程及其性质、斜率计算公式、不等式的解法与性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若x∈(1,+∞)，则y=3x+1x−1的最小值是______．【答案】3+2√3【解析】解：∵x1，∴y=3x+1x−1=3(x−1)+1x−1+3≥2√3(x−1)⋅1x−1+3=2√3+3，故答案为：2√3+3．由已知可知y=3x+1x−1=3(x−1)+1x−1+3，然后利用基本不等式即可求解．本题主要考查了利用基本不等式求解最值，解题的关键是配凑积为定值，属于基础试题．14.函数f(x)=exx的单调递增区间是______．【答案】(1,+∞)(或[1,+∞))【解析】解：求导函数，可得f′(x)=xex−exx2令f′(x)0，可得x1故函数f(x)=exx的单调递增区间是(1,+∞)故答案为：(1,+∞)(或[1,+∞))求导函数，利用f′(x)0，可得函数f(x)=exx的单调递增区间．本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，属于基础题．15.在数列{an}中，“an=1n+1+2n+1+⋯+nn+1(n∈N∗)，又bn=1anan+1，则数列{bn}的前n项和Sn为______．【答案】4nn+1【解析】解：an=1n+1+2n+1+⋯+nn+1=1n+1⋅12n(n+1)=n2，则bn=1anan+1=4n(n+1)=4(1n−1n+1)，可得数列{bn}的前n项和Sn=4(1−12+12−13+13−14+⋯+1n−1n+1)=4(1−1n+1)=4nn+1．故答案为：4nn+1．运用等差数列的求和公式可得an=1n+1⋅12n(n+1)=n2，可得bn=1anan+1=4n(n+1)=4(1n−1n+1)，由数列的裂项相消求和，化简可得所求和．本题考查等差数列的求和公式，数列的裂项相消求和，化简整理的运算能力，属于基础题．16.设F1、F2分别为双曲线C：x2a2−y2b2=1(a,b0)的左右焦点，A为双曲线的左顶点，以F1F2为直径的圆交双曲线某条渐近线于M、N两点，且满足∠MAN=120∘，则该双曲线的离心率为______．【答案】√213【解析】解：设以F1F2为直径的圆与渐近线y=bax相交与点M的坐标为(x0,y0)(x00)，根据对称性得N点的坐标为(−x0,−y0)，∴{y0=bax0x02+y02=c2；解得M(a,b)，N(−a,−b)；又∵A(−a,0)，且∠MAN=120∘，∴由余弦定理得4c2=(a+a)2+b2+b2−2√(a+a)2+b2⋅bcos120∘，化简得7a2=3c2，∴e=ca=√21