海安高级中学高一数学期末复习综合练习题一

海安高级中学高一数学期末复习综合练习题一一、填空题（每题5分，共70分）1、已知,mn是两条不同直线，,,是三个不同平面，下列命题中正确的是①若,mn∥∥，则mn∥;②若,，则∥③若,mn∥∥，则∥；④若,mn，则mn∥2、记等差数列{}na的前n项和为nS，若112a，420S，则6S3、若过点4,0A的直线l与曲线22(2)1xy有公共点，则直线l的斜率的取值范围为4、若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是5、在ABC中，AB=3，AC=2，BC=10，则ABAC_________6、如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为7、将圆122yx沿x轴正向平移1个单位后所得到圆C，则圆C的方程是________,若过点（3，0）的直线l和圆C相切，则直线l的斜率为_____________8、在数列{}na在中，542nan，212naaaanbn，*nN,其中,ab为常数，则ab9、已知等差数列na中，26a，515a，若2nnba，则数列nb的前5项和等于10、若A为不等式组2,0,0xyyx表示的平面区域，则当a从－2连续变化到1时，动直线x＋y＝a扫过A中的那部分区域的面积为11、2*,,,230,yxyzRxyzxz的最小值为12、一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面。已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为98，底面周长为3，那么这个球的体积为_________13、某几何体的一条棱长为7，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为6的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a和b的线段，则a+b的最大值为14、如图1，一个正四棱柱形的密闭容器水平放置，其底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，容器内盛有a升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点P．如果将容器倒置，水面也恰好过点P(图2)．有下列四个命题：A．正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半B．将容器侧面水平放置时，水面也恰好过点PC．任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好经过点PD．若往容器内再注入a升水，则容器恰好能装满其中真命题的代号是(写出所有真命题的代号)二、解答题（共6大题，计90分）15、在ABC△中，内角ABC，，对边的边长分别是abc，，，已知2c，3C．（Ⅰ）若ABC△的面积等于3，求ab，；（Ⅱ）若sin2sinBA，求ABC△的面积．16、某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房.经测算，如果将楼房建为x(x≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560+48x（单位：元）.为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？（注：平均综合费用＝平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用＝购地总费用/建筑总面积）17、在一个特定时段内，以点E为中心的7海里以内海域被设为警戒水域.点E正北55海里处有一个雷达观测站A.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东45且与点A相距402海里的位置B，经过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东45+(其中sin=2626，090)且与点A相距1013海里的位置C.（I）求该船的行驶速度（单位：海里/时）;（II）若该船不改变航行方向继续行驶.判断它是否会进入警戒水域，并说明理由.18、如图，在四棱锥P-ABCD中，则面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA=PD＝2，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD,AB⊥AD,AD=2AB=2BC=2,O为AD中点.（Ⅰ）求证：PO⊥平面ABCD；（Ⅱ）求异面直线PD与CD所成角的大小；（Ⅲ）线段AD上是否存在点Q，使得它到平面PCD的距离为32？若存在，求出AQQD的值；若不存在，请说明理由.19、已知⊙),1,2(1:22AyxO和定点由⊙O外一点P（a,b）向⊙O引切线PQ，切点为Q且满足.||||PAPQ（1）求实数a,b间满足的等量关系；（2）求线段PQ长的最小值；（3）若以P为圆心所作的⊙P与⊙O有公共点，试求半径最小值时⊙P的方程。20、已知｛an｝是正数组成的数列，a1=1，且点（1,nnaa）（nN*）在函数y=x2+1的图象上.(Ⅰ)求数列｛an｝的通项公式；(Ⅱ)若列数｛bn｝满足b1=1,bn+1=bn+2na，求证：bn·bn+2＜b2n+1.参考答案1、（4）2、483、]33,33[4、95、3/26、7/87、33,1)1(22yx8、-19、9010、7/411、312、3413、414、BD15、本小题主要考查三角形的边角关系等基础知识，考查综合计算能力．解：（Ⅰ）由余弦定理得，224abab，又因为ABC△的面积等于3，所以1sin32abC，得4ab．联立方程组2244ababab，，解得2a，2b．（Ⅱ）由正弦定理，已知条件化为2ba，联立方程组2242ababba，，解得233a，433b．所以ABC△的面积123sin23SabC．16、解：设楼房每平方米的平均综合费为f（x）元，则2160100001080056048560482000fxxxxx10,xxZ≥560+2xx1080048=2000（当且仅当x=15时取等号）则为了楼房每平方米的平均综合费最少，该楼房应建为15层．17、解：（I）如图，AB=402，AC=1013，26,sin.26BAC由于090,所以cos=2265261().2626由余弦定理得BC=222cos105.ABACABAC所以船的行驶速度为10515523（海里/小时）.（II）如图所示，设直线AE与BC的延长线相交于点Q.在△ABC中，由余弦定理得，222cos2?¤ABBCACABCABBC==22240210510132402105=31010.从而2910sin1cos1.1010ABCABC在△ABQ中，由正弦定理得，AQ=10402sin1040.sin(45)2210210ABABCABC由于AE=5540=AQ，所以点Q位于点A和点E之间，且QE=AE-AQ=15.过点E作EPBC于点P，则EP为点E到直线BC的距离.在Rt△QPE中，PE=QE·sinsinsin(45)PQEQEAQCQEABC=515357.5所以船会进入警戒水域.18、本小题主要考查直线与平面的位置关系、异面直线所成角、点到平面的距离等基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力.解：（Ⅰ）证明：在△PAD中PA=PD,O为AD中点，所以PO⊥AD,又侧面PAD⊥底面ABCD,平面PAD平面ABCD=AD,PO平面PAD，所以PO⊥平面ABCD.（Ⅱ）连结BO，在直角梯形ABCD中、BC∥AD，AD=2AB=2BC,有OD∥BC且OD=BC,所以四边形OBCD是平行四边形，所以OB∥DC.由（Ⅰ）知，PO⊥OB,∠PBO为锐角，所以∠PBO是异面直线PB与CD所成的角.因为AD=2AB=2BC=2,在Rt△AOB中，AB=1,AO=1,所以OB＝2，在Rt△POA中，因为AP＝2，AO＝1，所以OP＝1，在Rt△PBO中，tan∠PBO＝122,arctan.222PGPBOBC所以异面直线PB与CD所成的角是2arctan2.（Ⅲ）假设存在点Q，使得它到平面PCD的距离为32.设QD＝x，则12DQCSx，由（Ⅱ）得CD=OB=2，在Rt△POC中，222,PCOCOP所以PC=CD=DP,233(2),42PCDS由Vp-DQC=VQ-PCD,得2，所以存在点Q满足题意，此时13AQQD.19、解：（1）连OP，Q为切点，PQ⊥OQ，由勾股定理有222||||||OQOPPQ又由已知22|||||,|||PAPQPAPQ故即：22222)1()2(1)(baba化简得实数a、b间满足的等量关系为：032ba（2）由032ba，得b=－2a+3。1||22baPQ81251)32(222aaaa.54)56(52a故当552||,56minPQa时，即线段PQ长的最小值为552（3）设⊙P的半径为R，OP设⊙O有公共点，⊙O的半径为1，.1|||1||,1|||1|OPROPRROPR且即而2222)32(||aabaOP.59)56(52a故当.1553,5332,553||,56minminRabPQa此时时得半径取最小值⊙P的方程为222)1553()53()56(yx20、本小题主要考查等差数列、等比数列等基本知识，考查转化与化归思想，考查推理与运算能力解法一：（Ⅰ）由已知得an+1=an+1、即an+1-an=1，又a1=1,所以数列｛an｝是以1为首项，公差为1的等差数列.故an=1+(a-1)×1=n.(Ⅱ)由（Ⅰ）知：an=n从而bn+1-bn=2n.bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+···+（b2-b1）+b1=2n-1+2n-2+···+2+1＝2121n=2n-1.因为bn·bn+2-b21n=(2n-1)(2n+2-1)-(2n-1-1)2=(22n+2-2n+2-2n+1)-(22n+2-2-2n+1-1)=-5·2n+4·2n=-2n＜0,所以bn·bn+2＜b21n,解法二：（Ⅰ）同解法一.（Ⅱ）因为b2=1,bn·bn+2-b21n=(bn+1-2n)(bn+1+2n+1)-b21n=2n+1·bn-1-2n·bn+1-2n·2n+1＝2n（bn+1-2n+1）=2n（bn+2n-2n+1）=2n（bn-2n）=…=2n（b1-2）=-2n〈0，所以bn-bn+2b2n+1