选修2-3期望方差练习题(含答案)

1．某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为23和35，现安排甲组研发新产品A，乙组研发新产品B，设甲、乙两组的研发相互独立．(1)求至少有一种新产品研发成功的概率；(2)若新产品A研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B研发成功，预计企业可获利润100万元，求该企业可获利润的分布列和数学期望．阿解：记E＝{甲组研发新产品成功}，F＝{乙组研发新产品成功}．由题设知P(E)＝23，P(E)＝13，P(F)＝35，P(F)＝25.且事件E与F，E与F，E与F，E与F都相互独立．(1)记H＝{至少有一种新产品研发成功}，则H＝EF，于是P(H)＝P(E)P(F)＝13×25＝215，故所求的概率为P(H)＝1－P(H)＝1－215＝1315.(2)设企业可获利润为X(万元)，则X的可能取值为0,100,120,220.P(X＝0)＝P(EF)＝13×25＝215，P(X＝100)＝P(EF)＝13×35＝315，P(X＝120)＝P(EF)＝23×25＝415，P(X＝220)＝P(EF)＝23×35＝615.故所求的X分布列为X0100120220P215315415615数学期望为E(X)＝0×215＋100×315＋120×415＋220×615＝300＋480＋132015＝210015＝140.2．现有一游戏装置如图，小球从最上方入口处投入，每次遇到黑色障碍物等可能地向左、右两边落下．游戏规则为：若小球最终落入A槽，得10张奖票；若落入B槽，得5张奖票；若落入C槽，得重投一次的机会，但投球的总次数不超过3次．(1)求投球一次，小球落入B槽的概率；(2)设玩一次游戏能获得的奖票数为随机变量X，求X的分布列及数学期望．解：(1)由题意可知投一次小球，落入B槽的概率为122＋122＝12.(2)落入A槽的概率为122＝14，落入B槽的概率为12，落入C槽的概率为122＝14.X的所有可能取值为0,5,10，P(X＝0)＝143＝164，P(X＝5)＝12＋14×12＋142×12＝2132，P(X＝10)＝14＋14×14＋14×142＝2164，X的分布列为X0510P16421322164E(X)＝0×164＋5×2132＋10×2164＝10516.3.在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手(1至5号)登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手．各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名．观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中随机选3名歌手．(1)求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率；(2)X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求X的分布列及数学期望．解：(1)设A表示事件“观众甲选中3号歌手”，B表示事件“观众乙选中3号歌手”，则P(A)＝C12C23＝23，P(B)＝C24C35＝35.∵事件A与B相互独立，∴观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率为P(AB)＝P(A)·P(B)＝P(A)[1－P(B)]＝23×25＝415.或PAB＝C12·C34C23·C35＝415(2)设C表示事件“观众丙选中3号歌手”，则P(C)＝C24C35＝35，∵X可能的取值为0,1,2,3，且取这些值的概率分别为P(X＝0)＝P(ABC)＝13×25×25＝475，P(X＝1)＝P(ABC)＋P(ABC)＋P(ABC)＝23×25×25＋13×35×25＋13×25×35＝2075，P(X＝2)＝P(ABC)＋P(ABC)＋P(ABC)＝23×35×25＋23×25×35＋13×35×35＝3375，P(X＝3)＝P(ABC)＝23×35×35＝1875，∴X的分布列为：X0123P475207533751875∴X的数学期望E(X)＝0×475＋1×2075＋2×3375＋3×1875＝14075＝2815.4．一盒中装有9张各写有一个数字的卡片，其中4张卡片上的数字是1,3张卡片上的数字是2,2张卡片上的数字是3.从盒中任取3张卡片．(1)求所取3张卡片上的数字完全相同的概率；(2)X表示所取3张卡片上的数字的中位数，求X的分布列与数学期望．(注：若三个数a，b，c满足a≤b≤c，则称b为这三个数的中位数．)解：(1)由古典概型中的概率计算公式知所求概率为P＝C34＋C33C39＝584.(2)X的所有可能值为1,2,3，且P(X＝1)＝C24C15＋C34C39＝1742，P(X＝2)＝C13C14C12＋C23C16＋C33C39＝4384，P(X＝3)＝C22C17C39＝112，故X的分布列为X123P17424384112从而E(X)＝1×1742＋2×4384＋3×112＝4728.5.已知一个口袋中装有n个红球(n≥1且n∈N*)和2个白球，从中有放回地连续摸三次，每次摸出两个球，若两个球颜色不同则为中奖，否则不中奖．(1)当n＝3时，设三次摸球中(每次摸球后放回)中奖的次数为X，求X的分布列；(2)记三次摸球中(每次摸球后放回)恰有两次中奖的概率为P，当n取多少时，P最大？解：(1)当n＝3时，每次摸出两个球，中奖的概率P＝3×2C25＝35.P(X＝0)＝C03253＝8125；P(X＝1)＝C13·35·252＝36125；P(X＝2)＝C23352·25＝54125；P(X＝3)＝C33·353＝27125.X的分布列为X0123P8125361255412527125(2)设每次摸球中奖的概率为p，则三次摸球(每次摸球后放回)恰有两次中奖的概率为P(X＝2)＝C23·p2·(1－p)＝－3p3＋3p2,0＜p＜1，P′＝－9p2＋6p＝－3p(3p－2)，知在0，23上P为增函数，在23，1上P为减函数，当p＝23时，P取得最大值．所以p＝C1nC12C2n＋2＝23，即n2－3n＋2＝0，解得n＝1或n＝2.6．某市一次全市高中男生身高统计调查数据显示：全市100000名男生的身高服从正态分布N(168,16)．现从某学校高三年级男生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于160cm和184cm之间，将测量结果按如下方式分成6组：第1组[160,164)，第2组[164,168)，…，第6组[180,184]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．(1)试评估该校高三年级男生在全市高中男生中的平均身高状况；(2)求这50名男生身高在172cm以上(含172cm)的人数；(3)在这50名男生身高在172cm以上(含172cm)的人中任意抽取2人，将该2人中身高排名(从高到低)在全市前130名的人数记为X，求X的数学期望．参考数据：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝0.9544，P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝0.9974.解：(1)由频率分布直方图，经过计算得该校高三年级男生平均身高为162×5100＋166×7100＋170×8100＋174×2100＋178×2100＋182×1100×4＝168.72，高于全市的平均值168.(2)由频率分布直方图知，后3组频率为(0.02＋0.02＋0.01)×4＝0.2，人数为0.2×50＝10，即这50名男生身高在172cm以上(含172cm)的人数为10.(3)∵P(168－3×4＜X≤168＋3×4)＝0.9974，∴P(X≥180)＝1－0.99742＝0.0013，0．0013×100000＝130.∴全市前130名的身高在180cm以上，这50人中180cm以上的有2人．随机变量X可取0,1,2，于是P(X＝0)＝C28C210＝2845，P(X＝1)＝C18C12C210＝1645，P(X＝2)＝C22C210＝145，∴E(X)＝0×2845＋1×1645＋2×145＝25.